Элементы математической логики. Логические операции. Конструирование логических выражений с использованием отношений и логических операций
методическая разработка по информатике и икт (9 класс) на тему

Муниципальное образовательное учреждение

 средняя общеобразовательная школа №101

г. Волгоград Дзержинский район

Методическая разработка уроков по теме:

«Элементы математической логики. Логические операции.

Конструирование логических выражений с использованием отношений и логических операций»

Волгоград, 2011

Пояснительная записка

 к серии уроков по теме: «Элементы математической логики. Логические операции.

Конструирование логических выражений с использованием отношений и логических операций»

        При обучении в школе важное значение имеет предмет "Информатика и ИКТ».  Один из разделов теоретического курса – логика – рассматривает законы и правила логического мышления, которые являются отображением наиболее общих форм информационных процессов объективной реальности. Учащийся, овладевший знанием и навыками логического мышления, способны быстро находить решение, умеют абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли. Логическое мышление не является врожденным, поэтому его можно и нужно развивать, сочетая изучение теоретического материала с решением задач, соблюдая последовательность и систематичность. В данной разработке рассматривается возможность применения табличного процессора Excel и среды программирования Pascal при изучении логики, начиная от создания формул, реализующих логические операции, до создания средств автоматизации процесса для решения задач исчисления высказываний.

Одной из составляющих современных информационных офисных технологий являются программа Excel. Ее назначение состоит в выполнении многочисленных операций над данными, представленными в табличной форме. Новизна моих разработок по данной теме состоит в том, что в школьной программе по данной теме много теории и мало практики, я рассмотрела эту  тему с точки зрения практического применения. Часто на уроках меня спрашивали дети,  где можно применить дизъюнкцию и импликацию? Проводя уроки по моей методике,  теория усваивается легко и быстро, благодаря разработке технологии выполнения задач на построение таблиц истинности в процессоре Excel. А решение математических  задач показывает применение теории логики на практике. Дети находят практическое применение дизъюнкции и импликации.

Мной разработано 6 уроков, как раз столько отводится на изучение логики в 11 классе базового курса. При изучении теории логики происходит систематизация ранее полученных знаний по программированию и технике работы в программе Excel. Для многих детей становится открытием доказательство многих математических задач. Надеюсь, данная разработка будет оценена и найдет свое применение среди моих коллег.

Урок №1.

Алгебра логики. Понятие высказывания.

Цель урока: Введение в предмет «алгебра логики», систематизация знаний, полученных в курсе математики.

Тип урока: лекция, диалог (обсуждение).

Ход урока 

1. Основоположник формальной логики – Аристотель. Джорж Буль – основоположник алгебры логики.
2. Понятие “алгебры логики” как науки об общих операциях над математическими объектами – логическими высказываниями.
3. Применение алгебры логики.
4. Высказывание – один из видов носителей информации. Истинные и ложные высказывания. Простые и сложные высказывания.

Логика как наука сформировалась в IV веке до нашей эры. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель и его ученики и последователи. Аристотель впервые ввел понятие силлогизма  - рассуждения, в котором из двух выражений вида:

1. «все a суть b»,
2.  «некоторые а суть b»,
3.  «все a не суть b»,
4.  «не все a суть b»

выводится третье.

        Существуют правильные и неправильные силлогизмы. 

Примеры правильных силлогизмов:  «Все ноутбуки  - компьютеры. Все компьютеры имеют процессор. Следовательно,  ноутбуки имеют процессор».

Примеры неправильных силлогизмов:  «Все компьютеры являются электрическими приборами. Некоторые электрические приборы – чайники. Значит, некоторые компьютеры являются чайниками.»

Задание 1.

Определите значение истинности для следующих высказываний:

1. «Лед  - твердое состояние воды».
2. «Треугольник – это геометрическая фигура»
3. «Париж – столица Китая»

Интересный факт. Доказано, что общее число силлогизмов, которое можно составить из суждений вида (1-4), равно 256, из них правильных всего 24. В XVII веке великий математик Эйлер предложил очень простой метод проверки правильности силлогизмов – геометрической иллюстрацией логических рассуждений, названной диаграммой Эйлера-Венна, в которой каждое суждение можно изобразить в виде геометрической фигуры.

