практикум по решению задач базового уровня №20
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Слайд 1

Практикум по решению задачи №20 (базовый уровень)

Слайд 2

Тип №1 Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков? Решение. Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, т.к. количество прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек. 0 11

Слайд 3

Тип №2 Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Решение. За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр. За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего дня она уже окажется на вершине дерева. Ответ: 7

Слайд 4

Тип №3 Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462 , а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный . На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Решение. Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже. Если бы на каж­дой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию. Значит Саша живёт на пятом этаже.

Слайд 5

Тип №4 Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров ? Решение. Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым элементом 3500 и разностью 1600. Сумма первых элементов арифметической прогрессии — То есть в нашем слу­чае имеем

Слайд 6

Тип №5 Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера? Решение. Время, проведённое на беговой дорожке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом равным 15 и разностью 7 . Сумма членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: Ответ: 5.

Слайд 7

Тип №6 В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Решение. В корзине есть как минимум 19 рыжиков. Иначе можно было бы взять 12 груздей и первое условие не выполнялось. Аналогично из второго условия следует, что в корзине как минимум 11 груздей. Сопоставляя эти два факта, получим, что в корзине именно 19 рыжиков и 11 груздей. Ответ: 19.

Слайд 8

Тип №7 На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Решение. Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14. Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4. Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6. Всего линий: 14+4+6=24 линии, следовательно, кусков будет 25. Ответ: 25

Слайд 9

Тип №8 Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Слайд 10

Решение На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно: Тогда 3 + 3( n -1)=30; 3+ 3 n -3=30; 3 n =30; n =10 , т.е. прошло 10 дней по схеме увеличения до 30 капель. Знаем формулу суммы ариф. прогрессии: Вычислим S10 :

Слайд 11

За следующие 3 дня – по 30 капель: 30 · 3 = 90 (капель) На последнем этапе приёма: Т.е. 30 -3( n-1 ) =0; 30 -3n+3=0; -3n=-33; n=11 т.е. 11 дней приём лекарства уменьшался. Найдём сумму арифметич. прогрессии 4) Значит 165 + 90 + 165 = 420 капель всего 5) Тогда 420 : 250 = 42/25 = 1 (17/25) пузырька Ответ: надо купить 2 пузырька

Слайд 12

Тип №9 На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в км. Решение. Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали дан­ным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и C будет 15 км. Ответ: 15.

Слайд 13

Тип №9 На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Решение. Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали данным в условии. Тогда между B и D будет 15 км. А между B и С —10 км. Ответ: 10

Слайд 14

Тип №10. В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год? Решение. Последовательно рассчитаем сколько холодильников было продано за каждый месяц и просуммируем результаты: 10 · 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+ +(55+15)+(70-15)+ (55-15)+ +(40-15)+ (25-15)= = 40 +25+ 40 + 55 +70+ 55 + 40 +25+10= =120+110+130=360 Ответ: 360.

Слайд 15

Тип №11. На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора. Решение. Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части . Рассмотрим сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей . Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 · 18 = 432 части. Ответ: 432.

Слайд 16

Тип №12. Прямоугольник разбит на 4 маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого и далее по часовой стрелке, равны 9,12, 32 . Найдите площадь четвертого прямоугольника? Решение. 1) S1 : S2=( а1в1 ) : (а1в2)=9:12 => в1:в2=9:12, в1= 3/4 · в2 2) S 2: S 3 =( в2а1) : (в2а2)=12:32 => а1 : а2=12 : 32, а2= 8/3 · а1 Тогда S = 3/4 · в2 · 8/3 · а1 = 3/4 · 8/3 · · (в2 · а1)=2 · 12= 24 Ответ: 24 S 1 = 9 S 2 = 12 S 3 = 32 ? а 1 а 2 в 1 в 2 S ?= в 1 · а 2

Слайд 17

Тип №13. Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток? Решение. Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю. Ответ: 0.

Слайд 18

Тип №13. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 7? Решение. Достаточно взять два числа, одно из которых кратно семи, например, 7 и 8 . Ответ: 2.

