Задачи для подготовки к олимпиадам по математике (с решениями)
олимпиадные задания по алгебре по теме

Задачи для подготовки к олимпиадам по математике

(с решениями)

     5 класс.

1. В букете 11 цветов, причем 5 из них – красные, а 6 розы. Какое наибольшее число  

      белых гвоздик может быть в букете?

2. Разделите 7 полных, 7 пустых и 7 полупустых бочек меда между тремя купцами, чтобы

       всем досталось поровну и бочек и меда. (Мед из бочки в бочку не переливать!)

3. Известно, что 4 персика, 2 груши и яблоко вместе весят 550 г, аперсик,   3 груши и  

           яблока вместе весят 450г. Сколько весят персик,груша и яблоко вместе?

4. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 руб. А на 15 тетрадей у

       него не хватило 7 руб. Сколько денег было у школьника?

5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 и 5л.
6. В четырехэтажном доме Ваня живет выше Пети, но ниже Кати, а Марат живет ниже

       Пети. Кто на каком этаже живет

7. Можно ли заменить несколько минусов на плюсы в равенстве

                 2004-1-2- 3-4-5-6-7-8=2003 так, чтобы оно стало верным?

8. В каком числе столько же цифр, сколько букв?
9. Шесть котов за шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы

       за 100 минут съесть 100 мышей?

10. У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет.  Я пошел другу,

       часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно  

      поставить свои часы. Как мне удалось это сделать?

11. В этом примере пропущены два одинаковых числа:

385. -        +8)(         :385+9). Какое число пропущено?

12.Изображенную на чертеже фигуру требуется разделить на шесть частей, проведя всего

      лишь две прямые.

13. Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 ч утра. Точно в 8 ч к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 ч утра и пошел навстречу машине. Встретив машину, он сел в нее и приехал на завод на 20 мин раньше, чем обычно. Определить показание часов в момент встречи  

      инженера с машиной.

14. Малыш съедает банку варенья за шесть минут, а Карлсон – в два раза

быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

15. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры.

Сколько страниц в этой книге

                                                            6 класс.

1. Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились веса: 7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Определите общий вес всех четырех кошек.
2. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше монет, чем первый, третий – втрое больше, чем второй, четвертый – вчетверо больше, чем третий, а все вместе они дали 132 монеты. Сколько монет дал третий жертвователь?
3. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда, когда мотоциклисту осталось проехать треть пути до пункта В. Мотоциклист, доехав до пункта В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в пункт А или велосипедист в пункт В?
4. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?
5. Отрежьте от шнура длиной  м кусок длиной полметра, не пользуясь линейкой.
6. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся карточки они спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!» Какие числа написаны на карточках первого мудреца?
7. Коля поймал за 5 дней 512 мух. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней?
8. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них было получено три ответа: 1) Андрей – первый, Борис – второй, 2) Андрей – второй, Геннадий – третий, 3) Вадим – второй, Геннадий – четвертый. В каждом из этих ответов часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?
9. В ящике лежат 35 шариков. Двое играющих по очереди вынимают их из ящика, причем по условию игры каждый обязан вынуть в свой ход не менее одного шарика и не более пяти. Проигравшим считается тот, кто вынужден будет своим ходом вынуть из ящика последний шар. Может ли игрок, делающий ход первым, обеспечить себе выигрыш? Каким образом?
10. Мимо железнодорожной станции за известный промежуток времени прошли три поезда. В первом поезде было 418 пассажиров, во втором – 494, в третьем – 456. Узнать, сколько пассажирских вагонов в каждом поезде, если известно, что в каждом вагоне по одинаковому числу пассажиров и число их наибольшее из всех возможных.
11. У змея Горыныча 2000 голов. Сказочный богатырь одним ударом отрубает 1, 17, 21 или 33 головы, но при этом, соответственно, вырастают 10, 14, 0 или 48 голов. Если все головы отрублены, то новые не отрастают. Сможет ли богатырь победить змея?
12. В трех ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором – на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
13. Числа a и b – целые. Известно, что a+b=2004. Может ли сумма 7a+3b равняться 6799?
14. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9 три трехзначных числа так, чтобы сумма двух чисел равнялась третьему числу и при этом у одного из этих чисел цифра десятков была равна 8 (каждую цифру нужно использовать один раз).)

Игра-лотерея проводится следующим образом. Выбирается случайное число от 1 до 1000. Если оно делится на 2, платят один рубль, если делится на 10 – два рубля, на 12 – четыре рубля, на 20 – восемь, если же оно делится на несколько этих чисел, то платят сумму. Сколько можно выиграть (за один раз) в такой игре?(

7 класс.

1. После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение, оказалось, что запасов питьевой воды, имеющейся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как раньше. Сколько людей было на корабле сначала?

2. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого купца, то соберут 90 руб., без второго – 85 руб., без третьего – 80 руб., без четвертого – 75 руб. Сколько у кого денег?                                
3. Можно ли перенумеровать ребра куба числами от1 до 12 (каждое ребро – своим числом), чтобы сумма номеров любых трех ребер, сходящихся в одной вершине, делилась на 3?                        
4. Пусть запись ab обозначает наибольшее из чисел 2a и a+b. Решите уравнение .
5. В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их в этой второй кучке.                                                        
6. Вычислите .                        
7. Если полторы курицы несут полтора яйца за полтора дня, то сколько кур плюс еще полкурицы, несущихся в полтора раза быстрее, снесут десяток яиц с половиной за полторы недели?                        
8. И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе, Ваня, до завтрашнего утра. Утром явишься ко предо мною. Задумаю три цифры a, b, c, а ты назовешь мне три числа x, y, z. Выслушаю тебя и скажу, чему равно выражение ax+by+cz. Тогда угадай, какие цифры я задумал. Не угадаешь – голова с плеч…» Опечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Нужно бы ему помочь. Как?                                
9. Решите уравнение: x-(x-(x-…-(x-1)…))=1 (в записи содержится 2005 пар скобок).                
10. Даны два целых числа a и b. Доказать, что число ab(a+b) – четное.                                
11. Из городов А и В навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 8 ч. Если бы скорость автомобиля, выехавшего из А, была больше на 14 %, а скорость автомобиля, выехавшего из В, была больше на 15 %, то встреча произошла бы через 7 ч. Скорость какого автомобиля больше и во сколько раз?          
12. Нефтепровод проходит мимо трех деревень А, В, С. В первой деревне сливают 30% от первоначального количества нефти, во второй – 40% того количества, которое дойдет до деревни В, а в третьей – 50% того количества, которое дойдет до деревни С. Сколько процентов нефти от первоначального количества доходит до конца нефтепровода?  
13. Можно ли расставить по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру?                                                                        
14. Даны четыре гири с маркировками: 1, 2, 3 и 4 гр. Одна из них бракованная: более легкая или тяжелая, чем указано. Можно ли за два взвешивания определить, какая гиря бракованная, узнав при этом легче она или тяжелее, чем должна быть?                                                                        
15. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маяковского и Пастернака, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маяковский и Пастернак стояли рядом?                

8 класс.