Задание 2:

Составьте таблицу правильных и неправильных силлогизмов, выбрав из списка, по образцу. (Приложение 1)

Список высказываний :

1. Число 6 – четное.
2. Все роботы являются машинами.
3. У каждой лошади есть хвост.
4. Есть кошки, которые дружат с собаками.
5. Не все золото, что блестит.
6. Некоторые люди являются художниками.
7. Всякий  моряк умеет плавать.
8. Не все книги содержат полезную информацию
9. Кошка является домашним животным.
10. Некоторые ученики двоечники.
11. Любой неразумный человек ходит на руках.
12. Все металлы проводят тепло.

        Логика Аристотеля, другими совами логика  силлогизмов называется классической логикой, на протяжении многих веков не находила своё применение и не развивалась. Лишь  в XVII веке Лейбниц создал новую логику, в которой каждому понятию соответствует символ.

1. Высказывания:

Основным понятием математической логики является высказывание – любое повествовательное предложение, про которое известно, что оно является истинным или ложным. Высказывания могут быть описаны виде слов или символов.

Примеры истинных и ложных высказываний:

1. « сумма чисел 2 и 5 равна 7» (истинно);
2. « 2 + 5 = 7» - предыдущее высказывание, записанное с помощью математических символов,
3. «для всех значений х верно неравенство х 2+1 <0» (ложно);
4. «завтра будет солнечный день» (может быть истинно или ложно). 

На заметку

Восклицательное или вопросительное предложение не является высказыванием, как и   определения, которые дают только название некоторому объекту, но не могут быть истинными или ложными. Кроме высказываний существуют еще  высказывательные формы – предложения, содержащие переменную, типа х 2 - 1>0 , при некоторых значениях переменной эта форма становится истинным высказыванием, а при других значениях  - ложным.

Задание 3.

1. Все роботы являются машинами.
2. Посмотрите на доску.
3. У каждой лошади есть хвост.
4. Внимание!
5. Кто отсутствует?
6. Все рыбы умеют плавать.
7. Человек все может.
8. Выразите 1 час 15 минут в минутах.

2. Простые и сложные высказывания.

Из двух повествовательных предложений можно получить новое высказывание с помощью логических связок – союзов «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда, когда» и частицы «не». Такие предложения будем называть составными. Предложения, не являющиеся составными, называются элементарными.

        Примеры простых и составных высказываний :

1. «Число делится на 3»  - простое высказывание. «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3» - составное высказывание.
2. «Число делится на 3» - простое высказывание.  «Число делится на 5 и на 2» - составное высказывание, состоит из двух простых соединенных союзом «и».

Задание 4:

Из двух простых высказываний постройте составное высказывание, используя логические связки «и», «или».

Например:

Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу.

Получим: Все ученики изучают математику и литературу.

1. Даша старше Светы. Маша старше Светы.
2. Черный шарик меньше белого. Черный шарик меньше красного.
3. Одна группа в классе изучает английский язык. Вторая группа изучает немецкий язык.
4. Часть пассажиров пьют чай. Остальные пьют кофе.
5. х>0, х=2

3. Логические операции над высказываниями.

В алгебре высказываний, аналогично тому, как в алгебре чисел используются операции сложения, вычитания, умножения и деления вводятся специальные операции, которые имеют названия логического сложения (дизъюнкция), логического умножения (конъюнкция), отрицания, импликации и эквивалентности.

На этом уроке боле подробно мы разберем операции

1. Конъюнкция и дизъюнкция.

Пусть А и В  - произвольные высказывания. Введем символ & для обозначения логической связки «и». Сложное высказывание « А и В» считается истинным только в том случае, если оба исходных данных истинны. Если же хотя бы одно из исходных  высказываний ложно, то сложное высказывание « А и В» считается ложным.

Определение: Сложное высказывание « А и В» истинно, если оба высказывания А и В истинны, и  ложно, если  хотя бы одно из  высказываний ложно, называется конъюнкцией. И обозначается А&B.

