Урок по теме "Уравнение окружности в задачах с параметром"
план-конспект занятия по математике (10 класс) на тему

I.

- Начать занятие мне хотелось бы со слов Годфри Гарольда Харди, английского математика, профессора Кембриджского и Оксфордского университетов.

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они созданы из идей…». Попробуем и мы создать такие узоры.

II.

- Но сначала вспомним некоторые понятия.

- (презентация)  1. Каждому графику функции поставьте в соответствие формулу,

                             которая его задает.

                          2. Что называется модулем числа а?

                          3. Вспомним преобразования графиков функций на примере y = |x|,

                             a>0, b>0.    

                          4. Какой вид имеет уравнение окружности, которая изображена на  

                             слайде?

                          5. Что задает уравнение   (x-a)2 + (y-a)2 = R2?

III.

- Итак, попробуйте сформулировать тему нашего занятия.

- (презентация, слайд)  «Уравнение окружности в задачах с параметрами».

- Запишите в тетради число на полях, тему занятия.

IV.

- В задачах с параметрами встречаются уравнения окружности следующего вида:

1. (|x|-x0)2 + (y – y0)2 = R2.  

Выясним, что является графиком этого уравнения.

- Что для этого нужно будет сделать?                    

1) x ≥ 0, (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2.

    ω(A; R) – окружность;     A(x0; y0).

2) x < 0, (- x – x0)2 + (y – y0)2 = R2;                                              

                  (x + x0)2 + (y – y0)2 = R2.                                                                        

      ω(B; R) – окружность;     B(- x0; y0).

Итак, две окружности, симметричные относительно оси y.

- Следующее уравнение:

2. (x - x0)2 + (|y| – y0)2 = R2. Можете ли вы ответить на вопрос, что будет графиком этого уравнения, сразу? Запишите координаты центров окружностей, вывод.

A(x0; y0).  C(x0; - y0). Две окружности, симметричные относительно оси x.

 - Следующее уравнение:

3. (|x| - x0)2 + (|y| – y0)2 = R2.

Окружности, симметричные относительно осей x, y, с центрами A(x0; y0);  B(- x0; y0);

C(x0; - y0); D(- x0; - y0).

V.

А теперь попробуем применить все, что мы повторили и вывели сегодня на занятии, при решении некоторых задач с параметрами. Это №18 на ЕГЭ 2017.

(на интерактивном столе – текст задач)

1. Найдите значения параметра a, при которых система уравнений      имеет ровно два различных решения.

- Что можно сказать об уравнениях этой системы?

- А теперь построим графики уравнений. Изобразите систему координат, не забудьте обозначения осей, точка 0, единичный отрезок. Построим окружность.        

(учитель строит в геогебре)

- Посмотрите на график (2) уравнения.                            (учитель двигает его по оси y)    

В каком случае у системы будет ровно два решения?       (если у графиков две точки пересечения)     Считаем количество точек пересечения. Изобразим крайние положения графика.

- Для каких графиков найти значения a не составит труда?

a = 1, a = -1. Значит, a Є (-1; 1).

- Для третьего графика:

- Ответ. a Є (-1; 1) U {- }.

2. Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система   имеет единственное решение.

- Следующая задача.        

(ученик описывает графики уравнений на доске, строит в геогебре. Двигает вторую окружность, выясняя, какие случаи нам подходят. Фиксирует эти два варианта.)

- Что такое a в нашей задаче?            

- Значит надо найти этот радиус. Как?

- Ответ. 3;   2 +.

- Следующая задача.

3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система     имеет решения.

 - Что делаем в (1) неравенстве?        

- Строим в геогебре.      

(Строим прямые y=2-x; y=1  и x=1. Последние два - пунктиром. Штрихуем маркером нужные области. Прямая y=x. Двигаем по ней окружность, рассматриваем варианты. Фиксируем две окружности)

- Ответ. a Є (-1; 3).

- Подведем итог урока. Закончите фразы.  (презентация, последний слайд)  

  - Все растолковывать до конца, значит лишить человека большой радости самому «вырастить цветы из горсти семян», поэтому попробуем проявить себя как люди творчески мыслящие. Домашнее задание. Решите графически такую задачу, где тоже дано уравнение окружности. Но где оно?!

  - Спасибо за занятие!