1. Иван Иванович пришел в магазин, имея 20 рублей. В магазине продавали веники по 1 руб. 17 коп. и тазики по 1 руб. 66 коп. (других товаров в магазине уже не осталось). Сколько веников и сколько тазиков ему нужно купить, чтобы потратить как можно больше денег?                                                
2. Сократить дробь .                                                        Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?        
3. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой – целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось 13/23. Какая дробь была написана на доске?                                Даны числа 1, 2,3 4, 5, 6. Разрешено к любым двум из них прибавлять по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?                                                                        
4. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?                        Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Достигнув берега, они сразу отправляются обратно. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?                                                Существуют ли целые числа a, b и c, такие, что (3a-b)(3b-c)(3c-a)=5005?                        
5. Про два числа x и y известно следующее: 1) если, то ; 2) если, то; 3) если , то . Найдите x и y.                                                                
6. Имеются бочки весом в 1, 2, 3, 4, …, 19, 20 пудов. Можно ли разложить их в три грузовика поровну (по весу)? Тот же вопрос для бочек весом в 1, 2, 3, …, 9, 10 пудов.                                        
7. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?                                                
8. Представьте число 2004 в виде дроби, числителем которой является девятая степень какого-то целого числа, а знаменателем – десятая.                                                                        Расставьте в таблице 44 10 минусов так, чтобы в каждом столбце было четное число минусов, а в каждой строке – нечетное.                                                                                
9. В парке проложена замкнутая дорожка, имеющая вид прямоугольника со сторонами 5м и 3м. По дорожке гуляет дама с собачкой, держа ее на поводке длиной 1м. Нарисуйте участок парка, по которому сможет гулять собачка, не обрывая поводка, если дама обойдет всю дорожку. (Собачка может гулять и внутри, и снаружи дорожки).        Сколькими способами хромая ладья может с поля а1 попасть на поле h6, двигаясь только вправо и вверх? Хромая ладья ходит только на одну клетку.        

8 класс.

10. Иван Иванович пришел в магазин, имея 20 рублей. В магазине продавали веники по 1 руб. 17 коп. и тазики по 1 руб. 66 коп. (других товаров в магазине уже не осталось). Сколько веников и сколько тазиков ему нужно купить, чтобы потратить как можно больше денег?                                                
11. Сократить дробь .                                                        Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?        
12. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой – целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось 13/23. Какая дробь была написана на доске?                                Даны числа 1, 2,3 4, 5, 6. Разрешено к любым двум из них прибавлять по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?                                                                        
13. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?                        
14. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Достигнув берега, они сразу отправляются обратно. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?                                                (
15. Существуют ли целые числа a, b и c, такие, что (3a-b)(3b-c)(3c-a)=5005?                        
16. Про два числа x и y известно следующее: 1) если, то ; 2) если, то; 3) если , то . Найдите x и y.                                                        17.  Имеются бочки весом в 1, 2, 3, 4, …, 19, 20 пудов. Можно ли разложить их в три грузовика поровну (по весу)? Тот же вопрос для бочек весом в 1, 2, 3, …, 9, 10 пудов.                                        

18. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?                                                

19. Представьте число 2004 в виде дроби, числителем которой является девятая степень какого-то целого числа, а знаменателем – десятая.                        

20. Расставьте в таблице 44 10 минусов так, чтобы в каждом столбце было четное число минусов, а в каждой строке – нечетное.                                

21. В парке проложена замкнутая дорожка, имеющая вид прямоугольника со сторонами 5м и 3м. По дорожке гуляет дама с собачкой, держа ее на поводке длиной 1м. Нарисуйте участок парка, по которому сможет гулять собачка, не обрывая поводка, если дама обойдет всю дорожку. (Собачка может гулять и внутри, и снаружи дорожки).        

22. Сколькими способами хромая ладья может с поля а1 попасть на поле h6, двигаясь только вправо и вверх? Хромая ладья ходит только на одну клетку.                                                        

10 класс.

1. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

2. В таблице 2 х 2 стоят четыре натуральных числа. Известно, что числа, соседние по вертикали, отличаются на 6, а соседние по горизонтали – в два раза. Найдите эти числа (все возможные варианты) и докажите, что других нет.

3. Можно ли изготовить прямоугольную коробку площади не больше 16, чтобы в нее можно было поместить два пирожных (см. рис.)? Каждое пирожное состоит из пяти квадратов 1 х 1 в форме креста.

4. a, b, c, d – стороны четырехугольника в порядке обхода. Докажите, что его площадь не превосходит (ac+bd)/2.

5. Существуют ли на плоскости четыре точки, попарные расстояния между которыми равны 1, 3, 4, 5, 7 и 8 см?

6. На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших стоили вчера, а две большие и одна маленькая сегодня – столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленькие сегодня, или пять маленьких вчера?

7. Можно ли на клетчатой бумаге закрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было четное число закрашенных соседей?

8. Вырежьте из квадрата 13 х 13 наибольшее количество прямоугольников 1 х 5.

9. Стороны нескольких прямоугольников параллельны осям координат. Любые два из них имеют общую точку. Докажите, что все они имеют общую точку.

10. По прямой летят с равными скоростями 10 одинаковых шариков: 5 слева и 5 справа. После столкновения шарики летят с теми же скоростями в противоположные стороны. Сколько всего произошло столкновений?

11. Доказать, что при всех натуральных n n3+5n делится на 6.

12. В ряд выписано 2005 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найти последнее число.

13. На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 2004 другими. Чему может быть равно n?

14. Дано 17 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

15. В народной дружине 100 человек, и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

11 класс.

1. Альпинист должен спуститься с вершины отвесной скалы высотой 300 м. На высоте 100 м и 200 м есть площадки, на которых он может остановиться. В распоряжении альпиниста есть веревка длиной 180 м, он может её отрезать, прикреплять к скале (к вершине или на уровне любой площадки), вязать любые узлы, но не может снизу взять веревку, если она где-то выше прибита к скале. Разработайте план действий альпиниста.

2. В таблице 3 х 3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2 х 2 равно 2. Какое число стоит в центре?

3. На плоскости даны треугольник ABC и такие точки D и E, что ADB=BEC=900. Докажите, что длина отрезка DE не превосходит полупериметра треугольника ABC.

4. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

5. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам добавить по единице. Можно ли за несколько таких действий все числа сделать равными?

6. Пешеход шел 3,5 часа, причем за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км. Мог ли он за это время пройти больше 17,5 км?

7. Можно ли расположить на координатной плоскости прямоугольный треугольник с целыми сторонами так, что координаты всех его вершин целые, и ни одна сторона не параллельна осям координат?

8. Четыре населенных пункта находятся в вершинах квадрата со стороной 4 см. Как соединить их системой дорог, имеющей длину не более 11 км, так, чтобы из любого населенного пункта можно было добраться в любой из остальных по этим дорогам?

9. Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

10. Сколько существует пятизначных четных чисел, в записи которых есть хотя бы одна тройка?

11. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

12. Правильный 2005-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один остроугольный.

13. На какое наименьшее число прямоугольников можно разрезать фигуру (см. рис.)? Резать можно только по границам клеток.

14. Три мухи сели в полдень на секундную, минутную и часовую стрелки и поехали на них. Когда какая-то стрелка обгоняла другую, сидящие на этих стрелках мухи менялись местами (а если бы секундная стрелка обогнала часовую и минутную стрелки одновременно, то местами поменялись бы мухи с секундной и часовой стрелок). Сколько кругов проехала каждая из мух до полуночи?

15. Известно, что a+b+c=5, ab+ac+bc=7. Найти a2+b2+c2.

                                                                    Решения.