Запишем определение в специальной форме, которая называется таблицей истинности. В ней для каждого значения истинности «И» (истина) или «Л» (ложно).

        Таблица истинности для высказываний А & В выглядит следующим образом.

Введем символ v для обозначения логической связки «или». Сложное высказывание «А vВ» условимся считать ложным в том случае и только в том случае, когда обо высказывания ложны.

Определение: Сложное высказывание « А или  В» истинно, если истинно хотя бы одно из  высказываний А и В, и  ложно, в одном случае если  оба   высказывания ложны, называется дизъюнкцией. И обозначается АvB.

 Таблица истинности для высказываний А v В выглядит следующим образом.

Примеры решения задач.

 Определить истинно или ложно составное высказывание:

1. «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представим данное высказывание в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание «число 6  делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: А&В. Очевидно, ее значение  - ИСТИНА, так как обо исходных данных истины.
2. «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Обозначим через А простое высказывание «летом я поеду в деревню», а через В простое высказывание «Летом я поеду в туристическую поездку». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: АvВ. Очевидно, ее значение  - ИСТИНА, так как одно из высказываний истинно.

Задание 5

Определить значение истинности следующих высказываний:

1. Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом.
2. Суффикс есть часть слова, и он стоит после корня.
3. Родственные слова имеют общую часть, и они сходны по смыслу.
4. Буква «а» - первая буква в слове «аист» или «сова».
5. Данное число четно или число, большее его на единицу, четно.
6. Две прямые на плоскости параллельны или они пересекаются.
7. Луна планета или 2+2=5.

Задание 6.

Определите значение логических переменных a,b,c,d, если :

1. a и (Марс – планета) – истинное высказывание;
2. b и (Марс – планета) – ложное высказывание;
3. c или (Солнце – спутник Земли) - истинное высказывание;
4. d или (Солнце – планета) – ложное высказывание.

Задание на дом:

№17 задачник -практикум

(карточки с заданиями)

1. Определите значения логических переменных a,b,c,d, если:

1. a  или ( 1 литр молока дороже сливочного масла)  - истинно;
2. b и  ( 1 литр молока дороже сливочного масла)  - ложно;
3. c или (масло дороже творога) – истинно;
4. d и (масло дороже творога) – ложно.

№18

Пусть а = «эта звездная ночь», а в = «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1. a и  b
2. a или b

        Что нужно изменить в условии, чтобы высказывания изменили истинность  ложностью***

    Творческое задание: Подготовить доклад «Ученые, заложившие основные логические принципы проектирования современного компьютера» (в форме презентации). 

*** Дополнительные задания

Урок №2

Логические операции: отрицание, импликация, эквивалентность. Составление таблиц истинности.

Цель урока: определение основных логических операций, систематизация знаний, полученных в базовом курсе информатики.

Тип урока: диалог, обсуждение.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания.

Вопросы:

 - Что такое силлогизмы?

 - Какие ученые внесли большой вклад в развитие математической логики?

 - Какие суждения графически изображены в диаграмме Эйлера-Венна?

 - Приведите примеры составных высказываний, используя логические связки «и», «или».

 - Дайте определение понятий «конъюнкция», «дизъюнкция».

 - Доклад «Ученые, заложившие основные логические принципы проектирования современного компьютера» Приложение 1. 

Письменные задания №17, №18 задачник – практикум

№17 Ответ:

2. Определите значения логических переменных a,b,c,d, если:

1) a  или ( 1 литр молока дороже сливочного масла)  - истинно; а  - истинно, т.к. простое высказывание «1 литр молока дороже сливочного масла» - ложное, то для истинности высказывания с операцией & необходимо, чтобы хотя бы одно высказывание было истинно.

2) b и  ( 1 литр молока дороже сливочного масла)  - ложно; а – может быть и истинным и ложным, на результат высказывания с операцией дизъюнкция (v) это не влияет, т.к. истинно только в одном случае, когда оба простых высказывания истинны.

