Методы и приёмы, способствующие формированию умения решения текстовых задач учащимися 5-6 класса
статья по математике (5, 6 класс) на тему

   Методы и приёмы, способствующие формированию умения решать

                  текстовые задачи в 5-6 классах.

       1. Решение задач арифметическими методами.

     Решение текстовых задач арифметическим путём – важное средство, с помощью которого можно научить способам рассуждений, выбору стратегии решения, анализу ситуации, т. е. развивать мышление учащихся.

  При формировании умения решать задачи арифметическими методами необходимо организовать работу с учащимися следующим образом.

1. Учащимся надо дать возможность понять ситуацию, описываемую в задаче, осознать и запомнить её содержание. Для этого следует обязательно поработать с текстом задачи, т.е.

- прочитать вслух формулировку,

-выяснить понимание терминов и оборотов речи,

-при необходимости пересказать условие,

-придумать способ представления условия в виде рисунка, схемы или модели.

II.          Важно добиться, чтобы учащиеся поняли ход рассуждения. Для этого надо:

            - в качестве опоры для рассуждений использовать рисунок, графическую

               иллюстрацию условия, реальные действия с величинами,

             - прибегнуть при необходимости к переформулировке условия задачи,

             - научить ставить вопросы и давать развёрнутые ответы,

             - при рассмотрении нового вида задач обязательно записать полное решение хотя

                 бы одной из них, чтобы учащиеся могли воспользоваться им в качестве образца.

3. Овладев приёмом, учащийся может выбрать любой удобный для себя способ

решения. Если в классе в ходе рассуждений учащиеся предложили несколько способов решений одной и той же задачи, то это надо поощрять, ведь важно активное участие каждого ученика в процессе решения.

Приведу примеры из моей практики.

 Задача 1.1. На двух полках 84 книги, причём на второй полке на 12 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Ученики предложили четыре способа её решения.

I способ. (рис.13)

1) 84-12=72(книги)-удвоенное число книг на первой полке;

2) 72:2=36(книг)- на первой полке;

3) 36+12=48 (книг)-на второй полке.

II способ. (рис.13):

1. 84+12=96 (книг)-удвоенное число книг на второй полке;
2. 96:2=48 (книг)-на второй полке;
3. 48-12=36 –на первой полке.

          I полка

                                                                                                           12 кн.                 84 книги

         II полка

                                                         Рис.13

            I полка                                                                            6кн.

                                                                                                                     6кн.          84 книги

           II полка

                                                      Рис.14                                                        12 кн.

III способ.(рис.14)

1. 84:2=42 (книги)-на каждой полке, если все книги расположить на каждой полке

       поровну;

2. 12:2=6 (книг)-нужно переложить;
3. 42+6=48 (книг)-было первоначально на второй полке;
4. 42-6=36 (книг) –было первоначально на первой полке.

IV способ.

Предположим, что на первой полке 20 книг, тогда на второй полке 20+12=32 (книги). Но в этом случае на обеих полках было бы только 32+20=52 (книги). А в условии сказано, что всего было 84 книги и, следовательно, не хватает 84-52=32 (книги). Значит, надо добавить на каждую полку по 16 книг. Тогда на одной полке будет 36 книг, а на другой – 48 книг.

Когда ученикам была предложена задача на движение по реке, она была решена аналогичным способом.

Задача 1.2.Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите: а)скорость течения реки; б) собственную скорость катера.

                                                       скорость        по течению

                          собственная скорость                                  скорость течения

                            собственная          скорость

           скорость против течения           скорость течения

                                                рис.15

Прочитав условие, учащиеся изобразили схему (рис.15) и записали решение:

1. 22-18=4(км/ч)-удвоенная скорость течения реки
2. 4:2=2 (км/ч)- скорость течения реки;
3. 18+2=20 (км/ч) –собственная скорость катера.

                                                  2. Обратные задачи.

     Обратные задачи являются средством развития мыслительных операций, необходимых для решения задач. Кроме того, составление и решение обратных задач - это критерий развития творческого мышления ученика, один из путей саморазвития ума.

Для того, чтобы ученик осознанно применял схему решения задачи, приведённую выше, и не испытывал затруднений при анализе и составлении плана решения, необходимо, чтобы он ясно представлял себе взаимосвязи между величинами, которые присутствуют в решаемой задаче. О месте обратных задач при обучении математике было описано Эрдниевым П.М. и Эрдниевым Б.П. в книге «Укрупнение дидактических единиц», 1986г. В своём исследовании они отмечали, что для того, чтобы ученики научились составлять обратные задачи необходимо, чтобы в условие исходной задачи вводился её ответ, а некоторые числа из условия переводились бы в разряд искомых.

Например ученикам предлагаю сначала решить задачу

Задача №2.1. (№72 Математика-5 Виленкин Н.Я.,2010)

   Геологи 4 ч летели на вертолёте со скоростью 80км/ч, а затем ехали верхом на лошадях 2 ч со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?

Ученики составляют схему к задаче в виде таблицы.