1. Всего 11 цветов, 6 из них – розы, следовательно, гвоздик 11-6=5. Из всех цветов  5 имеют красный цвет, а остальные – белый. Тогда наибольшее число гвоздик белого цвета мы получим, если красными будут только розы. Значит, наибольшее число белых гвоздик может быть 5.                                                                                 Ответ: 5

2. Эта задача имеет несколько решений, приведем одно из них. Первому купцу отдадим 3 полные, 1 полупустую и 3 пустых бочки; второму – 2 полные, 3 полупустые и 2 пустые бочки; третьему также 2 полные, 3 полупустые и 2 пустые бочки.
3. Сложим все фрукты на весы, их общий вес равен 550+450=1000 г, при этом на весах оказалось 5 персиков, 5 груш и 5 яблок. Тогда персик, груша и яблоко весят 1000:5=200 г.                               Ответ: 200 г
4. : Разница в тетрадях, которые ученик хотел приобрести, 15-11=4, а разница в рублях 5+7=12. Следовательно, каждая тетрадь стоит 12:4=3 рубля. Тогда денег у школьника было 113+5=38 рублей.

        Ответ: 38 рублей

5. Решение: Оформим решение таблицей, в которой будем указывать, сколько литров молока в данный момент находится в каждом бидоне:

      Необходимо иметь в виду, что «лишнее» молоко мы выливаем обратно

      в цистерну.

6. Из условия задачи ясно, что Марат живет ниже всех, а Ваня - между  Петей и Катей. Следовательно, на первом этаже живет Марат, на втором – Петя, на третьем – Ваня и на четвертом – Катя.
7. При любом сочетании минусов и плюсов выражение 20041234567 8=2003 будет четным, поэтому оно не может быть равно нечетному числу 2003. Ответ: нельзя
8. Сто, миллион
9. Шесть котов за шесть минут съедают шесть мышей, тогда шесть котов за 1 минуту съедят в 6 раз меньше мышей, то есть одну. Таким образом, за сто минут съедят сто мышей эти же шесть котов.

Ответ: 6 котов

10. Я завел свои часы и запомнил, сколько времени они показывают (например, 12.00). Придя к другу и уходя от него, я оба раза посмотрел на его часы (16.00 и 17.00), а поэтому я знал, сколько времени я пробыл у него и во сколько от него ушел. Придя домой, я определил по своим часам, сколько времени я отсутствовал (например, часы показывают 14.00, т. е. отсутствовал 2 часа), а вычтя из этого времени то время, которое пробыл у друга (1 час), определил, сколько времени я потратил на путь к нему и от него (2 -1=1 час). Разделив это время пополам (полчаса) и прибавив его к последнему показанию часов друга, я определил время прибытия к себе домой (17.00+0.30=17.30).
11. В первой скобке уменьшаемое не должно быть больше 385. Во второй скобке делимое не может быть меньше 385. Следовательно, пропущено число 385.                                                                Ответ: 385

12. Это можно сделать так:

13. Инженер приехал на завод на 20 мин раньше обычного, т.е. машина ехала на 20 мин меньше, чем обычно. А это то время, которое ей нужно, чтобы проехать от места встречи с инженером до вокзала и обратно до места встречи. Значит, машине не хватило 10 мин, чтобы доехать до вокзала (т.е. до 8 часов). Следовательно, часы показывали 7ч 50 мин.                                     Ответ: 7 ч 50 мин
14. Малыш съедает 1 банку за шесть минут, а Карлсон за шесть минут съедает две банки, тогда вместе они за шесть минут съедят 3 банки варенья. Следовательно, одну банку варенья они съедят за 6:3=2 минуты.                                                            Ответ: 2 минуты

)

15. Для нумерации страниц с 1 по 9 понадобится 9 цифр, для страниц 10-99 требуется 902=180 цифр, тогда на страницы с трехзначными числами было использовано 1392-9-180=1203. Следовательно, таких страниц 1203:3=401. 401 страница и еще 99 страниц, упомянутых выше, дают ответ 500 страниц.                    Ответ: 500 страниц

                                                                                6 класс.

1. Пронумеруем кошек, тогда возможные комбинации их попарного  взвешивания:

        1и2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. Мы видим, что каждая кошка участвовала во  

        взвешиваниях по 3 раза. Следовательно, сложив массы кошек во всех

       комбинациях и разделив на 3, получим нужный общий вес кошек:

                   (7+8+9+10+11+12):3=57:3=19 кг.

                   Ответ: 19 кг

2. Пусть первый дал одну часть монет, тогда второй – 21=2 части, третий – 32=6

        частей и четвертый – 46=24 части. Все вместе дали 1+2+6+24=33 части, а это 132

        монеты, т.е. на одну часть приходится 132:33=4 монеты. Следовательно третий  

        пожертвовал 64=24 монеты.

                     Ответ: 24 монеты

3. Велосипедист проехал треть пути быстрее, чем мотоциклист две трети пути.  

        Велосипедисту после остановки осталось проехать расстояние в два раза большее,

        чем он проехал до остановки. Мотоциклисту осталось проехать треть расстояния  

       АВ и вернуться в пункт А, т.е. тоже вдвое больше, чем он уже проехал.   Сле -  

       довательно, велосипедист будет в пункте В раньше, чем мотоциклист в пункт А.

                  Ответ: велосипедист приедет раньше

4. Будем решать задачу с конца. На последнем озере села половина гусей, которая

        летела и еще полгуся, а сели все гуси, следовательно, на 7 озеро сел 1 гусь. Тогда

        перед шестым озером было (1+0,5)2=3 гуся, перед пятым – (3+0,5)2=7 гусей,

        перед четвертым – (7+0,5)2=15 гусей, перед третьим – (15+0,5)2=63 гуся, и,

        наконец, перед первым озером летело (63+0,5)2=127 гусей.

                   Ответ: 127 гусей

5. Следует сложить шнурок вчетверо и отстричь четверть, оставшаяся часть равна

           м.

6. На карточках записаны числа 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11. Заметим, что из них три

     четных, а четыре нечетных числа. Сумма чисел на двух карточках у второго

                  мудреца четна, когда оба числа одинаковой четности, т.е. либо оба четные, либо оба

                 нечетные. Но такое заявление первый мудрец мог сделать лишь в том случае, когда

                 у него на трех карточках все четные числа. Значит, у него на карточках 6, 8 и 10.

                  Ответ: 6, 8 и 10.

7. В пятый день Коля поймал столько же мух, сколько за предыдущие четыре дня,

       т.е. 512:2=256. За четвертый день он поймал столько мух, сколько за предыдущие

       три дня, т.е. 256:2=128. Рассуждая аналогично, получим, что за третий день Коля

       поймал 128:2=64 мухи, во второй и первый день – 64:2=32 мухи.  Ответ: 1 день –  

32. ухи, 2 день – 32 мухи, 3 день – 64мухи, 4 день – 128 мух, 5  день – 256 мух.

8. Пусть Андрей занял I место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, т.е. Борис – не второй (но и не первый,  т.к. первый - Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть –   неправда, вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий  - третий. Поэтому Борис не третий, а четвертый.  Итак, Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис –   четвертый. Мог ли Андрей быть вторым? Нет, т.к.  полностью был бы лжив первый ответ.  Не мог Андрей быть и третьим, т.к. полностью был бы лжив второй ответ. Не мог он  быть и четвертым, что следует из сопоставления 1, 2 и 3 ответов.

             Ответ: Первый - Андрей, второй - Вадим, третий - Геннадий, четвертый –

               Борис

9. Проигрывает тот, кто возьмет 35-й шар, а, следовательно, тот, кто возьмет 29-й, 23-й,

            17- й, 11-й и 5-й шары. Тогда первому нужно взять четыре шарика, а затем в каждый

           следующий ход дополнять до шести число шариков, взятых вторым игроком.

    10. Узнаем число пассажиров в вагоне – это наибольший общий делитель чисел 418, 494 и

          456. Разложив их на простые множители, получим, что в каждом вагоне ехало 219=38

          пассажиров. Следовательно, вагонов было 418:38=11, 494:38=13 и 456:38=12.

