Нестандартные задачи по подготовке к олимпиадам по математике для учащихся 5-6 классов
методическая разработка по теме

Занятие для учащихся 5-6 классов по подготовке к олимпиадам по математике

«Решение нестандартных задач»

Цель: научить решать нестандартные задачи, способствовать развитию мышления, познавательной и творческой активности учащихся и интереса к  математике.

Ход занятия

«Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного,

 в вечном усилии познать больше».

Э. Золя (французский писатель)

I. Организационный момент

Математика – самая древняя из наук, в переводе с греческого означает «наука», «размышление». Задача – это всегда поиск, а средства ее решения – это интуиция, догадка, эрудиция и логическое мышление. Эти качества воспитываются, укрепляются у каждого, кто регулярно решает математические головоломки, ребусы, нестандартные задачи.  Олимпиадные задачи являются нестандартными, требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях.

«Разминка»

 1. Вставьте недостающее число. Ответ: 11

2. Вставьте пропущенное число. Ответ: 21

196 (25) 324

325 (    ) 137

3. Продолжите ряд чисел. Ответ: 3

18 10  6  4  ?

«Магический квадрат».      Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношение занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты» - писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат – это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой диагоналей одна и та же.       Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магический квадрат 2x2 не существует.

Задача 1. Расставьте цифры от 1 до 4, так, чтобы цифры в каждой строке и в каждом столбце не повторялись.

Ответ:  

Задача 2. В клетках квадрата 3x3 были записаны натуральные числа так, чтобы они образовывали магический квадрат. Некоторые числа стерли, восстановите квадрат.

Ответ:         9 + 24 = 15 + х (сходятся с верхней справа ячейке), х = 18; 9 + 15 = 18 + у (сходятся в центральной слева ячейке), у = 6. Таким образом, сумма по диагонали – 45, откуда получаем оставшиеся ячейки.

Задача 3. Разместите в свободных клетках квадрата числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в сумме одно и тоже число.

Ответ:

Задачи по арифметике. Арифметика – раздел математики, занимающийся изучением свойств числа, вопросами происхождения и развития понятия «число», свойствами операций и отношений в числовых множествах и их анализу.

Задача 1. Замените значки * в выражении 13*11*9*7*5*3*1 = 1 на знаки + и – так, чтобы получилось верное равенство.

 Ответ: Три варианта: 13 – 11 + 9 – 7 – 5 + 3 – 1 = 1, 13 – 11 – 9 + 7 + 5 – 3 – 1 = 1 и

13 + 11 – 9 – 7 – 5 – 3 + 1 = 1.

Сумма 13 + 11 равна сумме чисел 9, 7, 5 и 3, поэтому если первая звездочка заменена на «+», то возможен только один вариант (третий). Если эта звездочка заменена на «–», а вторая – на «+», то третья уже не может заменяться на «+», так как 13 – 11 + 9 + 7 > 5+ 3 + 1 + 1, и мы получаем первый вариант. Наконец, если первые две звездочки заменены на «–», то третья должна заменяться на «+», и мы получаем второй вариант.

Задача 2. Найдите все трёхзначные числа, у которых вторая цифра вчетверо больше первой,

а сумма всех трёх цифр равна 14.

Ответ: 149 и 284.

Если первая цифра не меньше 3, то вторая – не меньше 12, что невозможно. Значит, первая цифра 1 или 2. Далее число стоится однозначно.

Понятие натурального числа было вызвано потребностью счета предметов. Еще в доисторические времена. Анализ языков первобытных  народностей показывает, что для счета предметов употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» передавалось различно,  например, «три человека», «три лодки», а большие числа означали «куча», «толпа» и т.д. Все натуральные числа можно разбить на два множества: множество четных чисел и множество нечетных чисел. Четные числа нацело делятся на 2, а нечетные не делятся.

При решении задач, в которых используются свойства четности, важно помнить следующие правила:

1. Сумма и разность двух нечетных чисел является четным числом.

2. Сумма и разность двух четных чисел является четным числом.