Решение прямой задачи:

1)80∙4=320 (км) –на вертолёте

2)12∙2=24 (км) – на лошадях верхом

3) 320 +24 = 344(км)-весь путь.

Дальше составляем обратную задачу опираясь на таблицу, заменяя известные величины на неизвестные.

Составив схему к обратной задаче , ученики составляют формулируют саму задачу.

Возможна и другая схема:

:

Можно сформулировать к этой схеме следующий вопрос:

Сколько времени они путешествовали?

На доске и в тетрадях схемы и решения прямой и обратной задачи обычно записываем рядом, параллельно.

    При составлении обратных задач и их решении ученики проявляют интерес. Так как при этом ученики самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом им помогает параллельная запись прямой и обратной задачи, а также схема, в которой ученики сами устанавливают прямые и обратные связи. Учащиеся овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений.

 Я согласна с авторами этой книги, что «…умение решать прямую и обратные задачи являются важными критериями достигнутой учеником глубины понимания изучаемого раздела математики. Составление и решение обратных задач достаточно простой и удобный критерий развития творческого мышления, как один из путей саморазвития ума учащегося».

                                    §3. Составление подзадач динамического характера.

Для того, чтобы у учеников сформировались умения по решению задач определённого типа (задач на движение, работу, стоимость и др.) в своей практике я использую приём составления подзадач динамического характера.

  Выбрав одну задачу в качестве основной, можно составить различные подзадачи.

(Приложение №1. Подзадачи динамического характера.)

Например,

• Подобрать новые вопросы (требования) к условию задачи;
• В соответствии с требованием исходной задачи подобрать её новое условие;
• Используя решение исходной задачи, составить более общую задачу;
• Сформулировать вопросы, которые раскрывают частные случаи исходной задачи;
• Составить задачу, которая решалась бы различными способами.

Таким образом, с учётом вышеуказанных пожеланий любая задача может быть преобразована в задачу динамического характера. При этом вполне возможно придать её различные степени сложности и трудности в зависимости от того, какой группе учащихся она предназначена.

 Методическую обработку задач можно вести в несколько этапов.

Первый этап. Выбранная задача анализируется с точки зрения её доступности для самостоятельного решения учащимися Облегчить поиск решения можно с помощью различных эвристических приёмов. Учитель должен специально организовать наблюдения учащихся, предложив серию взаимосвязанных задач (т.е. динамические подзадачи). Решения этих подзадач должны указать некоторый путь решения данной задачи.

Второй этап. На основе произведённого анализа первоначальная задача детализируется. Учащимся предлагается не сразу приступать к решению, а сначала рассмотреть серию подготовительных заданий, которые даны ниже. (Можно включить в эту серию и исходную задачу).

Ученики приступают к решению этих подзадач, выбрав любую из них. В процессе решения они должны увидеть, что решив эти подзадачи, можно решить и исходную задачу.

Если с этими задачами учащиеся не справляются, то целесообразно предложить более простые подзадачи.

Третий этап. Подзадачи должны учитывать разную степень подготовленности учащихся. Поэтому желательно предусмотреть несколько вариантов подзадач. Один (вариант А) для менее подготовленных учеников, которые нуждаются в подробных подсказках. Другой (вариант В) – для учеников, предпочитающих получить помощь, оставляющую простор для собственного творчества. Третий (вариант С) – для учеников, нуждающихся не в помощи, а в раскрытии перспектив применения тех методов, которые использовались в рассмотренном задании. Приведу примеры динамических подзадач трёх вариантов.

   Как видим, сама структура задач динамического характера способствует активизации мышления учащихся. Эти задачи можно рассматривать, как одно из средств для формирования элементов исследовательской деятельности: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать, обобщать, выделять из целого его части и из частей составлять целое. Решение задач динамического характера можно организовать по трём вариантам в соответствии с тем, как много подсказано учащимся, чтобы навести их на открытие. Это обстоятельство позволяет сделать обучение более дифференцированным.

                                         4. Составление задач учащимися.

      О полезности составления своих собственных задач отмечал в своих трудах Эрн Э.Ф. ещё в 1915 году: «…составление задач самими учениками с самых простых и кончая довольно сложными, могло бы внести в преподавание арифметики живительную силу, возбуждая у учащихся интерес к предмету и давая им возможность проявлять и в области арифметики свои способности к творчеству.» Думаю, что формирование у учащихся составлять собственные задачи начинать можно сразу же после решения нескольких задач, на изучаемое действие, так чтобы решение и составление задач велось бы параллельно. При этом в начале учащиеся могли бы составлять не всю задачу, а лишь дополнять недостающие элементы. Например:

1) К данному условию и численным значениям придумать вопрос:

2)К данному условию и вопросу придумать численные значения.

3) К данному вопросу и численным значениям данных придумать условие:

4) к данному условию придумать численные значения данных и вопрос.

5) К данному вопросу придумать условие и численные значения.