           Ответ: 11, 13 и 12 вагонов

    11.Можно предложить такую тактику отрубания голов у Змея: 1) вначале будем отрубать по

         21 голове 94 раза, т.е. отрубим 1974 головы, а 26 голов останется, новых при этом не

         вырастет; 2) далее отрубим 3 раза по 17 голов, с учетом того, что вырастает по 14 голов

         после каждого раза, получаем в итоге 17 голов; 3) отрубаем последним ударом 17

         оставшихся голов.

    12.Если в первый ящик положить 6 орехов, то это будет столько, сколько во втором и

         третьем вместе. Если во второй ящик положить 10 орехов, то это столько, сколько в

         первом и третьем ящиках вместе. Из этих двух предложений следует, что, сложив орехи

        первого и второго ящиков плюс 16 орехов, получится то же самое количество орехов, что

         в первом, втором и двух третьих ящиках вместе. Тогда в третьем ящике 16:2=8 орехов.

         Ответ: 8 орехов

   13.Так как a+b=2004, a и b одинаковой четности. 1) a и b - четные, тогда 7a и 3b также

        четные и 7a+3b – четное и не может быть равно 6799. 2) a и b - нечетные, тогда 7a и 3b 

         также нечетные, но 7a+3b – четное и не может быть равно 6799.  Следовательно,

         7a+3b6799

           Ответ: не может

    14.Ответ: 235+746=981

     15.  Составим таблицу выигрыша:

             Другого выигрыша быть не может.

                                                                       7 класс.

1.Пусть х человек на корабле было, тогда (х+30) человек стало на корабле. Количество  

 человек увеличилось в , в тоже время количество воды уменьшилось в  раза.

Составим пропорцию: , откуда х=150.    Ответ: 150 человек

2. Найдем общую сумму: 90+85+80+75=330 рублей. Заметим, что в эту сумму каждый купец вложил имеющиеся у него деньги по три раза. Следовательно, если они все сложатся, то у них будет 330:3=110 рублей. Тогда, если без первого купца получилось 90 рублей, то у первого купца 110-90=20 рублей, у второго 110-85=25 рублей, у третьего 110-80=30 рублей, у последнего 110-75=35 рублей.

      Ответ: 20, 25, 30 и 35 рублей.

3. Можно, например так:
4.  может означать либо 2х (если х3), либо х+3 (если х3);  может означать либо 10 (если х5), либо 5+х (если х5). Поэтому уравнение выглядит так: 2х=10 (при 3х5) или х+3=10 (при х3) или 2х=5+х (при х5), откуда х=5 (при 3х5) или х=7 (при х3) или х=5 (при х5). Следовательно, х=5.

     Ответ: х=5

5. 1) Из первой кучки переложим 14 орехов во вторую кучку, при этом в кучках станет 8, 28 и 12 орехов. 2) Из второй кучки перекладываем в третью 12 орехов. В кучках стало 8, 16 и 24 ореха. 3) В первую кучку из  третьей переложим 8 орехов. Получим по 16 орехов в каждой кучке.
6. Пусть х=423 133, тогда 423 134=х+1 и 846 267=2х+1. Заменим числа в выражении: ===1.

       Ответ: 1

7. Полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, значит одна курица несет одно яйцо за полтора дня. Курица, несущаяся быстрее в полтора раза, сносит одно яйцо в день. Следовательно, за полторы недели одна эта курица снесет десять с половиной яиц. В задаче спрашивается сколько кур нужно добавить к половинке курицы, значит нужно добавить еще полкурицы, чтобы за полторы недели мы получили 10 с половиной яиц.

      Ответ: полкурицы

8. Ивану достаточно назвать числа x=100, y=10 и z=1, тогда Кощей назовет число, состоящее из тех цифр, которые он загадал (в том же самом порядке).
9. При раскрытии скобок, все слагаемые, содержащие х взаимно уничтожаются, поэтому получим уравнение 1=1, следовательно х – любое число.

      Ответ: х – любое число

10.Возможны два случая: 1) одно из чисел a или b четное или оба четные, тогда Произ-  

     ведение, в котором хотя бы   один из множителей число четное, является четным  чис-

      лом. 2) оба чесла нечетные, тогда их сумма – число четное и произведение опять будет

      числом четным.

10. Пусть х (км/ч) скорость первого автомобиля, у (км/ч)  скорость второго автомобиля.

Тогда х+у (км/ч) скорость их сближения. По  условию машины   встретились через 8 часов,  следовательно, расстояние между городами А и В равно8(х+у) км. По условию задачи если бы были увеличены скорости, то  1,14х (км/ч) скорость первого автомобиля, а  1,15у (км/ч) скорость второго автомобиля, тогда   (1,14х+1,15у) (км/ч) стала скорость сближения, а

  7 (1,14х+1,15у) км расстояние между городами. Расстояние между городами мы выра-  

       зили дважды, приравняем:    . Откуда раскрыв скобки и перенеся

      слагаемые, получим уравнение , т.е. . Значит скорость первого

      автомобиля больше скорости второго автомобиля в 2,5 раза.

      Ответ: скорость первого больше в 2,5 раза

15. Обозначим за 1 исходное количество нефти. Тогда 30%=0,3 – количество нефти, сливаемое в А, 1-0,3=0,7 – количество нефти, идущее по нефтепроводу в деревне В. В деревне В сливают 40% , т.е. 0,70,4=0,28, остальное 0,7-0,28=0,42 идет в деревню С. В этой деревне сливают половину нефти, что составляет 0,21 и столько же отправляется дальше. Таким образом, до конца нефтепровода доходит 0,21=21% первоначального количества нефти.  Ответ: 21%
16.  Решение: Можно, например так:

17.  Первое взвешивание:  первую и вторую гири сравниваем по весу с третьей.

   Возможны следующие случаи: 1) 1+2=3, тогда 4 гиря фальшивая. Легче она или

    тяжелее определим вторым взвешиванием: 1+3 сравним с 4, если 1+3>4, то 4 –

    легче, если 1+3<4, то 4 тяжелее. 2) 1+2<3, тогда вторым взвешиванием сравним

   1+3 и 4. При этом можем получить: а) 1+3>4, фальшивой будет 3 гиря, она

   тяжелее, чем должна быть; б) 1+3<4, то фальшивая 1 гиря и легче; в) 1+3=4, то

   2 гиря фальшивая и легче. 3) 1+2>3. Этом случае поступаем аналогично 2

    случаю.

     Ответ: можно

18. Пушкина мы ставим на первое место, а Маяковского и Пастернака «скрепим» и будем пока считать одной книгой. После Пушкина требуется поставить еще 3 книги. Это можно сделать 321=6 способами. Вернемся к «скрепленной» книге, состоящей из двух. Эти книги могут стоять так: сначала Маяковский, затем Пастернак и наоборот. Т.е. на самом деле, способов расставить все книги на полке будет в два раза больше, 62=12.

      Ответ: 12 способов

                                                                                 8 класс.

1. Заметим, что два веника и один тазик вместе стоят ровно 4 рубля. Следовательно, Иван Иванович может купить на все имеющиеся у него деньги 10 веников и 5 тазиков.

     Ответ: 10 веников и 5 тазиков

2. ====.

Ответ:

3. Пусть х (верст) проезжает первый путешественник в день, у (верст) проезжает второй путешественник в день, тогда (х+у) дней они были в пути. По условию второй за  (х+у) дней проехал 525 верст, получаем первое уравнение у(х+у)=525. Первый за (х+у) дней проехал 525+175=700 верст, получаем второе уравнение х(х+у)=700. Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными: . Решим эту систему. Разделив первое уравнение системы на второе, получим , откуда . Подставив во второе уравнение системы придем к уравнению , отсюда у=15, а =20. Мы получили, что первый проезжает 20 верст в день, а второй – 15 верст в день.