3. c или (масло дороже творога) – истинно; с – может быть как истинным так и ложным, так как простое высказывание «масло дороже творога»  - истинно, а это достаточно, чтобы в целом высказывание с операцией дизъюнкция было истинным.
4. d и (масло дороже творога) – ложно. d – ложно, так как простое высказывание «масло дороже творога» - истинно, а в целом составное высказывание с операцией конъюнкцией ложно.

№18

Пусть а = «эта звездная ночь», а в = «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1. a и  b «Эта ночь звездная и холодная»
2. a или b «Эта ночь звездная или холодная»

        Что нужно изменить в условии, чтобы высказывания изменили истинность  ложностью.

         Нужно добавить отрицание к истинным высказываниям. «Эта ночь не звездная и холодная»; «Эта ночь не звездная или нехолодная»

        2.Объяснение нового материала.

        Самое время выяснить про это отрицание. Логическая операция, соответствующая логической связке «не», называется отрицанием.

Определение:

Высказывание «не А», истинно лишь в том случае, когда высказывание А ложно, и ложно лишь в том случае, когда А истинно, называется отрицанием А и обозначается ¬А.

Таблица истинности для высказывания ¬А выглядит следующим образом.

Пример №1

Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических выражений:

1. не ((0
2. (0

Логические рассуждения чаще всего имеют форму цепочки высказываний. Эти высказывания имеют условный характер, то есть утверждают, что некоторые высказывания истинно при условии, что истинно другое высказывание.

Например:

«Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны». В общем виде такого рода высказывания записываются следующим образом «если А, то В» и называются импликацией. Высказывание А в этом случае называют условием, а высказывание В – заключением.

Определение. 

Импликацией высказываний А и В называют высказывание А→В (читается «если А, то В»), ложно лишь только в том случае, когда А истинно, В – ложно.

Таблица истинности для высказывания А→В выглядит следующим образом:

Определение.

Эквиваленцией высказываний А и В называют высказывание А↔В (читается «А тогда и только тогда когда В»), истинно в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны или оба ложны.

Таблица истинности для высказывания А↔В выглядит следующим образом:

Алгоритм формализации высказываний:

1. Если высказывание  - простое, то эму ставится в соответствие элементарная формула.
2. Если высказывание -  составное, то для составления формулы требуется:

1. Выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное высказывание;
2. Заменить их соответствующими символами;
3. Расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример №1:

Формализовать  данное высказывание:

1. «Неверно, что число 500 делится на 3 или на 13»;
2. « |a|≤2 тогда и только тогда, когда -2≤а≤2».

Решение:

1. Обозначим простые высказывания: Х -  «число 500 делится на 3», Y – «число 500 делится на 13». Тогда данное составное высказывание имеет вид ¬ (X v Y),
2. Обозначим простые высказывания: Х -  «|a|≤2», Y – «-2≤а», Z – «а≤2». Тогда данное высказывание имеет вид X ↔(Y&Z).

Пример №2

Используя связку «если…, то…», измените высказывания.

Например: «Человек, любящий животных, - добрый. → Если человек любит животных, то он добрый».

1. Кончил дело – гуляй смело.
2. Знакомая дорога – самая короткая.
3. Тише едешь – дальше будешь.
4. Переходи улицу только на зеленый свет.

     Пример №3

    Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:

1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
2. Если число делится на 4, оно делится на 2.
3. Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на три.

  3.Составление таблиц истинности для формулы логики высказываний.

    Пусть F – некоторая формула логики высказываний. Если каждой переменной, входящей в эту  формулу, присвоить одно из значений истинности, то пользуясь таблицами истинности логических операций, можно найти значение истинности и формулы F при заданном наборе значений ее переменных.

Например:

Найдем значение истинности формул, известного примера «Неверно, что число 500 делится на 3 или на 13»; формула,  к примеру уже составлена ¬ (X v Y).

3. Составим таблицу истинности для примера « |a|≤2 тогда и только тогда, когда                    -2≤а≤2». Формула X ↔(Y&Z).

   Задание на дом :

Упр.1 переведите на язык логических выражений следующие высказывания и составить   таблицы истинности:

1. «Я поеду в Москву и если встречу там друзей, то мы весело проведем время».
2. «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то ребята пойдут в кино».
3. «Если урок информатики будет интересным , то никто из школьников  - Маша, Ирина, Ольга   - не будут смотреть в окно».