6) К данным численным значениям придумать условие и вопрос:

  Затем ученикам можно предложить составить простые задачи полностью, причём, ребятам надо дать полную свободу в выборе материала для задачи, или указать ту область, материал которой должен быть взят. А потом можно перейти к составлению сложных задач. В учебнике Виленкина Н.Я. предусмотрены задания такого типа:

№219 Составить задачу , которая решается с помощью выражения:

А)120+35    Б)80+25+60    В)140-50     Г)90-20-45

Ученикам, в качестве творческого задания можно предложить составить не только задачу, но и рисунок к ней, который бы выражал условие задачи (Приложение№2).

 Придумывая задачу, ученики вынуждаются пользоваться не фантастическими комбинациями, а брать реальный материал. Причём, составляя задачи, дети обращаются к газетам, журналам, справочной литературе. (Приложение №2)

Весь процесс составления новых задач состоит из следующих этапов:

• Выбор темы и определение вопроса задачи;
• Выбор жизненного материала для задачи;
• Подбор числового материала;
• Установление связи между искомыми и данными;
• Словесная формулировка задачи.

                     5. Решение задач с помощью уравнений.

 Многие задачи в 5, 6 классах учащиеся решают с помощью уравнений. От учеников при этом требуется выявить  все величины, участвующие в задаче, отделить известные от неизвестных, установить зависимость между ними, выбрать одну из них для составления уравнения..

  Один из приёмов обучения решению задач с помощью составления уравнений описывает А.А.Окунев в своей книге «Спасибо за урок, дети!» Этот приём мною используется в работе с учениками. Он состоит из трёх этапов:

• Распознавание величин, участвующих в задаче;
• Установление зависимостей между величинами;
• Записывание одной величины через другую.

Умение выполнять два первых этапа также необходимы и при решении задач арифметическим способом.  

Задача 5.1. (Виленкин Н.Я. 5 кл.№566)Для школы купили220 столов и стульев. Причём стульев – в 9 раз больше, чем столов сколько столов и сколько стульев купили?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи входят величины:

   Количество столов, количество стульев, общее количество столов и стульев.

2. Количество стульев в 9 раз больше, чем столов. Количество столов принимаем за х. тогда количество стульев – 9х.

3. 220 – сумма величин, так как в первой фразе говорится, что купили 220 столов и стульев.

Затем составляется схема к задаче:

               Столы                                               х

   220     Стулья – в 9 раз больше                   9х

Затем составляем схему уравнения:

                                                   +                                           = 220  

                                                      +                                          =220

   Этот способ решения задачи с помощью уравнения учит школьников видеть величины, данные в условии задачи, и вскрывать связи между ними. Кроме того, способствует формированию у учащихся обобщённых видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.

  Если задача более сложная, то мною используется другой приём решения задач с помощью уравнения: составление таблицы с указанием значения известных величин, введения неизвестных, и выражение неизвестных величин через буквенное значение.

Методической основой обучения учащихся является следующий обобщённый приём аналитического поиска решения текстовой задачи, который был описан частично выше. Он состоит в следующем:

I.Выполнить анализ задачи, выявив:

   а) название величин, содержащихся в задаче;

     б) функциональную связь между этими величинами, т.е. основное отношение,

         реализованное в задаче;

     в) количество заданных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

     г) известные и неизвестные величины в каждой задачной ситуации;

     д) связь между соответствующими величинами;

     е) искомую (искомые) величину.

II. Оформить ( с учётом основного отношения и числа задачных ситуаций, элементов)  

    табличную запись данных и неизвестных величин в каждой ситуации и сравнить между

    собой соответствующие значения неизвестных величин,  используя знаки равенства,

    арифметических действий.

Ш. На основе табличной записи текста задачи построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:

а) записать обозначение искомой (например х) или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;

б) использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.

IV. Выписать, пользуясь моделью поиска, полученное уравнение, являющееся основой для получения уравнения.

V. Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

VI. Решив уравнение, ответить на вопрос задачи, записать ответ.

Задача 5.2 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

В результате исследования, описанного выше составляем таблицу:

Уравнение: 2х+2(х-3) = 76

Решив данное уравнение, обратившись к вопросу задачи, найдём скорости велосипедистов, запишем ответ к задаче.

                       6  Формирование устойчивого интереса к математике

                                               при решении текстовых задач.

1. Занимательные задачи на уроках математики.

    С целью формирования устойчивого интереса к изучению математики на своих уроках я предлагаю учащимся решать задачи занимательного характера. Так как считаю, что их решение способствует развитию таких качеств, как самостоятельность, любознательность, внимательность, активность, умение логически рассуждать. Известно, что при обучении в 5, 6 классах основная нагрузка при усвоении материала у учащихся связана с запоминанием новых терминов, правил, способов действий и т.д. А из психологии известно, что память младшего школьника (ученика 5, 6 кл.) характеризуется преимущественно образностью, конкретностью, недостаточной логичностью, ограниченностью (по объёму). А условия занимательных задач образны. Они  часто вызывают у школьников интерес, определённые положительные эмоции. Поэтому ребята часто лучше запоминают не только сами задачи, их решение, но и способы, которыми они были решены. А это способствует развитию памяти учеников.