3. Сумма и разность двух чисел, одно из которых четное, а другое нечетное, является нечетным числом.

4. Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом.

5. Произведение двух чисел, из которых одно четное, является четным числом.

Задача 3. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.

Ответ: 58

Задача 4. Коля открыл книгу и обнаружил, что сумма номеров левой и правой страниц – 25. Чему равно произведение этих номеров?

Ответ: Так как левая и правая страницы, то номер правой на 1 больше номера левой. (25 – 1) : 2 = 12. Значит, это страницы 12 и 13, 12 ∙ 13 = 156.

Задача 5. Света выполнила действия: 1997 ∙ 1999 ∙ 2001 – 1998 ∙ 2000. Какова последняя цифра ответа?

Ответ: Произведение 1997 ∙ 1999 ∙ 2001 оканчивается цифрой 3, поскольку 7 ∙ 9 ∙1 = 63. Произведение 1998 ∙ 2000 оканчивается 0, следовательно результат оканчивается цифрой 3.

 Задача 6. Маша выбрала двузначное число, не делящееся на 10, поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел. Какое самое большое число она могла получить?

Ответ: Уменьшаемое должно быть наибольшим, а вычитаемое наименьшим. Это будет для чисел 90 – 9 = 81. В этом решении, меняя цифры числа 90, получаем 09,  т.е. 9. Но число не должно делиться на 10, значит это число 91 и 19, 91 – 19 = 72.

Математические ребусы. Математическими ребусами называют задания на восстановление записей вычислений. Условие математического ребуса содержит либо целиком зашифрованную запись (цифры заменены буквами), либо только часть записи (стертые цифры заменены точками или звездочками). Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения. Есть математические ребусы, имеющие несколько решений.

Задача 1. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры в обоих примерах.

   АБВ                          АБВ

+    ВВ                         ВВ        

   ААБ                         АБВ

                                +АБВ   

                                 АГАВ  

Ответ:   А = 3, Б = 2, В = 1, Г = 5. Получим 321 + 11 = 332, 321∙ 11 = 3531.

Задача 2. Восстановите поврежденную запись

Ответ. 99 + 9 = 108

Задача 3. Решите ребус

Решение:

Очевидно, Д≤4. В разряде сотен имеем А + А = А, значит, А = 0 (без перехода) или А = 9 (с переходом). Значение А = 0 не подходит, так как в разряде единиц А + А = Р (получаем А = Р = 0). Значит, А = 9, Р = 8, Е = 7. Тогда 2М + 1 = 10 + Т, Т < 9, значит М = 5 или 6 (так как получается переход), а значения 7 и 8 уже заняты буквами Е и Р. При М = 6 получается решение:18969+18969=37938.
Ответ. 18969 + 18969 = 37938.

Задача 4. Решите ребус

Ответ.54271 + 54271 = 108542

Задачи на разрезание и складывание фигур. «Семь раз отмерь, один раз отрежь!» Эта пословица предостерегает вас от поспешности в решении задач. Заданную фигуру, которая для облегчения работы часто разделена на  равные клеточки, надо разрезать на две или несколько одинаковых частей. Если эти части можно наложить одну на другую так, что они совпадут (при этом разрешается переворачивать их наизнанку), то задача решена верно.

 Задача 1. Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

                                                          Ответ: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.
                 

Задача 2. Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:
                                         

Ответ:     Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.  

Комментарий: подсчитаем количество клеток в маленькой фигуре. Оно равно 12:4=3. Но из трех клеток можно составить только лишь 2 вида фигур: прямоугольник размером 1×3 и уголок из трех клеток. Недолгим перебором легко убедимся, что на четыре прямоугольника данную фигуру разрезать не получится. Поэтому нам необходим уголок из трех клеток. Именно с такими частями и будем искать разбиение. Если эта часть не будет упираться в угол целой фигуры, то в самой ее крайней точке останется одна клетка. Это недопустимо. Следовательно, уголки нужно вставить в три больших угла первоначальной фигуры, а последний уголок вставить в ее середину. Получим:

Задача 3. Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Ответ: Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

Задача 4. А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

Ответ:

Задача 5. Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.
 Указание: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.

