Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие21. Понятие функции. Способы задания функции
план-конспект занятия по математике (7 класс) на тему

Понятие функции одной переменной

Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу х∈ Х ставится в соответствие единственное число y∈Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x3. В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь "х" называют независимой переменной или аргументом, а "y" -зависимой переменной (т.к. выражение типа x3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x3 принимает значение у= f(2) =23 =8.

 Подведем итог:

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x0 соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции одной переменной

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например y=3x+2x2. Здесь значению x = 1 соответствует y=3∙1+2∙12=5, значению x=2 соответствует y=3∙2+2∙22=6+8=14  и  т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями. Например:

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула - вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Но в исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

 Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице). А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для t, которых нет в таблице. Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего... Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".  График может быть любой, но... не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Для примера, посмотрим на график окружности:

 Окружность, как окружность... Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6. Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта  кривая  - и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти это значение на оси Ox и посмотреть, какой y соответствует этому x. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек - мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь...

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: "А четвёртый!?" - зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается...  Попробуйте построить его сами.

 Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Задания для самопроверки:

1. Функция  y=f(x)  задана графиком.

1. Укажите область определения данной функции
2. Укажите множество значений функции
3. Укажите нули
4. Укажите значение функции соответствующее аргументу равному 2:

Правильный ответ   1.    3. х = - 4    4.  у= -3

2. При каком значении х функция  y =  не имеет смысла?

1) -2;     2) 2;     3) 0;      4) -1.

Правильный ответ  3) 0

3.  Даны выражения

А. ;             Б. ;         В. .

Какие из этих выражений не имеет смысла при х=4?

1. Б;    2) А;    3) Б и В;     4) А и В.

Правильный ответ  2) А;