  Наблюдая за учащимися этого возраста, можно отметить у них повышенное чувство ответственности, творческой инициативы. Школьники этого возраста стремятся к самостоятельности, они любят решать задачи, требующие сообразительности, определённого умственного напряжения. Им нравятся поиски различных способов решения одной и той же задачи, быть авторами «новых» задач, они испытывают удовлетворение при самостоятельном выполнении задания.

  В этот период у учащихся возникает новое отношение к научным знаниям, стремление знать и умение применять эти знания. Интересы учащихся этого возраста характеризуются лёгкостью возникновения и вместе с тем слабой устойчивостью, изменчивостью и сильной зависимостью от частных успехов и неудач. Поэтому умения решать занимательные задачи способствуют тому, что интересы младшего подростка становятся глубокими, устойчивыми и действенными.

 Кроме того, занимательность является и средством возбуждения более длительного непроизвольного, непосредственного интереса – в начале к задаче, а затем и к самому процессу обучения, процессу овладения знаниями.

  Педагогическую целесообразность занимательности отмечал Я.И.Перельман. Он подчёркивал, что через занимательность проникает в осознание ощущение прекрасного в математике, которое при последующем изучении предмета дополняется пониманием прекрасного. К эстетическим элементам занимательности он относит лёгкий юмор фабулы, неожиданность ситуации или развязки, доставляемой решением задачи, изящество решения, под которым понимается сочетание простоты и оригинальности методов его получения.

 Предлагаемые ученикам занимательные задачи опираются на математическую базу, соответствующую знаниям учащихся 5, 6 классов. Эти задачи, как правило, доступны и интересны по содержанию всем учащимся, но найти их решение не всегда просто. Нужна сообразительность, своеобразная «подвижность» мышления.

  Решение каждой задачи обычно занимает относительно немного времени, т.к. излишне большое время на решение задачи может привести к потере интереса учащихся к этому виду деятельности, т.е. к результату, обратному желаемому (Приложение №3).                                         2. Задачи с практическим содержанием.

    С целью активизации познавательной деятельности и формирования устойчивого интереса к математике у школьников 5, 6 классов  я предлагаю ученикам решить задачи с практическим содержанием, задачи-исследования. При  решении таких задач ученики испытывают реальную необходимость применения получаемых знаний для достижения стоящих перед ними практических целей.

 Как правило, при решении таких задач ученики затрудняются, об этом также свидетельствуют и сравнительные исследования результатов обучения математике школьников разных стран. Эти исследования показали, что российские ученики затрудняются применить полученные знания при решении практических задач, уступая в этом зарубежным школьникам.

   Сюжетные задачи, которые содержаться в учебниках Виленкина Н.Я. и др. Математика-5,6 кл. хотя и несут в себе практическое содержание, но ,как правило, носят искусственный характер и почти не имеют аналогов в практической деятельности самих учащихся.

Поэтому, уже в 5. 6 классах мною предлагаются сюжеты задач, которые имеют прикладной характер, моделируют ситуации близкие к реальным. Особенность таких «практико-ориентированных» задач является тщательно описанная ситуация, реальная или похожая на реальную. Особенно важна формулировка требования задачи: она должна иметь практическое значение.

Поэтому приходится придумывать задачи с таким содержанием, которое близко жизненному опыту самих ребят. С этой целью неоднократно рассматриваются :

а) адекватные прикладные задачи (имеющие одну общую математическую модель) с разными сюжетными фабулами;

б) наполнение отвлечённой, абстрактной задачи практическим содержанием (Приложение №1.)

    И с целью формирования навыка в решении практических задач предлагаю ученикам выполнить проект-исследование по следующим темам:

-«Определить процент всхожести семян» (провести наблюдения на пришкольном участке и составить текстовые задачи на проценты),

- результативность операции «Зелёный друг»( определить процент отродившихся деревьев, посаженных на улицах родного села, составить текстовые задачи на проценты) и др.

   С целью формирования исследовательского навыка при решении текстовых задач можно предложить задачи, которые содержат вопрос: «Хватит ли?», «Успеет ли?». Ученикам можно предложить следующую задачу, с которой можно столкнуться в повседневной жизни (Приложение №4).

3. Нестандартные задачи.

      Одним из важнейших средств развития математических способностей учащихся, их мышления и интеллекта является формирование умения решать нестандартные задачи.

  Нестандартная задача не может быть непосредственно решена по какому-нибудь алгоритму. Возникает необходимость поиска решения, что требует работы мышления и способствует его развитию. Д.Пойя высоко оценивал значение для обучения математике решение нестандартных задач, порождающих напряжённость поиска и радость открытия – важнейшие эмоциональные факторы развивающего обучения.

 При решении таких задач ученики находятся в поиске, и если им удаётся найти решение, то они чувствуют радость открытия, тем самым у них возникает интерес к самостоятельному поиску решения задач. Но большинство учащихся испытывают непреодолимые трудности при решении таких задач, ведь они не решаются по известным алгоритмам.

