Задачи немецких олимпиад по математике (от Маркова С.Н.)
олимпиадные задания по математике

В скобках первая цифра указывает номер этапа (1 - школьный этап, 2 – муниципальный (районный) этап, 3 – региональный (земельный) этап, 4 – заключительный всегерманский этап)  вторая цифра означает номер класса.

 * означает незначительное изменение в условиях или в формулировке задания.

8.65. (2-11) В остроугольном треугольнике  АВС  проведены высоты  ВК  и  СМ . Прямая, проходяшая через точку  Н  пересечения высот, пересекает стороны  АВ  и  АС  в точках соответственно  Т  и  О . Из точек  Т  и  О  опущены перпендикуляры  ТР  и  ОЕ  на высоты соответственно  ВК  и  СМ .  Докажите, что МР  параллельно  КЕ .  

8.66. (4-9) В выпуклом четырёхугольнике  АВСТ  точка  М – середина стороны  ВС ,  а точка  К – середина стороны  АТ .  Докажите, что  АВСТ  будет параллелограммом тогда и только тогда, когда  МТ : ВК = СК : МА .

8.67. (3-9*) Найдите геометрическое место середин всех двузвенных ломаных  АВС , где  А  и  В  – фиксированные точки на плоскости, а  С – произвольная точка на окружности с диаметром  АВ .

8.68. (4-9) Дан треугольник  АВС .  На продолжении стороны АВ  за точку  В  взята точка  Р , а на продолжении стороны  АС  взята точка  К  так, что  ВР : АВ = АС : КС .  Докажите, что все такие прямые  РК  имеют общую точку.

8.71. (3-11) Диагонали выпуклого четырёхугольника  АВСТ  пересекаются в точке  М .  Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники  АВМ  и  СТМ  равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники  ВСМ  и  АТМ

8.73. (3-8) На сторонах треугольника  АВС вовне построены правильные треугольники  АВС1, ВСА1, САВ1 . Докажите, что  АА1 = ВВ1 = СС1 .

8.74. (3-10) На сторонах  АВ, ВС, СА  треугольника  АВС взяты точки соответственно  М, К, Р,  причём  АМ = ВМ .  Докажите, что  АР2 + КР2 + ВК2 ≥ РМ2 + (АВ/2)2 + КМ2 .

8.75. (4-9) Остроугольный треугольник  АВС  вписан в окружность с центром  О .  О1, О2 – центры окружностей, описанных вокруг треугольников соответственно  АОС  и  ВОС .  Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников  АВО  и  О1ОО2 , касаются друг друга.

8.76. (3-8) На сторонах  АС  и  ВС  остроугольного треугольника  АВС вовне построены квадраты. О1  и  О2 – центры этих квадратов (точки пересечения диагоналей),  точка  О – середина стороны  АВ .  Докажите, что треугольник  О1ОО2  равнобедренный и прямоугольный.

8.77. (4-8) Дан треугольник  АВС ,  высоты которого имеют длины  9, 29  и  к ,  где  к – целое положительное число.  

Найдите все возможные значения  к .

8.78. (3-11) Из точки  С  вне окружности  к1  проведены касательные  СА  и  СВ  к окружности  к1 .  Окружность  к2  проходит через точки  В  и  С  и касается прямой  АВ .  К – точка пересечения окружностей  к1  и  к2 ,  отличная от  В .  Докажите, что прямая  АК  делит отрезок  ВС  пополам.

8.82. (3-11) Определите, какие из следующих утверждений являются верными:

1) Существует тетраэдр, параллельные проекции вершин которого на некоторую плоскость являются вершинами некоторого прямоугольника.

2) Для всякого тетраэдра существует плоскость, параллельные проекции вершин тетраэдра на которую являются вершинами некоторого прямоугольника.

3) Для всякого тетраэдра существует плоскость, параллельные проекции вершин тетраэдра на которую являются вершинами некоторого парллелограмма.

8.84. (3-11) Дан квадрат  АВСТ  со стороной  1 .  На сторонах  СТ  и  АТ  взяты точки  Р  и  К  так, что периметр треугольника  КРТ  равен  2 .  Докажите, что угол  КВР  равен  450 .

8.85. (3-10) В треугольнике к сторонам с длинами  a, b, с  проведены высоты соответственно  ha, hb, hc .  Докажите, что  (ha - hb)·hc < ha·hb < (ha + hb)·hc.

8.81. (3-11) Дан прямоугольник  АВС  со сторонами  АВ = 5  и  ВС = 10 . На стороне  ВС  взята точка  Р  так, что площадь квадрата с вершиной   вдвое больше площади вписанного квадрата с вершиной  В (см. рисунок). Найдите отношение РС  к  РВ .                                                                                                                √2 – 1                          

8.86. (4-9) Вписанная в прямоугольный треугольник  АВС  окружность касается гипотенузы  АВ  в точке  Р .  Докажите, что площадь треугольника  АВС  равна произведению отрезков  АР  и  ВР .,

8.87. (4-9) В треугольнике  АВС  проведена биссектриса  АТ .  Докажите, что  АТ2 = (АС + ТС)∙(АВ – ТВ) .

8.88. (2-10*) Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике средние линии (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) равны тогда и только тогда, когда диагонали четырёхугольника перпендикулярны друг другу.

8.89. (3-8*) Дан параллелограмм  АВСТ  с углом  А  в 600 .  На прямых  СТ  и  АТ  взяты точки соответственно  М  и  К  так, что  АМ = АТ  и  СК = СТ .  Докажите, что треугольник  ВКМ  равносторонний.