Методическое пособие по математике "Магия быстрого счета"
учебно-методическое пособие по математике на тему

Методическая разработка по математике:

 «Магия быстрого счета на уроках математики»

Столярчук Лилия Геннадьевна,

учитель математики первой категории, МБУ «Лицей № 67»

г. Тольятти

2017

Старинные способы вычисления.

1. Русский крестьянский способ умножения.

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянский (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  38 на 43,

• запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                    

• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.   86+172+1376 = 1634

2. Метод «Решетки»

В своей  «Книге об индийском счете»  выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный методом «Решетки». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 37 и 59.

Начертим таблицу 3 на 3.

В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).    

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии. Возможно данный способ не совсем удобный из-за таблицы, но сам процесс вычисления очень интересен и увлекателен для учеников, а заполнение таблицы напоминает игру.

          3. Метод Гаусса

Задача: 1+2+3+…+98+99+100=?

• Сумма каждой пары слагаемых, которые одинаково отстоят от концов записанного выражения, равна 101:

 • заметим, что: 1+100, 2+99, 3+98, …, 50+51.

• А таких пар в 2 раза меньше, чем слагаемых, т. е. 50.

• 101∙ 50=5050

Приемы и методы быстрого счета

Различные способы сложения  и вычитания

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

76+8=76+10-2=84.

Сложение в уме двузначных чисел

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

24+48=24+50-2=72.

Сложение трехзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

459+323= 400+300+50+20+9+3=782

Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

76-9=76-10+1=67;

Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 147-76=58

76 на 24меньше 100. 147 на 47 больше 100. Прибавим 24 к 47 и получим ответ: 71.

Умножение на однозначное число

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 37 X 5) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (30X5 = 150), затем единицы (7*5 =35) и оба результата складывают.

Еще пример:

24*7=20*7+4*7=140+28=168

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350

Умножение на двузначное число

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие. Например:

6*27=27*6=120+42=162

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

49*12=49*10+49*2=490+98= 588

 (Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.)

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 12 = 2*6), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз. Например:

35*12 =70*6=420

Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
43·11=473, т.к. 4+3=7, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 7;

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

212*4 =424*2=848

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

213*8 = 426*4=852*2=1704

( Eще удобнее: 213*8=200*8 +13*8= 1600+104=1704.

Деление на 4 и на 8

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

96:4 =48:2=24

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

472:8=236:4=118:2=59

Умножение на 5 и на 25

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

96*5= 960:2= 480

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

96X5 = 96/2*10=480

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

32*25=32/4*100= 800

Если же число при делении на 4 дает остаток 1, то к частному

прибавляют 25, если число при делении на 4 дает остаток 2, то к частному прибавляют 50, если число при делении на  4 дает остаток 3, то к частному прибавляют 75.

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75

Умножение на 15, на 125, на 75

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на , (потому что 10*=15) Например:

28*15=28**10=420

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на   (100*=125).

Например:

36*125 = 36*100*= 3600 + 900 =4500

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на   (100*=75).

Например:

38*75= 38*100*=3800* 3/4 =(3800 +1900)/2=2850

Умножение на 9 и на 11

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

42*9=420-42=400—22=378

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

39*11=390+39=429

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25 

например:

; 9*10=90; 9025

Указанный прием применим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

= 20,25

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
532= 2809, т.к. 25+3=28 и 32=09;

При устном возведении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулами = +2ab или = -2ab

Например: =+1+2*30*1= 901+60= 961

 (Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.)

Вычисления по формуле

(а+b) (а-b)

Пусть требуется выполнить устно умножение 42*38

Мысленно представляем эти множители в виде (40 + 2)*(40—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(40+2)*(40—2)=402-22= 1596

Подобным же образом поступают во всех случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

В моей работе указаны только простейшие, наиболее удобные в применении способы устного выполнения действий умножения, деления и возведения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вы можете  выработать другие приемы, облегчающие вычислительную работу.

Игры

Отгадывание полученного числа.

1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа. Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного результата вычтите задуманное. У вас получилось 1.
3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное. У вас получилось 2.
4. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.  У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

1. Предложите своим друзьям задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
2. Полученную сумму пусть умножит на 3.
3. От произведения пусть отнимет 7.
4. Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

Угадать возраст.

Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.

Всегда девятка

Предложите кому-нибудь написать число из трех разных цифр, под ним — написать число из этих же цифр, но в обратном порядке. Затем вычесть меньшее число из большего. Когда зритель это сделает, скажите ему, что в середине числа стоит девятка.

Список используемых источников

1. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений.// Начальная школа.-1990, №6.-стр.44-46.
2. Игры и развлечения. Кн.1/Сост. Л.М.Фирсова.1989
3. Перельман Я.И. Живая математика.-Екатеринбург, Тезис,1994
4. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П Савин.-М.:Педагогика, 1989.
5. https://www.litmir.co/br/?b=135733