  Догадываться тоже надо учить. При решении нестандартных задач я советую ученикам выявлять и использовать эвристическую информацию, заложенную в условии каждой такой задачи, т.е. такой информации, которая способствует подсказанию пути и открытию решения.

  Как правило, решение нестандартных задач я включаю и в проект урока, когда решаем обычные текстовые задачи. При этом стараюсь учить ребят различным подходам к неожиданным по формулировке задачам, применять эвристические методы.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

1. сведение (путём преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;
2. разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти комбинации приходится использовать многократно. Иногда в решении задач такого типа необходимо выявить одну-две скрытые связи между элементами задачи (Приложение №5).

В.А.Сухомлинский отмечал «Упражнениями, пробуждающими внутреннюю энергию мозга, стимулирующими игру сил «умственных мускулов», является решение задач на сообразительность, сметливость».

4. Задачи с элементами историзма.

   Решая задачи с элементами историзма, ученики знакомятся с популярными раннее приёмами рассуждений. Некоторые приёмы используем и мы, при решении современных задач (Приложение №6.).

                                                         Заключение.

Описанный в данной работе педагогический опыт используется мной в течение нескольких лет. При решении текстовых задач у учащихся 5, 6 классов формируются навыки математического моделирования, умения ориентироваться в распознавании стандартных и нестандартных задач. Стандартные задачи легко решаются учениками, при использовании известных им алгоритмов (задачи на движение, стоимость, работу, проценты, на части и т.п.). Эти умения и навыки служат в дальнейшем надёжной базой при решении более сложных текстовых задач, которые рассматриваются в старших классах. Благодаря организованной работе с учениками по решению текстовых задач, описанной в данном проекте, мои ученики имеют навыки решения задач с практическим содержанием, навыки исследовательской работы, которые в дальнейшем будут развиваться при решении задач с параметрами, которые вызывают затруднение у многих учащихся.

 На уроках, которые проходят в 5 и 6 классах, ученики активны, они осмысленно устанавливают связи между величинами в предлагаемых им текстовых задачах, осознанно выбирают соответствующую цепочку действий, приводящих к результату, к ответу задачи.

  Анализируя свою педагогическую работу по формированию умений в решении текстовых задач, мной была предложена анкета ученикам 5, 6 классов в конце прошлого учебного года. Её результаты оказались следующими:

Из ответов учащихся  можно сделать вывод, что в течение учебного года многие из них совершенствовали свои умения и навыки в решении текстовых задач. Основная часть учащихся может решить задачу самостоятельно.

Это подтверждают и результаты контрольных работ, предложенных ученикам 5 класса в начале учебного года, в целях диагностики их знаний, умений и навыков, и в конце II четверти, когда были повторены, а с некоторыми учениками вновь изучении основные алгоритмы решения текстовых задач.

В таблице приведены результаты этих контрольных работ

               сентябрь       декабрь

        Мои ученики принимают активное участие и во внеклассной работе по предмету: участвуют в школьной олимпиаде, в районном «Турнире смекалистых», который проходит уже традиционно в весенние каникулы вот уже в течение нескольких лет и занимают призовые места.

    Но, к сожалению, в обучении учащихся умению решать текстовые задачи есть и трудности. Это, прежде всего, малая наполняемость классов: в классе у нас в школе обучается в среднем по 4 ученика. И ещё, очень хорошо, если среди них есть ученики со средней и высокой успешностью в обучении. Тогда на уроке можно применять все описанные методы и приёмы. Но есть и такие классы, в которых обучаются дети с низкой успешностью обучения. Тогда приходится так планировать свои уроки, чтобы они поняли решение самых простых текстовых задач, причём приходится проводить больше уроков на отработку алгоритмов решения текстовых задач, хотя, тем не менее, мной используются и такие приёмы, как задачи динамического характера, решение занимательных, нестандартных задач. Слабые ученики, хотя и на своём уровне, но сочиняют мне свои задачи, задачи-сказки.

  Закончить описание своего педагогического опыта мне хочется высказыванием Д.Юнга «Когда математические задачи решаются легко, это служит наилучшим доказательством того, что силы, которые математика должна была развить, уже развились».                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                           СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5, 6 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.:Мнемозина, 2010.
2. Григорьева Т.П., Иванова Т.А. Основы технологии развивающего обучения математике.- Нижний Новгород, 1997.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика.5 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Просвещение,2011.
4. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 кл.Учебник.- М.: Ювента,2010.
5. Зайкин М.И.,. Арюткина С.В. Хрестоматия по методике математики: Обучение через задачи: Пособие для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов, учителей математики общеобразовательных учреждений. Арзамас: АГПИ, 2005.
6. Зубарева И.И. Ещё раз о процентах // Математика в школе.-2006.-№10
7. Климченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение,1992
8. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! Книга для учителя.-М.: Просвещение, 1988.
9. Олехних С.Н. Старинные занимательные задачи. М.: Наука,1985.
10. Педагогический энциклопедический словарь. М.: Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 2002.
11. Пойя Д. Как решать задачу. Львов, журнал «Квантор»,1991.
12. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Методическое пособие. –Киев: Радянська школа,1983
13. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.  Как научиться решать задачи. Книга для учащихся., М.: Просвещение,1984.
14. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.Учителю математики о педагогической психологии. М.% Просвещение,1983
15. Шеврин Л.Н. и др. Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение,1989.

