Задачи для подготовке к олимпиаде по математике. 6 класс
олимпиадные задания по алгебре (6 класс) на тему

Задачи для подготовке к олимпиаде по математике 6 кл.

1.Четверо детей сказали друг о друге так.
Маша:  Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.
Саша:  Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.
Наташа:  Маша и Саша солгали.
Гриша:  Маша, Саша и Наташа сказали правду.
Сколько детей на самом деле сказали правду?

Решение

Высказывания Маши и Саши противоречат друг другу, следовательно, Гриша наверняка солгал. Далее возможны два случая. 
   1) Наташа сказала правду. Тогда солгали и Маша, и Саша, то есть правду сказал один ребёнок.
   2) Наташа солгала. Тогда правду сказала либо Маша, либо Саша. И в этом случае сказал правду один ребёнок.

Ответ

Один ребёнок.

2.Условие

На карте обозначены 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок).

В справочнике указано, что на маршрутах A-B-C и B-C-D есть по 10 колдобин, на маршруте A-B-D колдобин 22, а на маршруте A-D-B колдобин 45. Туристы хотят добраться из Aв D так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?

Решение

   Существует три возможных маршрута из A в D:  1) A-D;  2) A-B-D;  3) A-B-C-D.
   Из того, что на маршруте A-B-D находятся 22 колдобины, следует, что на тропинке B-D их не больше, чем 22. Значит, из 45 колдобин маршрута A-D-B не меньше, чем 23 колдобины находятся на тропинке A-D. Таким образом, маршрут 2) выгоднее, чем маршрут 1).
   Поскольку на маршруте A-B-C есть 10 колдобин, то на тропинке A-B их не больше 10. Значит, из двадцати двух колдобин маршрута A-B-D не менее двенадцати приходится на тропинку B-D. Но на участке B-C-D есть только 10 колдобин, поэтому он выгоднее, чем B-D.
Итак, маршрут 3) выгоднее маршрута 2).

Ответ

По маршруту A-B-C-D

3.Условие

Города A, B и C вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из A в B на 200 км короче объезда через C, а прямой путь из Aв C на 300 км короче объезда через B. Найдите расстояние между городами B и C.

Решение

Маршрут B-A-C (из B в C через A) на 500 км короче, чем маршрут B-C-A-B-C: длина отрезка BA на 200 км меньше длины маршрута B-C-A, а длина отрезка AC на 300 км меньше длины маршрута A-B-C. При этом второй маршрут отличается от первого на два отрезка BC. Значит, 
BC = 500 : 2 = 250 км.

Ответ

250 км.

4.Условие

Четверо детей сказали друг о друге так.
Маша:  Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.
Саша:  Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.
Наташа:  Маша и Саша солгали.
Гриша:  Маша, Саша и Наташа сказали правду.
Сколько детей на самом деле сказали правду?

Решение

Высказывания Маши и Саши противоречат друг другу, следовательно, Гриша наверняка солгал. Далее возможны два случая. 
   1) Наташа сказала правду. Тогда солгали и Маша, и Саша, то есть правду сказал один ребёнок.
   2) Наташа солгала. Тогда правду сказала либо Маша, либо Саша. И в этом случае сказал правду один ребёнок.

Ответ

Один ребёнок.

5.Условие

Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых четырёх носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди любых пяти носков не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?

Решение

  Так как среди каждых четырёх носков хотя бы два принадлежали одному ребенку, то детей – не более трёх. Никому из детей не может принадлежать более трёх носков (иначе нашлись бы 5 носков, среди которых более трёх принадлежат одному хозяину).
  Всего мама нашла 9 носков, поэтому детей не может быть меньше трёх. А значит, в комнате живут трое детей, и каждому принадлежат ровно по три найденных носка.

Ответ

Трое детей, каждому из них принадлежало по 3 носка.

6.Условие

Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок).

А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?

Решение

   Первый способ. Подсчитаем количество треугольников со стороной в одну спичку, у которых спичка в основании расположена горизонтально (см. рис.).

Каждый такой треугольник является верхней половинкой маленького ромбика со стороной в одну спичку. В ромбе со стороной 10 таких ромбиков  10·10 = 100.
   Так как никакие два из рассматриваемых треугольников не имеют общих спичек, то на них уйдёт  100·3 = 300  спичек. Если убрать все такие треугольники, то останутся только спички, составляющие две нижние стороны большого ромба. Их – 20, значит, всего потребуется 
300 + 20 = 320  спичек.

   Второй способ. Ромб со стороной в 10 спичек состоит из 100 маленьких ромбиков. На каждый из маленьких ромбиков уходит 5 спичек, поэтому на 100 ромбиков потребовалось бы 500 спичек, если бы некоторые из спичек не были границей двух ромбиков, а, значит, учтены дважды.
   Найдем количество спичек, которые принадлежат только одному ромбику. Это – 40 спичек, образующих контур большого ромба, и 100 спичек, лежащих горизонтально. Следовательно, было  500 – 140 = 360  "двойных" спичек. Таким образом, потребуется  140 + 360 : 2 = 320 спичек.

   Третий способ. Подсчитаем по отдельности спички, расположенные в каждом из трёх направлений. Параллельно двум сторонам ромба расположено ещё 9 отрезков, каждый из них (включая эти стороны), состоит из десяти спичек, итого: 110 спичек. Ещё 110 спичек лежат параллельно двум другим сторонам ромба. И ещё 100 спичек лежат горизонтально (это видно из предыдущих способов подсчёта, но можно сосчитать и непосредственно: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1).

Ответ

320 спичек.

Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Подсказка

Заметьте, ни 1е, ни 2е, ни 3е января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу.

Решение

Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придутся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января  — вторник.

Ответ

 На вторник.

Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Подсказка

Чему равно частное?

Решение

Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное равно 6. А так как делитель в 6 раз больше частного, значит, он равен 36, а делимое, соответственно, равно 216.

Ответ

 216; 36; 6.

Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа.

Подсказка

Попробуйте рассмотреть шесть самых маленьких натуральных чисел: 1, 2,..., 6. Обратите внимание: среди искомых чисел не должно быть равных.

Решение

Рассмотрим шесть самых маленьких натуральных чисел: 1, 2,..., 6. Их сумма равна 21. Значит, наше исходное равенство будет достигаться, если любое из чисел мы увеличим на 1. Но если мы увеличим одно из чисел от 1 до 5, то среди наших чисел окажется два равных. Это значит, что надо увеличить последнее число, т.е. вместо 6 взять 7. В результате получаем искомый набор  — 1, 2, 3, 4, 5, 7.

Ответ

 1, 2, 3, 4, 5, 7.

Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?

Подсказка

Заметьте, из условия следует, что за день 20 чёрных коров и 15 рыжих дают столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих.

Решение

Наше условие, по существу, означает, что 20 чёрных коров и 15 рыжих дают за день столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих. А это значит, что 8 чёрных коров дают молока столько же, сколько 5 рыжих. Отсюда заключаем, что у рыжих коров удои больше.

Ответ

 У рыжих.

Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

Подсказка

Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколько  — путь в один конец пешком?

Решение

Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч-15 мин, т.е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.

Ответ

 2,5 ч.