Ответ:

Задача 6. Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.
 Указание: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

Ответ:

Логические задачи. Задачи, решаемые с конца.

Задача 1. Задуманное число. Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое число я задумала?

Решение:

17 – 3 = 14 – число до прибавления 3.
14 : 2 = 7 – искомое число.
Ответ. 7 – искомое число.

Задача 2. Алла Пугачева и Кристина Орбакайте. Алле Пугачевой и ее дочери Кристине Орбакайте вместе 98 лет. Кристина родилась, когда Алле Пугачевой было 22 года. Какого возраста обе певицы?

Решение:

Так как Кристина родилась тогда, когда Алле Пугачевой было 22 года, то разница в их возрасте будет 22 года. Тогда 98 – 22 = 76 (лет) – будет удвоенный возраст Кристины, а значит, Кристине Орбакайте 38 лет, а Алле Пугачевой 60 лет.
Ответ. Алле Пугачевой 60 лет, Кристине Орбакайте 38 лет.

Задача 3. Маша и медведи. Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь съедает торт за 2 дня, средний медведь – за 3 дня, младший медведь – за 6 дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт? 

Решение:

Так как старший медведь съедает торт за 2 дня, то за 1 день он съедает 12 торта.
Так как средний медведь съедает торт за 3 дня, то за 1 день он съедает 13 торта.
Так как младший медведь съедает торт за 6 дней, то за 1 день она съедает 16 торта.
Вместе все три медведя за 1 день съедят 12+13+16=1, то есть один торт.
Ответ. За 1 день.

Задача 4. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

Решение:

Решаем задачу с конца с помощью таблицы.

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.
Ответ. 13 яблок, 7 яблок, 4 яблока.

Задача 5. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй - 1/3 остатка, в третий - 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение:

Решаем задачу с конца.
Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км). Задача решена.
Ответ. 108 км

Задача 6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». «Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно», - поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Решение:

Решаем задачу с конца. Перед последними воротами у крестьянина должно остаться (1 + 1) ∙ 2 = 4 яблока, перед вторыми – (4 + 1) ∙ 2 = 10, и перед первыми – (10 + 1) ∙ 2 = 22 яблока.
Ответ. 22 яблока.

Задачи типа "Кто есть кто?" Задачи типа «Кто есть кто?» - это самые что ни на есть логические задачи. Льюис Кэрролл очень любил создавать такие, и непрерывно потчевал ими своих студентов, так как был профессором математики. Но вы можете сколько вашей душе угодно решать логические задачи, развивая свою память и интеллект.
Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату. Существует несколько методов решения задач типа «Кто есть кто?». Один из методов решения таких задач – метод графов. Второй способ, которым решаются такие задачи – табличный способ. Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в этом случае граф называется ориентированным).
Рассмотрим метод графов на примере решения задачи.

Задача.  Любимые мультфильмы. Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам?

Решение. Рассмотрим множество людей: мама, папа, сын и множество мультфильмов «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Обозначим элементы этих двух множеств точками:

Если точке из одного множества соответствует точка другого множества, будем соединять эти точки сплошной линией, если не соответствует – то штриховой.
Заметим, что по условию задачи у человека только один любимый мультфильм.
Учитывая данные задачи, получаем следующую схему:

Из условия задачи следует, что нужно найти единственно возможное соответствие между элементами двух множеств. Правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной. Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы установили, что папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны». В обеих множествах остается только по одной точке, следовательно мама любит мультфильм «Том и Джерри». Задача решена. Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами. Тогда при решении мы можем получить треугольники трех видов:

а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);
б) одна сторона – сплошной отрезок, а две другие – штриховые;
в) все стороны – штриховые отрезки.

Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок. Второй способ, которым решаются такие задачи - табличный способ. 

Табличный способ решения логических задач также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов. Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи. Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи.