                                                                                                                 Приложение № 1

                             Подзадачи динамического характера.

Задача  1. В 12 ч дня из села Простоквашино выехал почтальон Печкин со

                       скоростью 12 км/ч. Через час Шарик заметил, что Печкин забыл в

                       Простоквашино свою почтовую сумку. Он схватил сумку и бросился

                        вдогонку. В 17 ч он догнал Печкина. С какой скоростью бежал Шарик?

 Первый этап. Выбранная задача анализируется с точки зрения её доступности для самостоятельного решения учащимися. Эту задачу можно решить двумя способами.

1 способ. Найдя время движения Печкина, найти путь, который прошёл он до встречи с Шариком по известной скорости и, найдя время движения Шарика, найти его скорость, по известному расстоянию и времени движения.

2 способ. Найдя время движения Печкина, а потом Шарика и найдя расстояние между Печкиным и Шариком с момента начала движения Шарика - это 12 км, надо это расстояние разделить на время движения , когда Шарик догонял Печкина. Получим скорость сближения. Затем к скорости сближения прибавим скорость Печкина-это будет скорость Шарика. Сделав схему движения к задаче можно определить, что эту задачу можно решить по алгоритму решения задач на движение в одном направлении.

Второй этап.  Решить задачи:

А) В 12 ч дня из села Простоквашино выехал почтальон Печкин. Через час Шарик бросился вдогонку. В 17 ч он догнал почтальона Печкина. Сколько времени находился в пути Шарик, прежде чем он догнал Печкина?

Б) В 12 ч дня из села Простоквашино выехал почтальон Печкин со скоростью 12 км/ч. Шарик бросился за ним вдогонку. На каком расстоянии от Простоквашино был почтальон Печкин, в момент времени, когда Шарик бросился за ним вдогонку?

В) Почтальон Печкин выехал из села Простоквашино со скоростью 12 км/ч. Когда он был на расстоянии 12 км от Простоквашино, вслед за ним Шарик бросился вдогонку. Через 4 ч Шарик догнал Печкина. Найти скорость Шарика.

Г) Почтальон Печкин выехал из села Простоквашино со скоростью 12 км/ч. Когда он был на расстоянии 12 км от Простоквашино, вслед за ним Шарик бросился вдогонку. Через 4 ч Шарик догнал Печкина. Найти скорость сближения.

Д) Известно, что Шарик догнал почтальона Печкина. Какова скорость Шарика, если скорость Печкина 12 км/ч, а скорость сближения 3 км/ч.

Ученики приступают к решению этих подзадач, выбрав любую из них. в процессе решения они должны увидеть, что решив эти подзадачи, можно решить и исходную задачу.

Третий этап. Динамических подзадачи трёх вариантов (разного уровня сложности).

Вариант А.

1. Ответь на первый вопрос задачи А, сначала определив по условию во сколько Печкин начал движение и во сколько произошла встреча его с Шариком. Определи время движения Шарика, если он выбежал через 1 ч, после того как ушёл Печкин.
2. Ответь на вопрос задачи Б, используя формулу зависимости между s,v,t: s=v·t. найди в условии задачи скорость Печкина. Сколько времени был уже в пути Печкин, когда Шарик бросился за ним вдогонку? вычисли расстояние, на котором находился почтальон Печкин от Простоквашино, в тот момент, когда Шарик бросился за ним вдогонку.
3. Изобрази схему движения, укажи на ней известные величины.
4. Реши задачу Д, определив сначала:

- путь Печкина, после того как выбежал Шарик;

- путь Шарика;

- скорость Шарика (v=s:t)

      5)   Реши задачу В, используя формулу vсбл=s:tвстр, где s-растояние между Печкиным и

                                                  Шариком, tвстр – время через которое Шарик догнал Печкина.

 6)  Реши задачу Г, учитывая, что находя vсбл, надо из скорости догоняющего вычесть

      скорость того, кого догоняют.

Вариант В.

1. Ответить на вопрос задачи А;
2. Ответить на вопрос задачи Б;
3. Ответить на вопрос задачи В;
4.  Ответить на вопрос задачи Г;
5. Ответить на вопрос задачи Д;
6. Реши задачу Е, используя рассуждения уже решённых задач.

Вариант С.

1. Реши задач А,Б,В,Г,Д,Е;
2. Реши исходную задачу несколькими способами. Какой из способов вам кажется наиболее удачным.
3. Сделай вывод: к какому типу задач на движение относится эта задача?
4. Запиши формулы, которые используются при решении подзадач
5. Запиши формулу, по которой можно вычислить скорость Шарика, используя формулы из 4).