    Ответ: 20 и 15 верст

4. Пусть х – числитель обыкновенной дроби, а у – ее знаменатель, т.е. на доске была записана дробь . Затем к знаменателю дроби прибавили числитель, получили новую дробь . К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получив . После этого, к знаменателю полученной дроби прибавили числитель, мы получили следующую дробь . Оказалось, что эта дробь равна . Перейдем к системе уравнений: . Из этой системы находим, что х=3, у=7. Значит, исходная дробь была равна .

      Ответ:

5. Заметим, что при прибавлении к любым двум числам по единице, сумма всех данных чисел не изменит своей четности. Она будет той же четности, что и 1+2+3+4+5+6=21, т.е. нечетной. Что получилось, если бы мы смогли уравнять все числа? В этом случае мы бы получили сумму шести одинаковых чисел, и она делилась бы на 6, т.е. была четной. Но разрешенными действиями с данными числами мы не можем получить четную сумму чисел, следовательно, уравнять их не сможем.

     Ответ: нельзя

6. Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым ходом, взяв из второго ящика 30 шариков. Партнер обязательно нарушит полученное равенство, а мы опять его восстановим. Число шариков все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число шариков, доведет это равенство до 0 : 0, т.е. выиграет.

     Ответ: нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков, и в дальнейшем

     каждый раз уравнивать их число

7. Общее расстояние, которое они прошли к моменту первой встречи, равно ширине реки. Когда они встречаются во второй раз, суммарное расстояние равно утроенной ширине реки, что потребовало в 3 раза больше времени. К моменту первой встречи один из паромов прошел 720 м, тогда к моменту второй встречи 7203=2160 м. Но это расстояние на 400 м превышает ширину реки. Следовательно, ширина реки 1760 м.

     Ответ: 1760 м

8. Из чисел a, b, c по крайней мере два одинаковой четности (т.е. четные или нечетные). Тогда 3a, 3b, 3c имеют ту же четность, что и a, b, c. Следовательно, хотя бы одна из скобок 3a-b, 3b-c, 3c-a будет четна, и вся левая часть равенства также должна быть числом четным, а справа нечетное число 5005.

    Ответ: не существует таких чисел

9. Из третьего условия , т.е. х 0 и одновременно , следовательно, . Тогда первое и третье условия выполняются вместе: в  подставим , получаем уравнение . Решением этого уравнения является у=0, тогда х=1.

     Ответ: х=1, у=0

10. Общий вес бочек 1+2+3+…+19+20=210 пудов, т.о., в каждую машину нужно положить по 70 пудов. Это можно сделать, например так: первая машина – бочки весом 1, 2, 10, 18, 19 и 20 пудов; вторая машина – бочки весом 3, 4, 5, 11, 14, 16 и 17 пудов; третья машина – бочки весом 6, 7, 8, 9, 12, 13 и 15 пудов.

    Общий все бочек во втором случае равен 1+2+3+…+9+10=55 пудов. Т.к. 55 не

     делится на 3 , то поровну эти бочки мы разложить в три грузовика не сможем.

11. Пусть в корзине х яблок, у груш. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то яблок станет х+у. Тогда процент яблок будет =. Если же добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок, то груш станет х+у. Тогда процент яблок в этом случае равен =. По условию, процент яблок в первый раз в 2 раза больше, чем во второй раз, получаем уравнение: =. Путем преобразований получаем уравнение . Отсюда у=0 (не подходит по смыслу) или у=х. Значит, первоначально яблок и груш было поровну. Следовательно, яблок в корзине 50%.

     Ответ: 50%

12. 2004=

13. Это можно сделать например так:

14.Участок парка, где может гулять собачка, выделен на рисунке серым цветом.

15. Ладья с поля а1 должна попасть на поле h6, двигаясь только вправо и вверх по

     одной клетке. Заполним клетки шахматной доски числами, которые показывают,

    сколькими способами ладья может на них попасть. Начиная заполнять клетки с

    ячейки с номером а1, замечаем, что число способов, которыми ладья может

     попасть например в с3, получается сложением способов, которыми она попадает

    в b3 и с2. Легко заполнив таблицу, получаем, что в h6 ладья попадет 729

   способами. Заметим, что некоторые клетки шахматной доски остались пустыми,

    т.к. ладья двигается только вправо и вверх.

Ответ: 729 способов

9 класс.

1. Да, можно. Одновременно поджигаем один из шнуров за два конца, а второй – за один. Когда первый шнур прогорит полностью, продёт полминуты. Затем соединяем концы второго шнура (от которого осталась не обязательно половина по длине, но половина по времени горения). Пока прогорит второй шнур, продёт ещё 15 секунд.

2. Нет, не может. Предположим противное: пусть мы нашли такие числа. Ни одно из чисел не равно 0 (0, умноженный на следующее по часовой стрелке, не может быть больше 0). Значит, числа положительные или отрицательные. Числа не могут быть разных знаков, потому что если за отмеченным положительным числом по часовой стрелке идёт  отрицательное, то их произведение меньше отмеченного числа. Все числа не могут быть отрицательными, так как их сумма положительна. Значит, все числа по- ложительны. Если хотя бы одно из чисел не больше 1, отметим число, стоящее от него против часовой стрелки. Тогда произведение будет меньше  отмеченного числа. Значит, все числа больше 1. Но тогда сумма чисел больше   2. Противоречие.

3. В каждом прямоугольнике 4 х 8 находится четыре ладьи (так как такой прямоугольник состоит из 4 строк или 4 столбцов). Разобьем доску на 4 квадрата 4 х 4. Пусть x ладей стоит в левом верхнем квадрате, тогда 4-x ладей в левом нижнем и 4-(4-x) ладей в правом нижнем. Но 4-(4-x)=x.

4. Разобьем доску на три области как показано на рисунке. Сумма чисел в каждой равна 2 (так как все клетки области, в том числе закрашенные, являются соседями или первой закрашенной клетки, и сумма чисел в них 1, или второй закрашенной клетки, и сумма чисел в них тоже 1). Таким образом, ответом в задаче может быть только 6.

           Следующий пример показывает, что сумму 6 получить можно. Для этого в закра-  

            шенные клетки запишем числа 1, в остальные 0. Пример не единственный.

5. Отсортируем корзины по количеству яблок (по убыванию). Пусть x яблок в корзине с наибольшим числом яблок, тогда в следующей корзине их не больше x-1, в третьей корзине не больше x-2 и т.д., в последней не больше

x-8. Всего, таким образом, яблок не больше 9x-36. С другой стороны, для того, чтобы положить в первую корзину x яблок, необходимо совершить не менее x действий, и всего в корзинах не менее 6x яблок. Не менее 6x и не более 9x-36 – это одно и то же число. Поэтому 6x9x-36, и 12x. Итак, Вас подходил к корзинам не менее 12 раз, и яблок не менее 72.

        Построим пример, показывающий, что 72 яблока в корзинах  

       оказаться может.  Столбцы в  таблице – корзины, строки –  

        подходы Васи к корзинам с 6 яблоками, числа на пересечении  

       показывают, сколько яблок было в корзине после

       соответствующего хода. Нетрудно  проверить, что все условия  

      задачи выполнены: за каждый ход добавляется 6 яблок в 6 разных  

       корзин, и в конце количество яблок   в корзинах разное. Пример

       не  единственный.

