«Система работы учителя по подготовке к олимпиадам по математике в 5-6 классах».
статья (5, 6 класс) на тему

Выступление учителя математики

МБОУ «СОШ №1» Менделеевского муниципального района Республики Татарстан Мифтаховой Эльмиры Рифкатовны по теме:

«Система работы учителя по подготовке к олимпиадам

по математике в 5-6 классах».

    Любому обществу нужны одарённые люди, и задача общества состоит в том, чтобы рассмотреть и развить способности всех его представителей. К большому сожалению, далеко не каждый человек способен развивать свои способности. Очень многое зависит и от семьи, и от школы. Задача  школы – поддержать ребёнка и развить его способности, подготовить почву для того, чтобы эти способности были реализованы. Именно в школе должны закладываться основы развития думающей, самостоятельной, творческой личности. Жажда открытия, стремление проникнуть в самые сокровенные тайны бытия рождаются на школьной скамье.

   Среди многочисленных приемов работы, ориентированных на интеллектуальное развитие школьников, особое место занимают предметные олимпиады. В каждой школе существует своя система подготовки учащихся к олимпиадам. В основном  методы и приемы наши схожи, мое выступление будет интересно молодым, начинающим учителям.

    Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач! Это обусловлено, прежде всего выбором разделов, традиционно рассматриваемых на олимпиадах. Теория игр, графы, уравнения в целых числах и т. д. не рассматриваются в школьном курсе математики. Уже не говоря о принципе Дирихле, элементах теории чисел, четности, логических задачах.

   Следует отметить, что практически все разбираемые разделы могут быть с одинаковым успехом рассмотрены на уроках как в 5, 6 классах так и в классах постарше. Конечно, подача материала будет отличаться объемом и глубиной, перечнем рассматриваемых разделов математики (они должны соответствовать изучаемому школьному курсу).

    Успешно участвовать в предметной олимпиаде может учащийся, знакомый со стандартными приемами решения задач, выходящих за рамки школьного курса.

Целесообразно начинать подготовку «олимпиадников» в  начальной школе. Только при таком подходе, учащийся, попавший на олимпиаду в среднем звене, будет чувствовать себя уверенно: скажется опыт решения нестандартных задач, накопленный в начальной школе. Мне повезло, что олимпиадным  движением активно занимались учителя начальных классов  моих пятиклассников Миронова Т.И, Бузаджи Г.Н.

     В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, умение рассуждать, - все то, что наш народ метко определяет одним словом «смекалка», этого требуют и ФГОС ООО. Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности решением математических задач, как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.

    В своей работе каждый урок начинаю с устного счета,  в которые обязательно включаю логические задачи, олимпиадные задания. Для 5класса вполне подойдут и задачи 4 класса. Рассматриваем как  простые задания, не требующие долгих вычислений,  так и более сложные, решения которых затягиваются иногда на 10-15 мин. Конечно, решать логические, тем более олимпиадные задачи  дано не всем, поэтому я слабым обучающимся стараюсь дать карточки с заданиями на изучаемую тему или на повторение, чтобы не скучали и на чувствовали себя неловко. А сильные и средние ученики охотно работают с учителем. У каждого ученика есть блокнотик или отдельная тетрадка, где он на уроке решает нестандартные задачи сначала самостоятельно или в паре с товарищем, затем фронтально со всем классом ищем решение,  приходим к ответу.  

   На уроке всегда можно найти место задачам, развивающим ученика, причем в любом классе, по любой теме. В 5 классе при изучении темы "Натуральные числа" можно предложить много разнообразных заданий, например: Как, используя цифру 5 пять раз, знаки арифметических действий и скобки, выразить все натуральные числа от 0 до 10 включительно? В шестом классе при изучении темы "Нахождение дроби от числа" следующие типы задач: Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену на него увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. Какова стала цена в итоге?  И т.д.

    В качестве одного из путей подготовки к олимпиадам предлагаю задания на дом типа: "Составь задачу, аналогичную составленной в классе"; "Придумайте ребусы по теме"; " Составьте кроссворд»; "Придумайте задачу-сказку по теме" и т.п.

   Для развития интереса к решению нестандартных задач по математике в программу урочных занятий включен 6 час математики, который выделен на рассмотрение занимательных задач, ребусов, задачи со спичками, развертки, танграм, решение задач с помощью графов, таблиц, задачи на движение и др.

    Ведется также и индивидуальная работа с одаренными детьми. Периодически  им раздаются распечатанные  нестандартные задачи с олимпиад прошлых лет, с Интернета, которые они прорешивают в течение 7-10 дней самостоятельно или с родителями, проверка может быть разнообразной – кто-то подходит ко мне самостоятельно после  уроков с решением или за указанием, кто-то сдает свою тетрадку, наиболее интересные мы разбираем прямо на уроках. Это так называемая самоподготовка.  К сожалению, на практике получается, что одаренным детям мы уделяем меньше внимания, чем слабоуспевающим. Не стоит забывать и о внеклассных мероприятиях, проектной деятельности.

    В наше  кроме олимпиады школьников, в жизнь школ вошли новые формы олимпиад, конкурсов, турниров, организаторами которых являются высшие учебные заведения, институты, центры математического образования и т. д. дети охотно принимают в них участие, несмотря, на то что они платные. Таким образом обучающиеся пополняют свое пополняют свои портфолио.