Упр.2 Определите кто из подозреваемых участвовал в преступлении, если известно:

1. если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал;
2. если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.

Итоги урока:  

1. Что значит формализовать высказывание?

2. Сколько будет строк в таблице истинности, если в высказывание 2 переменных? 3 переменных?

3. Дать определение импликации.

4. что такое эквивалентность?

Урок № 3

 Построение таблицы истинности в Excel.

Цель урока: используя встроенные логические функции Excel, научить строить таблицу истинности в электронной таблице.

Тип  урока: практическая работа.

Ход урока

1. Префиксная форма записи логических функций Excel.
2. Алгоритм построения таблицы истинности логической формулы

Рассмотрим технология решения задачи на экране (демонстрация таблицы и технология построения при помощи Excel через проектор).

Технология работы:

1. Заполним строку заголовок, используя вставку символов : ¬, &.
2. Заполним поля х и у. Стандартно, как в обычных таблицах истинности.
3. В поле ¬ x введем логическую формулу, используя Мастер функций→Мастер функций шаг 1 из 2 (см. рис) →логическая функция НЕ (в Excel обозначает операцию «отрицание»)→указываем адреса ячеек в которых хранятся значения х →ОК. В итоге получаем формулу =НЕ(A2). Копируем на 4 позиции вниз с помощью Автозаполнения.
4. По аналогии с 3 п. заполняем поле ¬ y.
5. В поле ¬ x *¬ y, таким же способом вставляем формулу, предварительно  стоит оговорить, что логическое умножение (операция «дизъюнкция» в Excel логическая операция И) Получим формулу =И(C2;D2). Копируем на 4 позиции вниз с помощью Автозаполнения.
6. В поле x+y, таким же способом вставляем формулу, предварительно  стоит оговорить, что логическое сложение (операция «конъюнкция» в Excel логическая операция ИЛИ) Получим формулу =ИЛИ(A2;B2). Копируем на 4 позиции вниз с помощью Автозаполнения.

В результате получим таблицу:

Очень легко составить таблицу истинности для дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Все эти значения прописаны в Мастере функций в категории Логические. А как же быть с импликацией  и эквиваленцией?

        Напомню, что таблица  истинности для высказывания А→В (импликация)  выглядит следующим образом:

Таблица истинности для высказывания А↔В (эквиваленция) выглядит следующим образом:

Эти логические операции не существуют в Excel. На помощь придет логическая функция «ЕСЛИ» которая позволяет реализовать ветвящуюся алгоритмическую структуру.

Функции и выражения могут быть вложены друг в друга, в частности, функция "ЕСЛИ" в качестве значений аргументов "Значение_если_истина" и "Значение_если_ложь" допускает вложенность до 7 уровней, что позволяет конструировать проверку достаточно сложных условий.Тогда для импликации нужно будет задать значение
Для работы со сложными формулами в Excel реализован Мастер функций, хотя формулу можно вводить и непосредственно с клавиатуры. При конструировании формулы с помощью Мастера функций в диалоговом окне отображается имя функции, все ее аргументы, описание функции и каждого аргумента, текущий результат функции и всей формулы.

При изучении раздела логики учащиеся знакомятся с понятием формальных систем, логическими операциями, изучают такую формальную систему, как исчисление высказываний. Для закрепления знаний учащиеся  могут использовать встроенные логические функции Excel для реализации необходимых логических операций, а затем с их помощью решать различные задачи.

