Подготовка к олимпиаде по математике по теме "Чётность и нечётность" 5 класс
олимпиадные задания по математике (5 класс)

Тема «Чётность и нечётность»

Свойства чётных и нечётных чисел:

Если сложить два четных числа, получится четное число.

8 + 6 = 14
14: 2 = 7.

Если сложить два нечетных числа, получится четное число.

3 + 7= 10
10: 2 = 5.

Если сложить четное число с нечетным, получится нечетное число.

4 + 5 = 9
9 : 2 = 4,5.

Сумма четного числа нечетных чисел - четна.

5+7+3+5=20

Четность суммы нескольких чисел зависит лишь от четности числа нечетных слагаемых:

если количество нечетных слагаемых (не)четно, то и сумма - (не)четна.

2+3+5=10 (нечетных слагаемых 2, вся сумма чётна)  или 2+3+5+7=17 ( нечётных слагаемых 3, вся сумма нечётна).

Если четное число умножить на четное число, получится четное число
2 * 4 = 8
8 : 2 = 4.

Если четное число умножить на нечетное число, получится четное число
4 * 3 = 12
12 : 6 = 2.

Если нечетное число умножить на нечетное, получится нечетное

.
3 * 5 = 15.

Задача 1 Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Работа над задачей:

- Какими должны быть купюры?

- Нечётными.

- Какое количество нечетных купюр должно быть?

- 10.

- Сделаем вывод.

- Чётное количество нечётных купюр будет число чётное, а мы должны получить число 25 – нечётное. Разменять нельзя.

Задача 2 Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Задача 3 Петя умножил сумму двух чисел на их произведение и получил 2013. Докажите, что Петя ошибся.

Работа над задачей:

- Какими могут быть числа? Сколько всего случаев?

- Всего три случая. Первое – чётное, второе – чётное;  первое- нечётное, второе – нечётное; первое – чётное, второе – нечётное.

- Какие действия производят с числами в задаче?

-  Первое – складывают, второе – умножают, третье – умножают результат первого и второго действия.

- Составьте таблицу и сделайте вывод

- Вывод: в результате были рассмотрены 3 случая и во всех получился ответ чётный, а у нас число 2013 – нечётно.

Ответ: Петя ошибся.

Задача 4 На 99 карточках пишут числа 1, 2, . . . , 99. После этого их переворачивают, перемешивают и на чистых сторонах снова пишут числа 1, 2, . . . , 99. Затем для каждой карточки складывают два её числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат окажется чётным.

Решение:

Всего получится 100 пар чисел. Для определения чётности произведения можно рассмотреть всего 4 пары чисел.

Задача 5 На чудо-дереве растут 28 апельсинов и 19 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если снятые фрукты одинаковы, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве оказался только один фрукт. Какой именно?

Решение:

1 случай. Если снимать только по два апельсина или по два банана, то появляться будут только бананы. Поэтому последним останется банан.

2 случай. Если снимать один апельсин и один банан, и таких пар можно составить 19, появятся ещё 19 апельсинов. И того на дереве будет снова 28 апельсинов. Это число четное и из него можно составить 14 пар из апельсинов, которые дадут 14  бананов. А составляя пары из двух бананов, мы будем получать только бананы.

Ответ: в конце концов на дереве окажется один банан.

Задача 6 Маша написала на доске 10 чисел. Паша заметил, что сумма любых девяти чисел нечётна. Чётна или нечётна сумма всех написанных чисел?

Решение: Что бы набрать из 10 чисел в случайном порядке нечётную сумму из любых 9 чисел , не должно быть чисел чётных. Значит десятое число тоже нечётное. А сумма всех 10 чисел чётна.

Задача 7  В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял?

Решение:

В двух палатах одинаковое число депутатов. Значит всего депутатов четное количество. Голосуют «за» и «против», причем «за» + «против» = 0. Такие пары охватывают четное количество депутатов. А чётное – чётное= четное. Ответ: Значит преимущество должно быть числом чётным.

Задача 8 13 детей сели за круглый стол и договорились, что мальчики будут врать девочкам, а друг другу говорить правду, а девочки, наоборот, будут врать мальчикам, а друг другу говорить правду. Один из детей сказал своему правому соседу: «Большинство из нас мальчики». Тот сказал своему правому соседу: «Большинство из нас девочки», а он своему соседу справа: «Большинство из нас мальчики», а тот своему: «Большинство из нас девочки» и так далее, пока последний ребёнок не сказал первому: «Большинство из нас мальчики». Сколько мальчиков было за столом?

Ответ :7

Задача 9 Подпольный миллионер Тарас Артёмов пришёл в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100-рублёвых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причём среди них не было 10-рублёвых. Докажите, что его обсчитали. ( В то время имели хождение купюры по 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей (нового образца).

Задача 10  Четыре седьмых класса поехали на экскурсию. Когда 7А и 7Б пошли в музей, а 7В и 7Г — обедать в кафе, Марья Ивановна подсчитала, что в музее на 15 семиклассников больше, чем в кафе. А когда вечером 7А и 7В пошли в парк, а 7Б и 7Г — в театр, Марья Ивановна насчитала в парке на 8 семиклассников меньше, чем в театре. Умеет ли Марья Ивановна считать?

Решение: Разница между количеством учащихся в 7А+7 Б и 7В+7Г нечетна, значит и количество всех учащихся нечетно.

 1 случай

2 случай

Ответ: Марья Ивановна не умеет считать.

Литература:

Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы/

С. А. Генкин. - Киров, издательство «АСА», 1994.— 272 с.