Решение олимпиадных задач 7 класс.
олимпиадные задания по математике (7 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТУЧКОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ

Региональный мастер-класс

«Методика обучения учащихся математическому моделированию при решении задач повышенного уровня сложности».

мастер -класс

«Решение олимпиадных задач». Лекция № 2.

 Математическая школа "Пифагореец" 7 класс

    Составитель: учитель высшей квалификационной категории

Уханова Анастасия Владимировна

16.02.2019г

п.N

Основные цели:

Образовательная - обучение   различным способам решения нестандартных задач, углубление знаний по предмету;

Воспитательная -  воспитание творческой активности учащихся, повышение математической культуры,

Развивающая - развитие математического мышления, интеллектуального уровня, оригинальности и изобретательности, развитие навыков самостоятельной работы и стремления к обучению и самообучению.

Задачи:

1. Решение олимпиадных задач, предложенных на олимпиадах прежних лет;
2. Решение задач творческого характера, имеющие практические применения.
3. Подготовка к математическим предметным олимпиадам разных уровней.

Тип занятия: применения и совершенствования знаний

Методы обучения: частично – поисковый, использование принципа «от простого к сложному»

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, доска.

Ход занятия

Организационный момент.

Формулировка темы и целей урока.

Тема: "Олимпиадные задачи."

Олимпиадные задачи в системе изучения математики направлены на расширение кругозора и повышения математической культуры, развитие смекалки, сообразительности, находчивости, настойчивости в поиске оригинального решения. 

Устная работа.

1. Найти наибольшее значение отношения трехзначного числа к сумме его цифр.

Решение.  Ответ: 100.

2.Сколько существует трехзначных чисел- квадратов, у которых сумма цифр совпадает с двумя первыми цифрами исходного числа?

Решение. Единственное число 169. Ответ: 169.

3.Вычислить .                     Ответ:

4. Три последовательных натуральных числа дают в сумме 111. Найти эти числа.

Решение.  (х+1) + х + (х− 1) =111,

                   3х = 111

                    х=37.

Ответ: 36, 37, 38.

5. Найти хотя бы одно натуральное число n , при котором число  +3 будет составным.

Решение. Если  n= 5, то  +3 =32+3= 35 = 5· 7 – составное число.

Решение задач.

1. Разложить  многочлен  на два множителя с целыми коэффициентами.

Решение.  = (  + + + +++ +− + ++ + х+ =+ х+ + х+ + + х+ − + х+ ++ х+ + х+(− ++1).

2. Доказать, что при любых х0, у значение выражения+ху + 0.

       Решение. +ху +=( +2х· у +) + = +   0.

3. Найти   двузначные числа, равные квадрату суммы своих цифр.

Решение. По условию  имеем: 10  + = ,  или                               9 =. Далее учесть, что в правой части произведение  двух последовательных целых чисел, откуда  =8 и  =9, т.е. =1, и, искомое число 81=.

4. Из канистры отлили часть бензина, потом 10 % ее общей емкости. После этого в канистре осталось 26 л бензина. Какова емкость канистры?

Решение. Пусть х л- емкость канистры, тогда

( х −0,25х) – 0,1х = 26

х= 40.

Ответ: емкость канистры 40л.

5. Найти  х,у, z  для которых справедливо равенство

 + +│х+у+ z│= 0.

Решение.

Сумма двух и более неотрицательных выражений  равна нулю одновременно, если каждое из них равно нулю.

Тогда =0,

             = 0 ,

              х+у+ z=0.     Откуда  у= -1, х= -4, z=5.

6.               C              Дано: АС=ВС, АД- медиана,=2м,  АВ=8м.

                               Найти: АС и ВС.  

                                Решение.   По условию АС= ВС , то              

                                                        СД=ДВ ( по условию). Пусть АС=2х, СД=ДВ = х,  

                                  АВ=8м.     Тогда  =3х+ АД,  =8+АД + х.

                                   По условию     =2м, значит  

 А                                     В               3х+ АД−  (8+АД + х ) =2, или 2х-8=2, откуда                                   2х=10, т.е.   АС=ВС=10м.      

Ответ: 10 м и 10м.

7.Доказать, что квадрат нечетного числа  2n +3 при делении на 8 всегда дает в остатке 1.

Решение. = 4. Так как слагаемое  в скобке делится на 8, то остаток равен 1.

8.Доказать, что если  х+у=2007z и  2007z u= у(z +u), где  z o, u o, то верно равенство = .

Решение. Перемножим левые и правые части данных равенств, тогда получим       2007z u(х+у) =2007z у(z +u),

теперь разделим обе части равенства на 2007z o, имеем

                      u (х+у) = у(z +u),

                     ux + uy = yz +yu

                     ux = yz,  по правилу пропорции имеем:

                       = .

9.   Внутри  АВС взята точка К так, что  АВК =,  КАВ =,

 АСВ= и АС= ВС .  Найти  АКС.

Решение.Пусть Е -точка пересечения высоты CD и прямой ВК.

Так как  ABC—равнобедренный и CD - высота, проведенная к основанию АВ, то АЕ = BE и

 EAК = EAB− KAB = 30° -10° =20°,      ACD=  ACВ =40°,

EAC=

KE = KAB + KBA = 10° + 30° = 40° =>

=> AEK = ACE (по стороне и прилежащим к ней углам)

АК =АС, AKC= ACK=(180°-CAK) =(180° -40°) = 70°.

Ответ: 70°                               С

                           А                                                        В

10.На доске написаны в строку 2007 целых чисел. Доказать, что из них можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это для 2006 чисел?

Решение. Если количество нечетных чисел нечетно, то можно стереть любое из них.  

Если же  количество чисел четно, то, очевидно, на доске есть хотя бы одно четное число( всего чисел 2007), его и стираем.

Если  же на доске написаны 2006 нечетных чисел, то при стирании любого из них, сумма оставшихся будет нечетна.

11. В некотором году три месяца подряд содержали всего по 4 воскресенья. Доказать, что один из этих месяцев - февраль.

Решение. Из условия следует, что три месяца содержат всего 12 воскресений. А поскольку один из любых семи подряд идущих дней является воскресеньем, то эти месяцы насчитывали вместе меньше чем 13·7=91 день.

Остается заметить, что любые три подряд идущих месяца, среди которых нет февраля, насчитывают вместе не меньше , чем 91 день.

Работа в группах.

1. Торт имеет форму равнобедренной трапеции, у которой верхнее основание и боковые стороны в 2 раза меньше нижнего основания. Можно ли торт разделить на 4 равные части?

Ответ  : можно