Презентация. Элементы математической логики
презентация к уроку по математике на тему

Слайд 1

Элементы математической логики Преподаватель: Кочеткова Ирина Александровна

Слайд 2

Термин " логика " происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".

Слайд 3

Основатели математической логики: – греческий философ Аристотеля ( 384–322 гг. до н.э.); – немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716); – швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783); – чешский математик Бернард Больцано (1781–1848); – английский учёный Джордж Буль (1815–1864); – немецкий математик Эрнест Шредер (1841–1902); – американский математик и инженер Клод Шеннон (1916–2001) и др.

Слайд 4

Математическая логика – это наука о средствах и методах математических доказательств.

Слайд 5

Алгебра логики применима к любым переменным, которые могут принимать только два значения (0 или 1). Например, к состоянию контактов: включено-выключено или напряжению (или току): есть-нет, которыми представляется информация в ЭВМ.

Слайд 6

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики.

Слайд 7

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ ОБЪЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Коммутативность: А  B = B  А , А  B = B  А. Ассоциативность: (А  B )  С = А  ( B  С) , (А  B )  С = А  ( B  С). Дистрибутивность: (А  B )  С = (А  С)  ( B  С ) , (А  B )  С = (А  С)  ( B  С ).

Слайд 8

Высказывание – это утверждение о чем-либо, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Слайд 9

Примеры высказываний: 1. Новгород стоит на Волхове. 2. Париж – столица Англии. 3. Карась не рыба. 4. Число 6 делится на 2 и на 3. 5. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Слайд 10

Истинные и ложные высказывания "Все учащиеся русской школы программистов умеют говорить по-русски". 2. "Основные предметы, преподаваемые в школе программистов – это, конечно, живопись и чистописание".

Слайд 11

Повелительные, вопросительные, восклицательные и бессмысленные предложения не являются высказываниями «Уходя, гасите свет!» «Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое!» «Который час?» - «Привет нашим спортсменам!»

Слайд 12

Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым . Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний, связанных – союзами И, ИЛИ и частицей НЕ.

Слайд 13

Логическая функция – это функция, устанавливающая соответствие между одним или несколькими высказываниями, которые называются аргументами функции, и высказыванием, которое называется значением функции.

Слайд 14

Булевой функцией y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) от п переменных x 1 ,x 2 ,...,x n называется любая функция, в которой аргументы и функция могут принимать значение либо 0 либо 1, т.е. булева функция это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц x 1 ,x 2 ,...,x n ставится в соответствие значение 0 или 1.

Слайд 15

Отрицание (инверсия) . Говорят, что имея суждение А , можно образовать новое суждение, которое читается как « не А » или « неверно, что А ». Запись ¬А , А 1 0 0 1 Пример. Высказывание А : Сегодня по расписанию будут занятия по математике. Высказывание : Сегодня по расписанию не будет занятий по математике или неверно, что сегодня по расписанию будут занятия по математике. Высказывание : Неверно, что сегодня по расписанию не будет занятий по математике.

Слайд 16

Конъюнкция – это логическое произведение. Обозначение: А & В ( АВ, А /\ В ) . Читается так “А и В“. А В А /\ В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Пример. Высказывание А: 8 делится на 2. Высказывание В: 8 делится на 4. Высказывание А /\ В: 8 делится на 2 и 8 делится на 4.

Слайд 17

Дизъюнкция – это логическое сложение. Обозначение: А \/ В, ( А + В ). Читается так: “ А или В ”. А В А \/ В 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Пример. Высказывание А: Москва – столица России. Высказывание В: Киев – столица России. Высказывание А \/ В: Москва – столица России или Киев – столица России.

Слайд 18

Неравнозначность (исключающее, разделительное «или») Обозначается А В и читается «либо А, либо В», «или А, или В». А В А В 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Пример. Высказывание А: юноша – школьник. Высказывание В: юноша – студент. Высказывание А В: юноша или школьник, или студент.

Слайд 19

Импликация – это логическое следование . Импликация двух высказываний А и В соответствует союзу «ЕСЛИ…ТО», т.е. «если А, то В». Читается как «из А следует В». Обозначение . А В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Пример. Высказывание А: Москва – столица России. Высказывание В: Москва – столица США. Высказывание А В ложно, т.к. высказывание А истинно, а высказывание В ложно.

Слайд 20

Эквивалентность (двойная импликация) – это функция тождества. Обозначается символом А В (А ~ В, А В) и читается «А тогда и только тогда, когда В» или «А эквивалентно В» или «для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В». А В А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Пример. Высказывание А: четырехугольник – параллелограмм. Высказывание В: в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Высказывание А эквивалентно высказыванию В (А В) и читается так: Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы в четырехугольнике противолежащие стороны были попарно параллельны.

Слайд 21

Даны простые высказывания: А: Максимов – хороший программист; В: Он побеждает на олимпиадах. Составить сложные высказывания с помощью: – конъюнкции; – нестрогой дизъюнкции ; – строгой дизъюнкции; – импликации; – эквивалентности.

Слайд 22

С помощью алгебры логики над высказываниями можно выполнять следующие операции: из заданной совокупности элементарных высказываний строить различные сложные высказывания; 2) сложные высказывания представлять в виде цепочки элементарных высказываний; 3) упрощать ложные высказывания с помощью равносильных формул; 4) проверять (доказывать) истинность или ложность цепочек сложных высказываний.

Слайд 23

Порядок выполнения операций указывается скобками, которые можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции; дизъюнкция – раньше, чем импликация и эквивалентность ; если над формулой стоит знак отрицания , то скобки тоже опускаются.

Слайд 24

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Слайд 25

Пример. Записать логической цепочкой следующее сложное высказывание: «Если спортсмен интенсивно тренируется и при этом принимает запрещенные стимуляторы, то он достигает высоких спортивных результатов либо попадается на допинге». Решение. Данное сложное высказывание состоит из следующих простых: А – спортсмен интенсивно тренируется; В – спортсмен принимает запрещенные стимуляторы; С – спортсмен достигает высоких спортивных результатов; D – спортсмен попадается на допинге. (А /\ В) (С D ).

Слайд 26

Переведем на язык алгебры логики следующее высказывание: 1. «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем время». Введем следующие простые высказывания: М – «я поеду в Москву»; В – «встречу там друзей»; И – интересно проведем время». 2. «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем время».

Слайд 27

3. «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурная погода, то ребята пойдут в кино». Введем следующие простые высказывания: С – «солнечная погода»; Р – «ребята пойдут в лес»; К – «ребята пойдут в кино».

Слайд 28

Если у меня будет свободное время и я сдам экзамены по педагогике и психологии, то я поеду отдыхать в Крым или на Кавказ .

Слайд 30

Если ребенок вырастил розу для того, чтобы любоваться ее красотой, если единственным вознаграждением за труд стало наслаждение красотой и творение этой красоты для счастья и радости другого человека, – он не способен на зло, подлость, цинизм, бессердечность» (В. А. Сухомлинский).

Слайд 31

Если ребенок вырастил розу для того, чтобы любоваться ее красотой, если единственным вознаграждением за труд стало наслаждение красотой и творение этой красоты для счастья и радости другого человека, – он не способен на зло, подлость, цинизм, бессердечность» (В. А. Сухомлинский).

Слайд 32

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!