Методическая разработка теоретического занятия для преподавателя ТЕМА: «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»
методическая разработка по математике

Методическая разработка

теоретического занятия для преподавателя

ТЕМА: «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»

Предмет ОУП. 04 «Математика»

Специальность «Сестринское дело», «Акушерское дело»

Курск

Тема занятия: «Последовательности. Понятие о пределе последовательности»

Тип занятия: изучения нового материала

Место проведения: учебная аудитория

Продолжительность занятия: 90 минут.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный

Цели занятия:

• общеобразовательные: 

изучить понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей; изучить понятие предела последовательности, учить вычислять пределы последовательности;

• воспитательные: 

выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать. Формировать графическую культуру учащихся, математическую речь;

• развивающие: 

воспитывать чувство ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе, воспитание культуры общения.

Студент должен:

Знать: понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей; понятие предела последовательности

Уметь: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Планируемые образовательные результаты:

• предметные: 

сформированность представлений о математическом понятии «последовательность», «предел последовательности»;

• личностные: 

формирование представлений о математике как средстве моделирования явлений и процессов;

• метапредметные:

умение самостоятельно осуществлять, контролировать   деятельность; умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности.

Оснащение занятия:

1. Учебник: Алгебра и начала анализа: учеб.для 10-11 кл., общеобразовательных учреждений / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.]
2. Мультимедийная презентация: слайды - сопровождение занятия
3. Раздаточный материал

План занятия

Ход занятия

1. Организационный момент

Приветствие студентов, проверка их внешнего вида и санитарного состояния аудитории; проверка присутствующих, подготовка рабочих мест, создание атмосферы общения, психологического и коммуникативного комфорта.

2. Актуализация знаний

• В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)
• Что же такое последовательность?

Последовательность- это занумерованный ряд объектов.

Можно строить последовательности чисел, функций, векторов, рассматривать последовательности событий, утверждений и т.п.

Приведите пример последовательности.

3. Мотивация изучаемой  темы, совместное целеполагание

Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела последовательности имеет большое значение для дальнейшего изучения темы предела функции, понятия производной и без знания предела последовательности рассмотрение этого понятия невозможно.

4. Изучение нового материала

Приложение 1

5. Обобщение и систематизация знаний студентов по изучаемой теме (закрепление материала)

(Обучающиеся разбиваются на группы по 4 человека. Решив задания в карточке группа подносит решения на проверку. Верные задания выносятся на доску.)

6. Рефлексия, само- и взаимооценка

Ответьте на следующие вопросы:

1. Что Вам понравилось на уроке?
2. Довольны ли Вы своей работай на уроке?
3. Устали ли Вы за урок?
4. Был ли материал урока, для Вас, понятен, полезен, интересен?
5. Какой материал необходимо повторить?

7. Подведение итогов занятия. Выставление оценок

• Что нового вы узнали на уроке?
• Что такое последовательность?
• Какие виды последовательностей вы знаете?

• Как задаѐтся числовая последовательность?

• Что мы называем пределом последовательности?

- Как найти предел последовательности, при   x→ ∞? Приведите пример.

- Как найти предел при x→ к конкретному числу? Приведите пример.

• Сформулируйте теоремы о пределах.

8. Задание на дом

• Выучить основные понятия и теоремы

-В рабочих тетрадях выполнить №1-3

Преподаватель:           ______________     ____________________________________

Приложение 1

• Тема сегодняшнего урока «Понятие предела.   Предел последовательности».

1. Понятие числовой последовательности

• Запишем определение числовой последовательности.

Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие дейст-

вительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а2…….числу n – число аn и т.д.

Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а1, а2,…,аn или (аn), где а1, а2,…,аn – члены последовательности.

Опр 1/ :Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последова-тельность.

2. Способы задания числовой последовательности

• Какими способами можно задать числовую последовательность? (учащиеся высказывают свои мнения)
• Вы правы. Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

Например, формула аn=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

Например, рекуррентное соотношение an=an-1+2вместе с уравнением a1=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5,7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.

3. Свойства числовой последовательности

• Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого  верно неравенство (аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7  2n -1,... — возрастающая последовательность.

Например …- убывающая последовательность

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство    ≤ C выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn≤М. Число М называют верхней границей последовательности. 

Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., —п2 , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уп≥m. Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

• А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.

4. Понятие предела последовательности

• Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)
• Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.

1. Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (уп) и (хп).

(уn):1,3, 5,7,9, ...,2n-1,...; 

(xn): 1, 12 , 13 , . . , 1 , ..

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (уп) и рис. 2 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательности (хn) как бы                         «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность (уп) расходится.

Рис. 1        Рис. 2

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

Опр 1. Пусть а — точка прямой, а r— положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02

a-r ˂ a ˂ a+r

Рис. 3

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменя-ют термином «предел последовательности».

Опр 2. Число b называется пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: уп→ b (читают: уп  стремится к b или уп  сходится к b), либо

так:

= b

(читают: предел последовательности уп при стремлении п к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).

5. Правила вычисления пределов последовательности

• Запишем правила вычисления пределов последовательности:

Пример 1: Дана последовательность (yn):

• Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

= 0

Рис. 4

- Кому не понятно, как мы нашли предел последовательности, задавайте вопросы.

6. Вычисление предела последовательности