Различные способы умножения
проект по математике

Научно – исследовательская работа

«Различные способы умножения»

                                                            Автор: Марков Кузьма, 6»А»класс

                                                  Руководитель: Дудникова Ю.В.,

                                                                                     учитель математики

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение
2. История счета

1. Как люди научились считать.

3. Старинные способы умножения

1. Русский крестьянский способ умножения
2. Метод «решетки».
3. Индийский способ умножения.
4. Умножение на пальцах.

4. Новый способ умножения.
5. Устный счет – гимнастика ума

1. Умножение и деление на 4.
2. Умножение и деление на 5.
3. Умножение на 25.
4. Умножение на 1,5.
5. Умножение на 9.

6. Заключение.
7. Список использованной литературы.

                                       1. Введение.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Я выбрал эту тему потому, что я люблю математику и хотел бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

1.Актуальность моей темы заключается в следующем. Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.

          2.Цели исследовательской работы:  Изучить способы умножения, для

 производства которых достаточно устного счета или применения карандаша,

ручки и бумаги.

  3.Задачи: 

- раскрыть историю возникновения счета

- описать старинные способы умножения, такие как: «Ревность, или    решётчатое умножение»,  «Русский крестьянский способ»; «Индийский способ».

- рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных

примерах показать преимущества их использования.

        4. Объект исследования:

 методы и приемы быстрого счета.

За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом», «Русский крестьянский способ»; заинтриговали и мне захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, мной был  проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Результаты анкетирования:

( На диаграммах представлены в процентах утвердительные ответы учащихся).

1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,

вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

   б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

3) а хотели бы узнать?

2. История счёта

2.1. Давайте рассмотрим как возникли числа

Никто не знает, как впервые появилось число. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникало необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: поскольку плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Шло время люди совершенствовались, перед ними вставали всё более сложные задачи. Среди прочего появились разные способы вычисления.

Рассмотрим некоторые из них.

3.  Старинные способы умножения.

3.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского .

Например:  умножим  47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

     35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.            

3.2. Метод «решетки».

1). Выдающийся арабский математик и астроном Ал-Хорезми Мухаммед Бен Мусса жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

    2). В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

 Пусть нужно умножить 347 и 29.

Начертим таблицу в которой три клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).          

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

        Неудобство этого способа заключается в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

3.3 Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом».

 Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

                х23

                 12

                   276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

        Первый шаг:         х23           говорю: «2 х 3 = 6»

                                        12

                                  …6

        Второй шаг:        х23               говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

                                  12

                                 .76

        Третий шаг:       х23                 говорю: «1 х 2 = 2».

         12               пишу 2 левее цифры 7

         276               получаем 276.

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

3.4. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Движение пальца

 Вот один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

   Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец,  того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа  от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите,  2 десятка и 7 единиц получится 27.

Сами пальцы показали это число.

         //        //   /////

20. 7

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

4.  Новый способ умножения.

Интересен  новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения.  Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников  утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.  По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто.

К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

То есть эта таблица умножения, позволяет в уме «ворочать» поистине огромными числами.

                       5. Устный счет – гимнастика ума

5.1. Умножение и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

5.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть  в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

5.3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

5.4. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

5.5. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают  0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

6. Заключение

Научившись считать всеми представленными способами, я пришел  к выводу:

1.Что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

2.Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он  им  тоже очень понравился.

3.Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

3. Заинтересовал меня «новый способ» умножения,  потому что он  позволяет в уме «ворочать»  огромными числами.

4.Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.

7. Список использованной литературы

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара:  Издательский дом«Фёдоров», 1999.

2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

3. Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»    1982г.

4.Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142-144.

5.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.  

6. Свечников  А.А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение,  1977г.

7. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm  

8. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.htm