6. Пусть ab. Тогда ad+bcbd+bc=(c+d)bab. Аналогично разбирается случай ba.

7. Можно. Сначала разбиваем ящик на части двух видов: 1) со сторонами 10, 30 и 120 см, и 2) со сторонами 10, 40 и 120 см. Как это сделать – показано на рисунке (там изображено разбиение дна ящика 50 х 50 см на прямоугольники 10 х 30 см и 10 х 40 см). Затем каждую из частей разбиваем на кирпичи. Разбиение на рисунке не единственное.

8. Например, так. Части: 3,5 х 4 см, 2 х 0,5 см и 2 х 0,5 см. Периметры 15, 5 и 5 см. Решение не единственное.

9. Можно. Рассмотрим правильный 10-угольник. Сумма его углов равна 1800(10-2)=14400, каждый угол равен 1440. Возьмем четыре подряд идущих его вершины (см. рис). Треугольники ABC и BCD тупоугольные, так как их углы (B и C соответственно) являются вершинами десятиугольника и равны по 1440.Тогда остальные углы в этих треугольниках (в силу того, что треугольники равнобедренные) равны по (1800-1440)/2=180. А значит, углы B и D в треугольниках ABD и ACD равны по 1440-180=1260 и все четыре треугольника тупоугольные.

          Замечание к решению задачи 9.

          Можно взять не только 4, а любое конечное число точек. Для этого следует

           рассмотреть правильный n-угольник при больших n и взять его вершины

          подряд.

10. Найдем, сколько всех остальных чисел. Рассмотрим числа от 0 до 999999. Договоримся перед числами, в которых цифр меньше 6, писать столько нулей, чтобы цифр стало по 6. Например, 5242 превратится в 005242 и т.п. На первом месте можно писать любую цифру, кроме 1 (9 возможностей), на втором месте тоже любую цифру, кроме 1 и т.п. Всего чисел 9 х 9 х 9 х 9 х 9 х 9 =96=531441. В связи с тем, что мы рассматривали число 0, которого нет в условии задачи, на самом деле чисел, не содержащих в своей записи единицу, 531440. А чисел  единицей 1000000-531440=468560. Ответ: всех остальных чисел больше.

11. Будем называть число до перестановки цифр большим, а после перестановки – маленьким. Большое число делится на 3, по признаку делимости его сумма цифр делится на 3. Так как после перестановки цифр их сумма не изменилась, сумма цифр маленького числа делится на 3. По признаку делимости маленькое число делится на 3. А значит, большое число, которое в три раза больше, делится на 9.

           Повторим круг рассуждений ещё раз. Большое число делится на 9, по  

            признаку делимости его сумма цифр делится на 9. Так как после перестановки

           цифр их сумма не изменилась, сумма цифр маленького числа делится на 9. По

           признаку делимости маленькое число делится на 9. А значит, большое число,

           которое в три раза больше, делится на 27.

          Замечание к решению задачи 11. Нельзя таким же способом доказать, что число

          делилось на 81, так как признак делимости на 27 не связан с суммой цифр.

12. Может. Занумеруем спортсменов по порядку числами от 1 до 100. Ясно, что если номера спортсменов отличаются на 11, то оба они не могут быть одеты в красные костюмы. Разобьем числа от 1 до 100 на группы в зависимости от их остатка при делении на 11.

        {1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100} дают при делении на 11 остаток 1,

        {2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 90} дают при делении на 11 остаток 2,

       и т.д. Во всех группах, кроме первой, по 9 чисел, а в первой 10. Раскрасим  

       числа в синий и красный цвет следующим образом: в каждой группе первое

       число будет красным, а дальше цвета будут чередоваться. Тогда во всех

      группах будет по пять кранных чисел, а всего 55>50. Осталось выдать

       спортсменам костюмы в соответствии с раскраской чисел.

               Замечание к решению задачи 12.

    Можно доказать, что в каждой группе не более 5 спортсменов

     могут быть одеты    в красные костюмы (для этого спортсменов в

     группе надо разбить на пары соседних, например, 1 и 12, 23 и 34 и

     т.п.) и, таким образом, всего спортсменов в красных костюмах не

     более 55.

13.  x4+x2y2+y4=(x2+y2)2-x2y2=(x2+xy+y2)(x2-xy+y2). Достаточно показать, что при всех x, y, отличных от x=y=1, каждая из скобок больше 1, и, таким образом, число x4+x2y2+y4 имеет делители x2+xy+y2 и x2-xy+y2. Так как x2+xy+y2>x2-xy+y2, достаточно показать, что x2-xy+y2>1.Пусть x=y. Тогда x2-xy+y2=x2>1, так как x=y1. Пусть x>y. Тогда x2-xy+y2=x(x-y)+y2>1, так как каждое из чисел x, x-y, y не меньше 1, а значит, и каждое из чисел x(x-y), y2 не меньше 1. Случай xy.

14. Пусть суммы равны S. С одной стороны, сумма чисел в таблице равна S+S+S=3S, если считать ее о строчкам. С другой стороны, она равна 1+2+…+9=45. Таким образом, 3S=45 и S=15. Все суммы в строчках, столбцах и на диагоналях равны по 15. Пусть число в центральной клетке равно x. Найдем сумму учетверенного числа в центральной клетке, к которому прибавлены все остальные числа таблицы по одному разу, двумя способами. С одной стороны, она равна 1+2+…+9+3x (все числа взяты по одному разу, а центральное – еще три раза). С другой стороны, искомая сумма равна сумме чисел  центральной строке + сумма в центральном столбце + сумма на первой диагонали + сумма на второй диагонали. Получаем равенство 45+3x=15+15+15+15 и находим x=5. Центральное число равно 5. Остальные числа разбиваем на пары. Напротив 1 стоит 9, напротив 2 – 8, ещё две пары составляют 3, 7 и 4, 6. Дальше можно действовать разными способами. Например, докажем, что 9 не может стоять в углу. В самом деле, если 9 в углу, то вместе с ним в одной строке и в одном столбце стоят два числа с суммой 6. Это или 1 и 5, или 2 и 4. Но 5 стоит в центре. Если 2 и 4 стоят в одной строке с 9, тогда нет чисел, которые могут находиться с 9 в одном столбце. Таким образом, 9 стоит на стороне (например, сверху), а 1 – напротив. 2 и 4 все равно которое где стоят в одной строке с 9. Остальные числа легко расставляются из тех соображений, что сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях равна 15. Одна из расстановок приведена на рисунке, остальные получаются из нее с помощью поворотов и отражений.

15. Предположим, что из 1 можно получить 811. Рассмотрим числа, которые последовательно получались одно из другого, в обратном порядке. Последним действием не могло быть умножение (так как 811 нечетно), значит, это была перестановка цифр. И перед 811 было 118 или 181. 181 могло получиться тоже только перестановкой цифр, значит, из чисел 118, 181, 811 всех раньше могло появиться только число 118. Рассмотрим число, которое было перед 118 и отличалось от 181, 811. Это могло быть только число 59. Число 59 могло появиться только перестановкой цифр из 95, а число 95 – перестановкой цифр из 59. Итак, если появилось 811, то самым первым числом было 811, 181, 118, 59 или 95. Противоречие  тем, что по условию все должно начинаться с 1.

Математика. 10 класс.

1. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

2. Пусть x – число в верхней левой клетке. Тогда число в нижней левой клетке равно x-6 или x+6, число в нижней правой клетке равно (x-6)/2, 2(x-6), (x+6)/2 или 2(x+6), а число в верхней правой клетке равно (x-6)/2+6, (x-6)/2-6, 2(x-6)+6, 2(x-6)-6, (x+6)/2+6, (x+6)/2-6, 2(x+6)+6 или 2(x+6)-6.