Реализация логических операций

Первым, самым простым, шагом применения Excel может стать реализация таблицы логических операций :

Для реализации булевой алгебры достаточно использовать соответствующие логические функции, для реализации остальных функцию "ЕСЛИ".
Например, для реализации операции импликации А=>В, следует создать следующую формулу

Если формулу вводить непосредственно с клавиатуры, то в ячейку H4 следует ввести такую формулу:

=ЕСЛИ(И(B4=ИСТИНА;C4=ЛОЖЬ);ЛОЖЬ;ИСТИНА)

При создании формул следует стремиться к тому, чтобы создать оптимальную формулу, т.е. наиболее короткую. Поскольку в ячейках с данными высказываний А и В находятся логические значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, то формулу можно упростить, помня о том, что аргументами логических функций являются именно логические значения: =ЕСЛИ(И(B4;НЕ(C4));ЛОЖЬ;ИСТИНА) или =ЕСЛИ(И(E8="ИСТИНА";F8="ЛОЖЬ");ЛОЖЬ;ИСТИНА) Тогда для импликации нужно будет задать значение =ЕСЛИ(И(E8="ИСТИНА";F8="ЛОЖЬ";E8="ЛОЖЬ";F8="ИСТИНА");ЛОЖЬ;ИСТИНА)

Самостоятельно (работа в группах по карточкам), с помощью  Excel,  определить истинность высказываний:

2. (A & B) => (C & D). (I группа)
3. (A & B) & (C & D)
4. (Av B) & ¬A . (II группа)          
5. (A & B) => (В & С)    

ОТВЕТЫ (Приложение №2)    Задание на дом 1 Придумать логические высказывания формализовать в таблицы истинности, оформить таблицу в процессоре Excel.

Урок №4

Применение элементов математической логики в решении математических задач при помощи программы MS Excel  (методы и приемы решения задач)

Цель урока: выработка умений построения таблиц истинности для сложных логических формул, показать технологию, методы и приемы  решения математических задач с помощью программы  Excel.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

           1. Повторение изученного материала:

1. Логическая переменная и логическая формула.
2. Какие логические формулы в Excel соответствуют логическим операциям отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
3. Как организовать операции импликацию и эквиваленцию в Excel.

2. В тетради выполнить задания на повторение.

           Пример №4

           Определите истинность формулы ((av ¬b) →b)&( ¬a vb) (I вариант)

           Пример №5

            Определите истинность формулы ((av ¬b) →b)&( ¬a vb) (II вариант)

Дополнительные задания к упражнениям:

1. подсчитать количество переменных в формуле.
2. определить число строк в таблице 2n, где n – число переменных.
3. подсчитать количество логических операций в формуле.
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5. определить количество столбцов в таблице: число переменных + число операций.
6. выписать наборы значений переменных в виде нулей и единиц.

3. Объяснение практического задания:

 Решить задачу: В среде электронной таблицы Excel организуйте проверку существования треугольника (по длинам трех отрезков); если треугольник существует, то определите, будет ли он прямоугольным.

Анализ задачи:

1. Треугольник существует, если выполняется условие «Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны», т.е. a+b>c, b+c>a, a+c>b.
2. Треугольник прямоугольный, если  с² = a²+b², b² = a²+c², a² = c²+b², так как даются длины трех отрезков, то придется проверять все варианты, так как заранее не известно, какая сторона гипотенуза.

Формализация в Excel

1. Для существования треугольника достаточно, чтобы выполнялись все три условия a+b>c, b+c>a, a+c>b (логическое «И» – операция дизъюнкция).
2. Для доказательства «прямоугольности» должно выполнять хотя бы одно из условий: с² = a²+b², b² = a²+c ², a² = c²+b² (логическое «ИЛИ» - операция конъюнкция).
3. Посчитаем число полей: для проверки существования треугольника: a, b, c  - 3 переменные; a+b; b+c; a+c – операция сложения – 3;  И(a+b>c, b+c>a, a+c>b) – 1 проверка выполнения всех условий; поле с выводом ответа «Существует» или «Не существует»;

для проверки «прямоугольности»: с², a², b² - 3; a²+b², a²+c², c²+b² - 3; ИЛИ(с² = a²+b², b² = a²+c², a² = c²+b²) – 1; поле с выводом ответа «Прямоугольный» или «Непрямоугольный» - 1. Всего 16 полей! Не отчаивайтесь! У нас все получиться.

 Этапы работы:

1. Заполнение полей с вводом формул:

У вас должно получиться

2. Докажем «прямоугольность».

Результат

Приложение 3.