    Итак,  мы все знаем, что работа с одаренными детьми - это не работа одного года. Работа по подготовке к олимпиадам должна быть постоянной, носить систематический характер, только тогда можно рассчитывать на успех. Как добиться успешного участия школьника в математической олимпиаде? А как добиться хороших результатов в спорте? Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться. Для успеха в конкурсной математике, конечно, нужно решать задачи. Успех связан не только со способностями, но и со знанием классических олимпиадных задач. Поэтому к олимпиаде надо серьёзно готовиться. Как сказал американский математик Дьёрдь По́йа «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

Разговор об олимпиадных задачах мы начинали с решения занимательных задач. Для учащихся 5-6 классов очень важен этот «занимательный» подход. Начнем с рассмотрения забавного перевода С. Я. Маршака одного шутливого английского стихотворения:

Их было десять чудаков,

Тех путников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него,

И девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад

Десятому герою.

Хоть много лет прошло с тех пор,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

   Внимательный ученик сразу заметит, что первого и второго путников в тексте сначала поместили в комнату «А», а потом одного из них невольно перебросили в десятую комнату, одного и того же человека подсчитали два раза.

   Гораздо проще задача может быть пояснена при помощи принципа Дирихле (Дирихле Петер Лежен (1805-1859) - немецкий математик, иностранный член многих иностранных академий наук).

   Представим этот принцип в такой шутливой форме: «Если в N клетках сидят не менее N+ I кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроликов». Обратим внимание на расплывчатость выводов - «в какой-то из клеток», «не менее». Это является, пожалуй, отличительной чертой принципа Дирихле, которая иногда приводит к возможности неожиданных выводов на основе, казалось бы, совершенно недостаточных сведений. Детям  сформулируем просто: Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

   Доказательство самого принципа чрезвычайно просто, в нем используется тривиальный подсчет кроликов в клетках. Если бы в каждой клетке сидело не более одного кролика, то всего в наших N клетках сидело бы не более N кроликов, что противоречило бы условиям. Таким образом, мы доказали принцип Дирихле методом «от противного».

    Главная цель в решении такого рода задач - определение "зайцев" и "клеток" в данной конкретной задаче. Чаще всего - это самый трудный этап в решении, так как выбор не всегда очевиден.

    Очень ценным является то, что данный метод дает неконструктивное доказательство (ведь мы точно не можем указать, в какой именно клетке находятся более одного зайца); в отличие от конструктивного, когда нужно идти путем полного построения или явно указывать искомый объект, что зачастую приводит к значительным трудностям и затратам времени.

Задача 1. В мешке лежат шарики двух цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно достать из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Решение. Ясно, что кроликами в этой задаче являются шарики, а клетками — цвета: черный и белый. Достаем из мешка 3 шарика. Если среди этих шариков было не более одного шарика каждого из цветов - это очевидно, и противоречит тому, что мы достали три шарика. С другой стороны, понятно, что двух шариков может и не хватить.

Задача 2. Доказать, что среди n + 1 целого числа можно выбрать два, разность которых делится на n.

Решение. При делении на п любое число дает в остатке одно из чисел 0, 1,2, 3, ..., n, т. е. существует всего n различных остатков. Поэтому среди n +1 числа найдутся два, дающие одинаковые остатки при делении на п. Разность этих чисел делится на п

Задача 3.

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Доказать, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем клеткам-сортам. Так как 25 = 3 х 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N= 3, к = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков. (Обобщенный принцип Дирихле. Если в N клетках сидят не менее kN + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит по крайней мере к + 1 кролик).

Задача 4  

Дано 7 различных натуральных чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, чтобы их разность делилась на 6.

Доказательство: При делении на 6 существует шесть различных остатков: r =0, 1, 2, 3, 4, 5. Применим принцип Дирихле. В даному случае "клетками" будут остатки, а "кролики" - числа. Кроликов  7, а чисел 6. Потому как минимум два числа имеют одинаковые остатки.

Пусть эти числа x и y (x, y ∈ N)

Тогда x = 6p + r, а y = 6q + r. А значит x - y = 6(p - q). Что и требовалось доказать.

ЧЕТНОСТЬ

  Понятие четности возникает при рассмотрении самых различных математических задач. Если элементы произвольного множества могут быть условно разделены на две примерно равные группы с диаметрально противоположными свойствами, то речь идет о четности.

Понятия: левый — правый; по часовой стрелке — против часовой стрелки; черный — белый (для шахматной доски, например), женский — мужской; четный - нечетный, - для целых чисел связаны в математике с понятием четности.

1. Чередование

Для простоты понимания вопроса будем рассматривать конкретные задачи и принципы, приводящие к их решению.

Задача 1. На плоскости расположены 7 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки цепочки вращаться?

Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая - против часовой стрелки. Третья - снова по часовой стрелке, четвертая - против и т. д. Ясно, что все «четные» шестеренки должны вращаться против часовой стрелки, а все «нечетные» — по часовой стрелке. Но тогда 1-я и 7-я шестеренки должны вращаться по часовой стрелке. Мы пришли к противоречию: нарушается принцип чередования.

Цепочка шестеренок не может вращаться. Главной идеей решения этой задачи было чередование направлений вращения. Эта идея будет присутствовать еще не в одной задаче.

Задача 2. Маша и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка — одного пола. Мальчиков среди Машиных друзей семь. А сколько девочек?

Решение. Очевидно, что в чередующейся замкнутой цепочке объектов одного вида (мальчиков) столько же, сколько и объектов другого вида (девочек). У Маши шесть подруг.