           Приравнивая все эти выражения к 2x и к x/2 и решая 16

           уравнений, находим единственное решение в натуральных

           числах: два противоположных числа равны 6, два остав-

            шихся 12.

3.Можно. Решение на рисунке, площадь коробки равна 16.

4. Решим другую задачу. Пусть стороны четырехугольника в порядке обхода a, c, b, d (рисунок слева). Проведем диагональ четырехугольника так, чтобы по одну сторону от нее находились стороны a и c, а по другую – стороны b и d. Тогда площадь первого треугольника равна (ac·sin1)/2, площадь второго треугольника - (bd·sin2)/2, где угол 1 – угол между сторонами a и c, а угол 2 – угол между сторонами b и d. Ввиду того, что синусы не превосходят 1, площадь одного треугольника не больше ac/2, а площадь второго – не больше bd/2. Площадь четырехугольника равна сумме или разности площадей треугольников (разность может получиться, если четырехугольник невыпуклый) и поэтому не превосходит (ac+bd)/2.

      Перейдем к решению нашей задачи (рисунок справа). Проведем диагональ  

     четырехугольника так, чтобы по одну сторону от нее находились стороны b и c,

    а по другую – стороны a и d. Отрежем от четырехугольника треугольник,

    стороны которого b, c и диагональ. Затем перевернем этот треугольник в

    пространстве и приставим так, что диагональ попадет на свое место, а стороны b

     и c поменяются местами. Площадь не изменится, так как мы ничего не делали –

   только повернули одну из частей! Получили задачу, которую умеем решать.

5. Существуют. Разобьем отрезок длины 8 см двумя точками на три части, имеющие длину (слева направо): 1 см, 4 см, 3 см. Проверим, что среди получившихся длин встречаются все числа 1, 3, 4, 5, 7 и 8. Части 1, 3 и 4 см – это те части, на которые мы разбивали. 8 см – весь отрезок. 5 см – сумма длин левой и центральной частей, и 7 см – центральной и правой. Таким образом, в качестве четырех точек можно взять 2 конца отрезка и 2 точки, которые разбивают его на части.

6. Определить можно, стоят поровну. Пусть x рублей стоила большая рыбка вчера, y рублей – маленькая рыбка вчера, z рублей – большая рыбка сегодня и t рублей – маленькая рыбка сегодня.

         Тогда 3z+t=5x, 2z+t=3x+y. Требуется сравнить z+2t и 5y. Сравним:

          5y=5(3x+y)-3·5x=5(2z+t)-3(3z+t)= z+2t.

7.Можно. Одно из возможных расположений на рисунке.

7. Из соображений площади можно делать вывод: не получится вырезать больше, чем 33 прямоугольника (так как 34·5>13·13). Вырезать 33 прямоугольника можно так: разбить квадрат на центральную часть (квадрат 7 х 7) и каемку. Каемку разбить на 4 прямоугольника 3 х 10, а каждый из них на 6 прямоугольников 1 х 5. Центральный квадрат 7 х 7 разбить на прямоугольник 7 х 5, из которого можно вырезать 7 прямоугольников 1 х 5, и на прямоугольник 7 х 2, из которого можно вырезать 2 прямоугольника 1 х 5.

8. Стороны нескольких прямоугольников параллельны осям координат. Любые два из них имеют общую точку. Докажите, что все они имеют общую точку.

9. Рассмотрим отрезки - проекции прямоугольников на ось Ox. Докажем, что они имеют общую точку. В самом деле, каждая точка – левый конец проекции лежит левее, чем правый конец другой проекции (если бы это было не так, то прямоугольники, которые дают такие проекции, не пересекались бы). Рассмотрим любую точку (назовем ее X) на отрезке между самым правым из левых концов проекций и самым левым из правых концов. В каждом прямоугольнике найдется точка, абсцисса которой равна X. Аналогично рассматриваются проекции на ось Oy и строится точка Y такая, что все прямоугольники имеют точки с ординатой, равной ординате точки Y. Таким образом, точка с той же абсциссой, что и X, и с той же ординатой, что и Y, искомая.

10. 25 столкновений. Представим себе, что на всех шариках, летящих слева, установлены телепорты – устройства, позволяющие им проходить мгновенно сквозь правые шарики. Пусть шарик слева летит со скоростью v и шарик справа летит со скоростью v. В обычной ситуации после столкновения левый шарик будет удаляться от места столкновения влево со скоростью v, а правый – вправо с той же скоростью. В случае телепортации будет то же самое, только шарики поменяются местами. Если шарики неотличимы друг от друга и нам показывают фильм о шариках, мы не можем отличить столкновения от телепортаций. Поэтому все будет одинаково, в частности количество столкновений равно количеству телепортаций.

         Подсчитаем телепортации. Каждый из 5 левых шариков должен пройти

      сквозь каждый из 5 правых. 5·5=25.

11. n3+5n=(n3-n)+6n=(n-1)n(n+1)+6n. Второе слагаемое делится на 6. Докажем, что первое тоже делится на 6. В самом деле, числа n-1, n, n+1 дают разные остатки при делении на 3, значит, какое-то из них на 3 делится (проверить это можно так: первый случай, n=3k, тогда n делится на 3; второй случай, n=3k+1, тогда n+2=(3k+1)+2=3(k+1) делится на 3; третий случай, n=3k+2, тогда n+1=(3k+2)+1=3(k+1) делится на 3). Из чисел n и n+1 одно четно (рассмотрите случаи четного и нечетного n). Таким образом, из трех множителей, входящих в (n-1)n(n+1), хотя бы одно делится на 2 и хотя бы одно делится на 3. Значит, их произведение (n-1)n(n+1) делится на 2 и на 3, т. е. на 6.

12. Пусть второе число равно x. Тогда третье число, составляющее в сумме с 1 число x, равно x-1. Аналогично рассуждая, получаем четвертое число –1, пятое –x, шестое 1-x, седьмое 1, восьмое x и т. д. В последовательности чисел имеется период, его длина равна 6. 2005 при делении на 6 дает остаток 1. 2005-е число равно первому и равно 1.

    13. Назовем серией прямых любую из проведенных прямых и все, ей  

   параллельные. Докажем, что все серии содержат поровну прямых. От

   противного. Пусть прямых, параллельных прямой a, x штук, а прямых,

  параллельных b, y штук, yx, а всего z прямых. Тогда прямая a пересекает все прямые, кроме прямых из своей серии, т. е. z-x штук. Аналогично прямая b пересекает все прямые, кроме своей серии, т. е. z-y штук. Так как по условию z-x=2004=z-y, то x=y.

Пусть в каждой серии k прямых, а всего серий n. Тогда каждая прямая пересекает k(n-1) прямую.

k(n-1)=2004. Всего прямых kn=k(n-1)+k=2004+k, где k – обязательно делитель числа 2004 ввиду того, что k(n-1)=2004. 2004=22·3·167, 167 – простое. У числа 2004 двенадцать делителей: это 1, 2, 3, 4, 6, 12 и все эти числа, умноженные на 167. В задаче 12 ответов: 2004+1, 2004+2, 2004+3, 2004+4, 2004+6, 2004+12, 2004+167, 2004+334, 2004+501, 2004+668, 2004+1002, 2004+2004.

14. Рассмотрим четыре самых маленьких числа. Их сумма положительна, поэтому среди них есть положительное число. Но отсюда следует, что остальные 13 чисел положительны. А сумма всех 17 чисел равна положительной сумме 13 чисел плюс положительная сумма четырех чисел.