Приложение №2                                                

                                                  Составление задач учащимися.

1) К данному условию и численным значениям придумать вопрос:

Собственная скорость теплохода 40,5 км/ч, а скорость течения реки 5,8 км/ч.

Ученики формулируют требование задачи:

Найти скорость теплохода по течению и против течения реки. 

2)К данному условию и вопросу придумать численные значения.

Трубу разделили на две части. На сколько вторая часть длиннее первой?

Ученики добавляют:

1 вариант:Труба имеет длину 9,34м. Длина одной части 2,89 м.

2 вариант: Длина одной части 3,5 м., длина второй части 8,6м.

3) К данному вопросу и численным значениям данных придумать условие:

       А)26+15-7    

Б)  1 месяц- 2120 велосипедов                           ?

     2 месяц- на 250 велосипедов больше

4) к данному условию придумать численные значения данных и вопрос.

На машину грузили мешки с мукой и с крупой.

Ученики составили задачу:

На  машину погрузили 7 одинаковых мешков с мукой и 12 одинаковых мешков с крупой. Масса мешка с мукой в 2 раза больше массы мешка с крупой. Найти массу мешка с крупой, если всего на машину погрузили 780 кг.

5) К данному вопросу придумать условие и численные значения.

Сколько всего времени мальчик катался на лыжах и коньках во время зимних каникул?

Ученики составили задачу:

В один из дней зимних каникул мальчик ч катался на лыжах, а на  коньках на ч меньше. Сколько всего времени он катался на лыжах и коньках?

6) К данным численным значениям придумать условие и вопрос:

         42                  6300руб.

         16                  7200руб.

Ученики составили задачу:

Стоимость 42 радиодеталей одного вида 6300 руб., а стоимость 16 радиодеталей другого вида 7200 руб. цена какой детали больше и во сколько раз?

Затем ученикам можно предложить составить простые задачи полностью, причём, ребятам надо дать полную свободу в выборе материала для задачи, или указать ту область, материал которой должен быть взят. А потом можно перейти к составлению сложных задач. В учебнике Виленкина Н.Я. предусмотрены задания такого типа:

№219 Составить задачу , которая решается с помощью выражения:

А)120+35

Б)80+25+60

В)140-50

Г)90-20-45

Приложение №3

                                 Занимательные задачи на уроках математики.

1) тема «Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел»:

   Свинья живёт на 10 лет меньше, чем верблюд, а верблюд на 20 лет меньше, чем осёл.    

  Сколько живут свинья и верблюд, если осёл живёт 50 лет?

 2) тема «Действия с дробями, проценты»

     а) Воробей не может продержаться в воздухе более 1/15 часа: он падает от усталости на землю. Сколько минут может продержаться в воздухе воробей?

    б) Кузнечик длиной 0,05 м делает скачок, в 75 раз превышающий его длину. каков результат? На сколько бы  метров в этом случае прыгнул человек, высотой 1,5 м?

в) В Московском Кремле находится Царь-пушка и Царь-колокол, отлитые русскими мастерами. Масса колокола 200 т, а масса пушки составляет 20% массы колокола. Найти массу пушки.

Приложение №4                                

                                             Задачи с практическим содержанием.

1. В магазине шкатулка стоит 140 руб., а в киоске такая же шкатулка стоит на 5% дешевле. За сколько можно купить эту шкатулку в киоске? Какая сумма при этом экономится?
2. Магазин повысил цены на  тетради на 10%, а на остальные товары на 15%. До повышения цен Аня купила две тетради по цене 30 руб. и три альбома по цене 50 руб. и клей за 10 руб. Сколько денег она заплатила за покупку? На сколько больше ей пришлось бы заплатить, если бы она делала покупку после повышения цен?
3. Ира посадила на грядке 30 семян редиса, а лука в 3 раза больше, чем редиса. Взошло 4/5 семян редиса и 2/3 семян лука. Какая часть всех семян взошла?

Задачи – исследования, которые содержат вопрос: «Хватит ли?», «Успеет ли?».:

Задача. Мама поручила Игорю купить 3 пакета молока по 25 рублей. У Игоря на покупку -100 руб. Хватит ли ему этой суммы?

Чтобы решить задачу ученики приходят к следующему плану решения:

1. найти стоимость покупки;
2. сравнить её с суммой имеющихся денег.

Задача 1. На животноводческой ферме 270 коров. Каждая даёт 12 кг молока в день. Молоко с фермы вывозят в бидонах, по 40 кг в каждом. Сегодня на ферме есть 65 пустых бидонов. Хватит ли   их, чтобы вывезти весь сегодняшний удой молока?

  Если ответ «хватит», то останутся ли пустые бидоны и сколько их останется? Если ответ «не хватит», то сколько бидонов надо привезти на ферму?

Решение: сначала составим выражение, с помощью которого можно определить необходимое число бидонов

                                         (12 ∙ 270) : 40 (бидонов)

Обозначим это выражение буквой а.