Задание на дом:

Решить задачу: В среде электронной таблицы Excel организуйте проверку возможности вписать четырехугольник в окружность с заданным радиусом (по сторонам четырехугольника); если это возможно, то определите, будет ли он ромбом.

Урок № 5

 Формализация логических выражений в среде программирования Pascal

Цель урока: Научиться формализовать логические выражения в среде программирования Pascal .

Тип урока: практическая работа по индивидуальным карточкам в среде программирования Pascal.

Ход урока:

1. Знакомство с логическим типом данных.

2. Технология выполнения программ.

3. Выполнение практической работы в среде языка программирования.

1. Знакомство с логическим типом данных. В языке Паскаль определен логический тип данных  - Boolean и введены логические операции, с помощью которых можно создавать сложные логические выражения. В Паскале  описываются логические переменные и задаются логические выражения.

Описание логических переменных. Логические переменные как и все остальные, даются в разделе описание программы, процедуры или функции после служебного слова var. Например:

Var flag, a, b, c : Boolean;

Значение логических переменных.

Логические переменные могут принимать одно из двух значений: TRUE – «истина» или FALSE – «ложь». Эти значения могут присваиваться переменным непосредственно, например:

Flag:= FALSE; или могут быть получены в результате выполнения логических операций, например: Flag:= a or b; или проверки отношений, например:

Flag:=10< 5 ;(значение «ложь» - FALSE).

Для логических данных определены значения , которые выводятся на экран или текстовый файл. Для значения «истина» выводится текстовая строка ‘TRUE’, а для «ложь» - ‘FALSE’. Например, если вывести на экран значение

Writeln (Flag);

то на кране появится сообщение: FALSE. В Паскале можно конструировать довольно сложные логические выражения с использованием логических операций. Для определения порядка выполнения логических операций в выражении используются круглые скобки, например: Flag:=( a or b) and not (10<7).  Если в сложном логическом выражении присутствуют операции отношения и логические операции, то следует обязательно брать в круглые скобки операции отношения. Например: (f<10) or (2*f >15).

Рассмотрим пример задачи (демонстрация на экране через проектор). Составить таблицу истинности логического выражения: (Av B) & ¬A. То же самое задание, что решала II группа в Excel.

2). Технология выполнения программ.

program logik1;

var a,b,c: boolean;

begin

for a:=false to true do

for b:=false to true do

    begin

    c:=(a or b) and not a;

    writeln (a, ' ',b,' ',c);

    end;

end.

       Какой ответ  появится на экране, в представленной задаче?  Определите логическое выражение в следующей задаче, написанной в Pascal?

Program zadacha;

Var x,y:Boolean;

Begin

For x:=false to true do

For y:= false to true do

Writeln(x,’ ‘,y,’ ‘,not(x or y));

End.

Ответ: ¬(x v y)

       3)Работа по карточкам:

Карточка №11.Запишите на языке паскаль следующие логическое выражение, приведенные ниже в математической нотации (записи), и вручную составьте для них таблицы истинности:                (A v ¬C) &(A≠B) 

2. Перенесите программу решения задачи 1 в Рascal и выполните ее. Опишите в программе дополнительные целочисленные переменные a1, b1, c1. Используя в цикле условный оператор, присваивайте этим переменным значения 0 и 1 в соответствии со значениями переменных a, b, c  «false» или «true». В процедуре вывода замените имена переменных a, b, c соответственно на a1, b1, c1. Выполните программу и получите таблицу истинности логического выражения, заполненную цифрами 0 и 1.

Карточка №2 1.Запишите на языке паскаль следующие логическое выражение, приведенные ниже в математической нотации (записи), и вручную составьте для них таблицы истинности:                ¬C v A & (С=B) 

2. Перенесите программу решения задачи 1 в Рascal и выполните ее. Опишите в программе дополнительные целочисленные переменные a1, b1, c1. Используя в цикле условный оператор, присваивайте этим переменным значения 0 и 1 в соответствии со значениями переменных a, b, c  «false» или «true». В процедуре вывода замените имена переменных a, b, c соответственно на a1, b1, c1. Выполните программу и получите таблицу истинности логического выражения, заполненную цифрами 0 и 1.