Слайд 19

Тип №14. Ящики двух видов, имеющие одинаковую ширину и высоту, укладывают на складе в один ряд длиной 43м, приставляя друг к другу по ширине. Ящики одного вида имеют длину 2м, а другого-5м. Какое наименьшее число ящиков потребуется для заполнения всего ряда без образования пустых мест? Решение. Т.к. надо найти наименьшее число ящиков, то => надо взять наибольшее количество больших ящиков. Значит 5 · 7 = 35; 43 – 35 = 8 и 8:2= 4 Значит ящиков всего 11. 43м 2 5

Слайд 20

Тип №14. Ящики двух видов, имеющие одинаковую ширину и высоту, укладывают на складе в один ряд длиной 43м, приставляя друг к другу по ширине. Ящики одного вида имеют длину 2м, а другого-5м. Какое наибольшее число ящиков потребуется для заполнения всего ряда без образования пустых мест? Решение. Т.к. надо найти наименьшее число ящиков, то => надо взять наибольшее количество маленьких ящиков. Значит 2 · 19 = 38; 43-38=5 и 5 : 5 = 1 Значит ящиков всего 20 43м 2 5

Слайд 21

Тип №15. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 119, во втором - 125, в третьем - 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в столбце? Решение. Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377 Числа 18 и 15 не включены в предел, значит: 1) если сумма в строке = 17, то, количество строк равно 377 : 17= =22,2 2) если сумма в строке = 16, то, количество строк равно 377 : 16= =23,5 Значит кол-во строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5)

Слайд 22

Тип №16. Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся? Решение. Пусть Х – количество верных ответов у – количество неверных ответов. Тогда составим уравнение 5х -11у = 75, где 0 < х < 36 и 0 < у < 36 . Из уравнения видно, что у делится на 5. Пусть: 1) у=5, тогда 5х = 75 + 11у= 75 + 55=130, тогда х = 130 : 5 = 26 и это меньше 36. 2) у=10, тогда 5х =75 +11у=75+110=185, тогда х = 185 : 5=37, но это больше 36. Ответ: 26

Слайд 23

Тип №17. Разные В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? Решение. Салат можно выбрать шестью способами, первое — тремя , второе — пятью , десерт — четырьмя . Следовательно, всего 6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда. Ответ: 360.

Слайд 24

Тип №17. Разные Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана? Решение. Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. Т.е. если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд, т. е. через 59 · 60 + 59 = 3599 секунд.

Слайд 25

Тип №17. Разные В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду? Решение. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 24 и разностью 2. Член арифметической прогрессии с номером 8 может быть найден по формуле Ответ: 38.

Слайд 26

Тип №17. Разные Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут. Решение. На подъём в гору группа затратила 290 минут , на отдых 10 минут , на спуск с горы 210 минут . В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут . Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут.

Слайд 27

Тип №17. Разные В бак для полива объемом 10,2 куб. м насос непрерывно закачивает 1,2 кубометра воды каждый час. Но в днище бака есть небольшое отверстие, через которое каждую минуту вытекает 3 литра. За сколько часов пустой бак будет заполнен полностью? Решение. 1 куб. м = 1000 литров. Объем бака равен 10,2 · 1000= 10200 л. Каждый час насос закачивает 1,2 · 1000 =1200 литров. И так как каждую минуту из бака вытекает 3 литра , то за час из бака вытекает 3 · 60 = 180 л. Значит, каждый час бак наполняется на 1200 - 180 = 1020 л. 10200 :1020 = 10, т.е. пустой бак будет заполнен полностью за 10 часов.

Слайд 28

Тип №17. Разные В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метров. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая ее уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды , наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см? Решение. Уровень воды в котловане равен 2 метра = 2 · 100 = 200 см. Каждый час из котлована вода уходит на 20 - 5 = 15 см. 200 - 80=120 см - нужно откачать из котлована, чтобы уровень воды опустился до 80 см . 120:15 = 8. То есть через 8 часов уровень воды в котловане будет 80 см. Ответ: 8.

Слайд 29

Тип №17. Разные В обменном пункте можно совершить одну из двух операций : · за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную ; · за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную . У Николая были только серебряные монеты . После нескольких посещений об­мен­но­го пункта серебряных монет у него стало меньше , золотых не появилось , зато появилось 100 медных . На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая ? Решение. Во время операции первого типа Николай отдает 2 золотых монеты, и взамен получает 3 серебряных и одну медную. Запишем это так : Во время операции второго типа Николай отдает 5 серебряных монет, и взамен получает 3 золотых и одну медную. Запишем это так : Пусть было проведено х операций первого типа, и у операций второго типа .

Слайд 30

Тип №17. Разные В обменном пункте можно совершить одну из двух операций : · за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную ; · за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную . У Николая были только серебряные монеты . После нескольких посещений об­мен­но­го пункта серебряных монет у него стало меньше , золотых не появилось , зато появилось 100 медных . На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая ? Решение. Тогда в результате проведения этих операций число медных монет увеличится на 100 . Получили систему уравнений : X + y = 100 -2x +3y = 0 Решая систему, получим: y = 40 , X = 60 Тогда количество серебряных монет изменится на: 3x – 5y = 3*60 – 5*40 = - 20 То есть, уменьшится на 20.