15.Не может. От противного. Тогда дружинник A должен побывать на дежурстве с 99 остальными, т. е. выйти на дежурство 99/2=49,5 раз – нецелое число.

Математика. 11 класс.

1. Если альпинисту останется путь 100 метров и у него будет 100 метров веревки, он прикрепляет один конец веревки и спускается по ней.Если у альпиниста 150 метров веревки и он находится на верхней площадке (остался путь 200 метров), он должен разрезать веревку на части 100 и 50 метров. 50-метровую веревку надо одним концом прикрепить к площадке, а на другом конце сделать петлю, через которую продернуть половину оставшейся 100-метровой веревки. Затем спуститься на площадку на высоте 100 метров от земли и выдернуть 100-метровую веревку для последнего этапа спуска.

             Если у альпиниста 175 метров веревки и он на вершине скалы, он разрезает веревку на  

            части 25 и 150 метров, первую прикрепляет к скале и делает петлю, вторую пропускает

            через петлю и спускается на 100 метров. Выдергивает 150-метровую веревку и

            приступает ко 2 и 3 этапам спуска. Лишние 5 метров веревки даны в задаче для того,

            чтобы была возможность вязать узлы и петли.

2. Найдём произведение чисел в каждом из четырех квадратов 2 х 2, а затем такие произведения перемножим. Получим 16. В произведение 16 угловые числа вошли как множители по одному разу (они участвовали при вычислении какого-то одного произведения в квадрате 2 х 2), число в центре четыре раза, остальные по два. Разделим это произведение (16) на произведение чисел первой строки, затем на произведение чисел второй троки, затем на произведение чисел третьей строки. Получим 16, оно равно третьей степени центрального числа, умноженной на числа на сторонах. Затем разделим то, что осталось, на произведение чисел во второй строке, и на произведение чисел во втором толбце. Получится 16, это и есть центральное число.

             abde=2, bcef=2, dexy=2, efyz=2, (abde)(bcef)(dexy)(efyz)=16,

             ab2cd2e4f2xy2z=16.

             abc=1, def=1, xyz=1, (ab2cd2e4f2xy2z)/((abc)(def)(xyz))=16,

            bde3fy=16.

             def=1, bey=1, (bde3fy)/((def)(bey))=16, e=16.

3. Пусть X – середина AB, Y – середина BC. Тогда DX – медиана в прямоугольном треугольнике ADB из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы AB. Аналогично, YE – половина BC. В треугольнике ABC XY – средняя линия, равная половине стороны AC. Итак, полупериметр равен (AB+AC+BC)/2=DX+XY+YEDE, так как если какая-то из точек X, Y не лежит на DE, то ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы.

4. Не обязательно. Если разрезать квадрат со стороной 2/3 на два равных прямоугольника, периметр каждого будет равен 2, а периметр квадрата 8/3. Пример не единственный.

5. Нельзя. Сумма чисел сначала 21, а затем на каждом шаге изменяется на 2. Поэтому сумма чисел в любой момент нечетна. Если в какой-то момент числа равны, то сумма шести равных чисел делится на 6 и поэтому четна. Противоречие.

6. Да, такое возможно. Один из примеров: пусть путешественник вышел в полдень, и в периоды времени 12.00-12.30, 13.00-13.30, 14.00-14.30, 15.00-15.30 шел со скоростью 8 км/ч, проходя за каждые полчаса по 4 км. В остальные периоды 12.30-13.00, 13.30-14.00, 14.30-15.00 он шел со скоростью 2 км/ч, проходя за полчаса по 1 км. Тогда за 3,5 часа он прошел 19 км.

          Докажем, что за каждый час путешественник проходил по 5 км. Если мы начинаем  

          отсчитывать час от 12.00, 12.30, 13.00, 13.30, 14.00 или 14.30, то такой час состоит из

          получаса «быстрой ходьбы» и получаса «медленной ходьбы». Идя быстрым шагом,

          путешественник проходит 4 км, а медленным – 1 км, всего, таким образом, получается

         5 км. Пусть час начинается в другое время (например, можно рассматривать промежуток  

         длительностью в час между 14.12 и 15.12 и т.п.). Тогда он содержит внутри себя или

         получас «быстрой ходьбы», или получас «медленной ходьбы». В первом случае начало и

         конец рассматриваемого нами промежутка длительностью в час – это периоды  

        «медленной ходьбы», в сумме они составляют 1 час – 30 минут = 30 минут. Т. е. в течение

        часа половину времени путешественник идет быстро, половину медленно. Всего, как мы

         уже читали, получается 5 км. Второй случай разбирается аналогично.

7. Можно. Например, его координаты (0, 0), (12, 16), (-12, 9). Длины сторон 15, 20 и 25. Он прямоугольный (проверим теорему Пифагора).
8. Один из примеров на рисунке. Сумма длин дорог 2+45<11.

9. Один из примеров следующий. В треугольнике отмечаем вершины, основания высот и точку пересечения высот. В качестве прямых возьмем стороны и высоты. Нетрудно проверить, что все точки и прямые, кроме оснований высот, удовлетворяют условию. Через основания высот проходит только по две отмеченные прямые. Проведем через них ещё по одной прямой так, чтобы три вновь построенные прямые были параллельны между собой и не параллельны остальным отмеченным линиям. Параллельно перенесем треугольник 2 раза на векторы, направленные параллельно трем построенным прямым. Полученные 21 точка и 21 прямая удовлетворяют условию.

10. Пятизначных четных чисел 45000, так как на первом месте может стоять любая из 9 цифр (кроме 0), на втором, третьем и четвертом – любые цифры, а на пятом – любая из пяти четных цифр. Пятизначных четных чисел без троек 8·93·5=29160. Ответ: 15840.

         11. Можно. Например, так, как показано на рисунке.

   2                    30

       42                   3

         7                  105

70.              5

11. Ни одна из диагоналей не проходит через центр многоугольника. Докажем это. Центр многоугольника совпадает с центром описанной окружности. Если диагональ проходит через центр, она лежит на прямой, содержащей диаметр описанной окружности. Но диаметр не может проходить через две вершины многоугольника, так как 2005 – нечетное число: по одну сторону от диаметра окажется x дуг окружности, на которые она разбивается вершинами, по другую 2005-x, и x2005-x. Значит, центр описанной окружности лежит в одном из треугольников. Именно этот треугольник остроугольный, а остальные тупоугольные. В самом деле, центр описанной окружности лежит внутри остроугольных треугольников, на гипотенузе прямоугольных и вне тупоугольных. А описанные окружности для каждого треугольника совпадают с окружностью, описанной около многоугольника.

.

13.Наименьшее число частей – 15. Примеров с 15 частями много. Один из них: три вертикальных прямоугольника 1 х 7 и 12 квадратиков 1 х 1.

Раскрасим клетки фигуры в черный и белый цвет в шахматном порядке. Клеток одного цвета 24, другого 9, значит, какого-то из цветов больше на 15 клеток. Но все прямоугольники имеют ширину 1 и площадь белого отличается от площади черного не более, чем на 1. Таким образом, меньше, чем на 15 прямоугольников, не разрезать.

14.Всего кругов было столько, сколько кругов сделали стрелки, т. е. 720+12+1=733. Так как ни одна из мух не обгоняла другую (проверьте!), любые две мухи проехали одинаковое число кругов или число кругов, отличающееся на 1. 733=245+244+244. Муха, которая вначале сидела на секундной стрелке, проехала 245 кругов, а две другие по 244.

. 15.    a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=25-14=11.

           Такие числа действительно существуют: один из примеров a=3, b=c=1.