Карточка №3 1.Запишите на языке паскаль следующие логическое выражение, приведенные ниже в математической нотации (записи), и вручную составьте для них таблицы истинности:        A = B&¬(AvC)

2. Перенесите программу решения задачи 1 в Рascal и выполните ее. Опишите в программе дополнительные целочисленные переменные a1, b1, c1. Используя в цикле условный оператор, присваивайте этим переменным значения 0 и 1 в соответствии со значениями переменных a, b, c  «false» или «true». В процедуре вывода замените имена переменных a, b, c соответственно на a1, b1, c1. Выполните программу и получите таблицу истинности логического выражения, заполненную цифрами 0 и 1.

Домашнее задание: Напишите программы,  выводящие на экран таблицы истинности выражений:

1. (АВВ)(АА)
2. (АА)(ВСС)

Урок № 6

Контрольная работа по теме: «Алгебра логики»

Цель урока:  контроль ЗУН по теме “Алгебра логики”.

Тип  урока: контрольная работа.

Ход урока:

Выполнение контрольной работы по вариантам ( За контрольную работу ставиться 2 оценки: за выполнение теоретической части (1-4 вопросы) и за практику (5-6 вопросы). Время выполнения 40 минут. Приложение 4

Вариант 1.

1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:

1. Является ли данное предложение высказыванием;
2. Истинное это или ложное высказывание;
3. Простое это или сложное высказывание;
4. Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики.

1. Каждый четырехугольник имеет 4 угла и 4 стороны.
2. Пейте, дети, молоко!
3. CD-ROM – устройство вывода информации.
4. Все волки – хищники.
5. Х принадлежит промежутку [-10;10].
6. Низко ласточки летают – о дожде предупреждают.
7. Неверно, что Земля вращается вокруг Солнца.

1. Приведите по 2 примера простых истинных и ложных

высказываний из биологии.

2. Вычислите: ((1&0)Ú1)&(1ÚА).

3. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:

F=X & ØY Ú ØX & Y.

4. С помощью таблицы Excel реализуйте,

  составленную таблицу истинности к задаче 4.

5. Напишите программы,  выводящие на экран таблицы истинности выражений в среде программирования Pascal для выражения:

(av ¬b) &( ¬a vb)

Вариант 2.

1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:

5. Является ли данное предложение высказыванием;
6. Истинное это или ложное высказывание;
7. Простое это или сложное высказывание;
8. Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики.

1. В 1/4 килобайта 256 байт;
2. Сканер – устройство ввода информации;
3. Какого цвета ваш автомобиль;
4. Летом дети катаются на лыжах или коньках;
5. Неверно, что 41 – это простое число;
6. Х+2>10;
7. Если идет дождь, то, выходя на улицу, берут зонтик.

1. Приведите по 2 примера простых истинных и ложных высказываний из географии.

2. Вычислите: ((0 & 0)Ú0)&(1ÚA)

3. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции:

F= ØX & ØY Ú X & Y.

4. С помощью таблицы Excel реализуйте,

  составленную таблицу истинности к задаче 4.

5. Напишите программы,  выводящие на экран таблицы истинности выражений в среде программирования Pascal для выражения:

            (¬a& b) v( ¬a & b)

Литература:

1. Йенсен К. Вирт Н. Паскаль руководство пользователя  и описание языка. М.: Мир, 1982

2. Кушнеренко А.Г. , Лебедев Г.В., Скворень Р.А. Основы информатики и вычислительной техники. М.: Просвещение, 1992.

3. Словарь школьной информатики, Сост. А.П. Ершов. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

4. Информатика. Задачник – практикум. Под. Ред. И. Семакина, Е. Хеннера. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

5. Информатика. Практикум по информатике и информационным технологиям. Н. Угринович, Л. Босова, Н. Михайлова. М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2005.

6. Информатика, 9-11 классы: подготовка учащихся к олимпиадам. Задачи, упражнения, методические рекомендации. А.В. Мендель, Е.М. Колеганова.  – Волгоград, Учитель, 2009.