В последующей  части решения задачи придётся выполнить только один из следующих пунктов:

1) если а = 65, то бидонов хватит и пустых не останется;

2) если а < 65, то бидонов хватит и останется 65 – а бидонов;

3) если а > 65, то бидонов не хватит и надо привезти а – 65 бидонов.

Задача 2. Вася решил за 1 час проехать на велосипеде по шоссе 18 км, а именно, 9 км туда и столько же обратно. С какой средней скоростью должен ехать Вася? Дорога туда идёт под гору. Поэтому Вася ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем вычисленная средняя скорость. Обратно он решил ехать со скоростью на 2 км/ч меньшей, чем вычисленная средняя скорость. Вася предполагает, что он потратит на всю дорогу тот же 1 час. Прав ли он?

Приложение №5

                                                              Нестандартные задачи.

Задача 1.Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найти цену чашки и цену блюдца.

Решение. Одна чашка и одно блюдце стоят вместе 25 руб., поэтому 4 чашки и 4 блюдца будут стоить 100 руб. Так кА по условию задачи  4 чашки и 3 блюдца стоят 88 руб., то одно блюдце будет стоить 100 – 88 = 12 руб. Тогда одна чашка будет стоить  25 – 12 =13 руб.

Ответ: 13 руб. –цена чашки, 12 руб.- цена блюдца.  

Задача 2. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 мин., а Карлсон в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

Решение.

1. 600 :6 =100 (г) – съест Малыш за 1 мин.
2. 6:2 = 3 (мин) – за такое время Карлсон съест всё варенье.
3. 600:3 =200 (г) – съест варенья Карлсон за 1 мин.
4. 100 + 200 =300 (г) – могут съесть вместе варенья Малыш и Карлсон.
5. 600:300=2 (мин) – за такое время съедят варенье Малыш и Карлсон.

Ответ: 2 мин.

Задача 3. Мать для трёх сыновей оставила утром тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев на столе сливы, он съел третью часть их и ушёл. Вторым проснулся средний сын. Думая, что его братья ещё не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке и ушёл. Позднее всех встал младший сын. Увидев сливы, он решил, что его братья ещё не ели их, а потому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив, после чего на тарелке осталось 8 слив. Сколько всего слив было на тарелке в начале?

Помощь ученикам: начать решение задачи с конца.

 При решении многих задач полезно проявить фантазию, видоизменить условие задачи.

Задача 4.Старинная задача (Китай). В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.

Помощь ученикам: представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

35·2 =70 (ног)

Но в условии даны 94 ноги, где же остальные?

Остальные не посчитаны – это передние лапы кроликов. Сколько их?

94 – 70 = 24(лапы кроликов)

Сколько же кроликов?

24:2=12 (кроликов)

Сколько фазанов?

35 – 12 =23 (фазанов)

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

Решив эту задачу вместе с учениками, им можно предложить задачу, которая решается аналогично, и если нужно дать подсказку.

 Задача 5.

По тропинке вдоль кустов

Шло одиннадцать хвостов,

Насчитать я также смог,

Что шагало тридцать ног.

                                                          Это вместе шли куда-то
                                                          Индюки и жеребята.

                                                            А теперь вопрос таков:

                                                         Сколько было индюков?

                                                         Спросим также у ребят:

                                                        Сколько было индюшат?

Помощь ученикам:

Так как шло 11 хвостов, то сколько было всего индюков и жеребят? Число каждого вида в отдельности можно найти, сопоставляя число ног индюка и жеребёнка, и зная, что «шагало 30 ног». Учтите, что замена индюка на жеребёнка не приведёт к изменениям общего количества хвостов (голов), но общее количество ног увеличится на 2.

Приложение №6

                                               6. Задачи с элементами историзма.

Задача 1.  (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого) Покупка сукна. Некто купил 3/4 аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

Решение.

1. 3:==4 (алт.) – стоит 1 аршин.
2. 100 ∙ 4 =400 (алтын) – стоят 100 аршин

Переведём количество алтын в знакомую нам систему измерения денег:

1 алтын = 3 копейки

400 алтын = 1200 копеек=12 рублей.

На примере этой задачи ученики знакомятся с древнерусской системой мер.

1 гривна=10 копеек

1 полушка =  1/4 копейки.

Задача 2. Задача Л.Н.Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить нельзя было на пять частей, то их взяли 3 старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трёх братьев заплатил по 800 руб., меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит дом?

Помощь ученикам: для определения стоимости одного дома надо знать стоимость всего наследства (трёх домов). К определению стоимости наследства, очевидно, надо идти используя число – сумму денег, полученную двумя братьями.

Задача 3. Задача Пифагора. Говорят, что на вопрос о том, сколько у Пифагора учеников, древний математик ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы. Сколько учеников у Пифагора?

Помощь ученикам: число всех учеников можно найти, если знать, какую часть общего числа учеников составляют 3 ученицы (девы).