Задача. Футбол. Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Джон. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:

а)Зенит не тренируется у Джона и Антонио.
б)Милан обещал никогда не брать Джона главным тренером.
Решение. 
Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждой команды только один тренер.
Чтобы решить задачу табличным способом, нужно знать следующие правила:
1.В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например«+»).
2.Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то все остальные места должны быть заняты знаком «-». Таким образом, решение будет доведено до конца, когда мы сумеем разместить по одному плюсу в каждом ряду и колонке, обозначив, таким образом, тренеров всех четырех команд.
А теперь приступаем к решению задачи. Нам известно, что ни у одной из команд национальность тренера и команды не совпадали, а также, что «Зенит» не тренируется у Джона и Антонио, значит у этой команды тренер не Джон и не Антонио; а «Милан» обещал никогда не брать Джона тренером, значит у команды «Милан» тренер не Джон. Если проставить соответствующие минусы, то таблица будет выглядеть так:

Таким образом, становится ясно, что у «Зенита» тренер Родриго (методом исключения). Поставим «+» напротив Родриго в колонке «Зенит» и заполним свободные клетки в его ряду минусами:

Теперь можно сделать вывод, что тренер «Милана» – Николай. Поставим «+» напротив Николая и заполним свободные клетки в его ряду минусами. Теперь видно, что «Челси» тренирует Антонио, а «Реал» - Джон.

Ответ. Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Джона.

Задача 1. В кругу сидят Иванов, Петров, Марков и Карпов. Их имена Андрей, Сергей, Тимофей и Алексей. Известно, что:

1. Иванов не Алексей и не Андрей.

2. Карпов не Сергей и не Алексей.

3. Сергей сидит между Марковым и Тимофеем.

4. Петров сидит между Карповым и Андреем.

Назовите имя и фамилию каждого.

Ответ:

Задача 2. В компьютерном классе на уроке информатики, во время отсутствия учителя, пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа – отвлеклись от нужной работы и стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру.
• Саша думал, что в «Марио» играет Настя.
• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки.
• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера.
• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс «Паук», а в «Марио» играет Рома.
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

Решение: 

Теперь становится ясно, что в пасьянс «Паук» играл Рома, в сапера – Настя, а в тетрис Максим. Задача решена.
Ответ. Сережа играл в «Марио»; Рома – в пасьянс «Паук»; Саша – в гонки; Настя – в сапера; Максим – в тетрис.

Задача 3. Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

Решение: Из условий задачи получаем граф:

Можно сделать вывод, что возле кирпичного домика растут розы, а возле соломенного – тюльпаны. А так как Наф-Наф живет не в деревянном домике, то он и не выращивает ромашки. А так как на тюльпаны у него аллергия, то он может выращивать только розы. Внесем эти данные в чертеж и получим:

Теперь стало ясно и то, что Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки. Методом исключения получаем, что Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.
Ответ. Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Задача 4. Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

1. Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

2. Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

3.Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.

4. Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.
Кто чем занимается?

Ответ:

Теперь можно сделать вывод, что стрелок – это Арамис, рукопашник – Атос.
Ответ. Арамис – стрелок; Д’Артаньян – танцор; Портос – шпажист; Атос – рукопашник.

Принцип Дирихле. При решении задач на доказательство применяется специальный метод, получивший название: принцип Дирихле. Петер Густав Лежен Дирихле (1805 – 1859) – великий немецкий математик, изучал арифметику, математический анализ, механику и математическую физику. В самой несерьезной и простой форме принцип Дирихле выглядит так: «Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев». Действительно, если в каждую клетку посадить не больше двух зайцев, то всего будет не больше 6 зайцев, что противоречит условию.  

Однако в каждой задаче не всегда удается легко понять, что играет роль «зайцев», а что выступает в роли «клеток». И почему надо, чтобы «зайцев» было больше, чем «клеток».

Задача. В классе 20 человек. Вася Кроликов в диктанте сделал 8 ошибок, остальные – меньше. Докажите, что, по крайней мере, 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок).

Решение: В этой задаче «зайцы» - ученики, «клетки» - количество сделанных ошибок. Посадим в клетку «0» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку «1» - кто сделал одну ошибку, и так до клетки «8», куда попал Вася.

Теперь применим принцип Дирихле. Докажем утверждение от противного. Пусть никакие три ученика не сделали по одинаковому количеству ошибок. Тогда в клетки «0», «1», …, «7» попало меньше трех учеников (два или меньше). Всего ребят не более 14, добавив Васю, все равно не наберем 20 учеников. Противоречие. Значит, предположение «никакие три ученика не сделали по одинаковому количеству ошибок» неверно. Т.е. по крайней мере трое учеников сделали ошибок поровну.

Задача 1. В классе 22 ученика. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы.

Решение: Пусть «зайцы» - это ученики, «клетки» - буквы. В алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться с мягкого и твердого знаков, значит, остается 31 буква. Получается, что «клеток» (31) больше, чем «зайцев» (22). Принцип Дирихле нельзя применить. Поменяем «клетки» и «зайцев». По принципу Дирихле найдутся две буквы, с которых может начинаться фамилия какого-нибудь ученика, следовательно, каждый ученик имеет свою собственную букву. Ответ на вопрос задачи – «нет».

Задача 2. В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (работа может быть и безошибочной).

Решение: Предположим, что никакие  3 ученика не сделали одинаковое число ошибок, т.е. в каждую клетку от 0 до 12 попало меньше трех школьников. Тогда в классе не больше 2*13+1=27, а в классе 30 учеников. Значит, наше предположение неверно. Поэтому найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

Задача 3. В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей число игл одинаковое.

Решение: Пусть в одну клетку попали ели с одинаковым числом иголок 0; 1; 2; … 500 000. Если в каждой клетке по одной ели, то их 1*500 000=500 000, а  в лесу – 800 000. Значит, хотя бы у двух елей число игл одинаковое.

Задача 4. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Докажите, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этом зале.

Решение: Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15*400=6000 школьников. Но, по условию, в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой  больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зале на 400 мест.

Задача 5. У мальчика 9 медных монет. Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.

Решение: Всего различных медных монет 4. Пусть мальчик имеет набор по 2 монеты каждого вида, всего будет 8 монет. Оставшаяся  монета из 9 имеющихся,  будет третьей монетой одного из видов. Значит, у мальчика есть хотя бы 3 монеты одинакового достоинства.

Задачи на переливание.

Задача. Имеется 2 сосуда – 3 л и 5 л. Нужно, пользуясь ими, налить 1 л воды.

Решение: Наполним 3 л, перельем в сосуд 5 л, затем нальем ещё раз 3 л в сосуд и перельем 2 л в сосуд 5 л до полного. В трехлитровом сосуде остался один литр.

Задача 1. Имеются 2 сосуда – 3 л и 5 л. Как с их помощью получить 4 л воды?

Решение:

 1 способ

2 способ

Задача 2. Имеются 2 сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с их помощью отмерить 7 л воды?

Решение:

Задача 3.Как, имея сосуды 5 л и 7 л, отмерить 6 л воды?

Решение:

Задача 4. Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить в кастрюлю 5 л воды?

Решение:

Задача 5. Имеются сосуды – 17 л и 5 л. Как отмерить 13 л?

Решение:

1-й шаг: налить в сосуд 17 л 3 раза по 5 л, т.е. 15 л.

2-й шаг: наполнить 5-литровый сосуд и 2 литра вылить в сосуд 17 л, там будет 17 л, а в  

5-литровом останется 3 л.

3-й шаг: вылить воду из сосуда 17 л, а туда слить 3 л и налить 2 раза по 5 л.

Используемая литература

1. Чулков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Метод. Пособие. 5 - 6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003

2. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений/ 5-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2002

3. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы/ - 5-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006

4. Лепехин Ю.В. Олимпиадные задания по математике. 5-6 классы/ - Волгоград: Учитель, 2010

5. Г.И. Григорьева. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5-6 классы. Методическое пособие/ - М.: Издательство «Глобус», 2009

6. Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание. Сайт репетитора по математике Колпакова Александра Николаевича. www.ankolpakov.ru/

7. Задачи, решаемые с конца - Учимся решать логические задачи. logika.vobrazovanie.ru/