Математика для всех
опыты и эксперименты по математике (10 класс) на тему

Содержание.

1. Введение.
2. Глава 1. Математические константы
3. Глава 2. Константы в архитектуре
4. Глава 3. Константы в живописи
5. Глава 4. Константы в музыке
6. Глава 5. Константы в литературе
7. Глава 6. Константы в природе
8. Глава 7. Константы вокруг нас
9. Заключение
10. Список литературы

Введение.

        Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, такие как 13 и 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков — это математические константы. Математическая константа— величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменой. В отличие от физических констант, математические константы определены независимо от каких бы то ни было физических измерений. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков.

        Не каждому дано увидеть красоту в строгих математических формулах и получать удовольствие от решения сложной задачи. Но надо помнить, что математика   пришла к нам из окружающего мира, который мы пытаемся изучать. Значит, ответы на некоторые математические вопросы мы можем найти вокруг.

        Тема моей учебно-исследовательской работы: «Чем удивляют нас математические константы».  Я выбрала эту тему, потому что мир, который нас окружает, намного интереснее и разнообразнее, чем нам кажется на первый взгляд. И,  к сожалению, многие люди не замечают всей той красоты, которая для них является просто каждодневной реальностью. В своей работе  я попытаюсь показать, что математические константы удивительны тем, что придя к нам из окружающего нас мира, они учат нас познавать этот мир, они удивляют нас тем, что тесно  связывают разные  области науки и искусство.

        Раньше  я не замечала присутствия констант в моей повседневной жизни: на улицах Санкт-Петербурга, где я живу, в литературе, которую я читаю, в музыке, которой я занимаюсь, в природе, за которой я люблю наблюдать,  и даже в квартире, в которой я провожу большую часть свободного от школы времени.

        Еще немало важной причиной выбора темы моей работы  послужила очень скудная информация в учебниках по математике о разнообразии и применении математических констант.

 С подготовкой материала к  учебно-исследовательской работе «Чем удивляют нас математические константы» у меня появилось много новых тем для обсуждения с моими близкими, друзьями. Мы вместе находили  новые идеи. И теперь не только я вижу разнообразие математических констант в нашем окружении, но и мои друзья с удовольствием увлеклись темой моей работы.

Предметом моего исследования являются удивительные числа – математические константы  и их свойства.

Цель: найти и представить   как можно больше фактов о математических константах, которые могут заинтересовать и удивить любого человека, показав их свойства,  закономерности, взаимозависимость  на примерах окружающего нас мира.

        Предлагаемая работа является результатом поиска информации, полученной из литературных источников,  из сети Интернет, из  проведенных исследований.

Основными методами исследования  математических констант являются изучение,  обработка  и систематизация данных, полученных в процессе сбора материала.

Задачи: 

• Проанализировать материал, собранный по теме «Чем удивляют нас математические константы»
• Выделить самый интересный материал, который заставляет  удивляться  свойствам математических констант
• Раскрыть понятия некоторых математических констант,  их практическое применение в математике,  других науках и искусстве
• Провести различные исследования, раскрывающие удивительные  свойства математических констант

        Актуальность.  Люди воспринимают только ту информацию, которая интересна для них, или которая преподнесена для изучения в каком-то интересном, необычном виде. Понятия математических констант в учебниках дано очень сухо, только на уровне определений и дальнейшего применения их в определенных формулах для решения задач. Оказывается, что если оглянуться вокруг и чуть-чуть почитать дополнительную литературу, то «сухие» математические числа могут быть весьма и весьма интересными. В ходе своей работы я столкнулась с тем, что многие мои одноклассники даже не слышали о таких математических константах как «золотое сечение», числа Фибоначчи и число Непера, многие даже не задумывались откуда они взялись, как обозначаются и где применяются. Поэтому в ходе своей работы мне бы хотелось заинтересовать и убедить своих сверстников, что математические константы имеют свою интересную историю и еще более интересное применение.

        В начале работы я составила анкету про математические константы  и провела ее среди учащихся нашей гимназии.

1. Математическая константа — величина, значение которой не меняется. Обведите номера, где,  по вашему мнению, представлены математические константы:

1. π                 2) n                   3) e              4) √2       5) √3       6) φ       7) 0       8) +

1. Укажите соответствие математической  константы и ее названия:

2. Как ВЫ думаете в предложении  «Это я знаю и помню прекрасно» зашифрована последовательность цифр числа:    π ,     φ,     τ,      е.
3. В какой теме на уроках математики мы впервые встречаемся с числом  π ?

1) окружность

2) десятичные дроби

3) действия с натуральными числами

4. Укажите соответствие значений математических констант

Результаты исследования еще более подтвердили актуальность выбранной мною темы.

Занимаясь изучением математических констант, мне стало интересно в каких же сферах деятельности и жизни человека они встречаются и как применяются. В своей работе я попыталась рассмотреть лишь некоторые сферы применения этих чисел, которые мне показались наиболее интересными, я провела небольшие исследования, которые оформила в приложении. Мне бы очень хотелось привлечь внимание своих одноклассников к очень интересным и загадочным числам.

Глава 1. Математические константы

        В начале своего исследования мне бы хотелось остановиться на определении, обозначении и краткой истории некоторых математических констант.

Математиками изучены последовательности цифр е и π , и выяснено, что все цифры в этом числе встречаются с одинаковой частотой. Эти числа могут заворожить своей непокорностью, в особенности π .  Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только математиков и астрономов, но и философов и художников. Тратились годы для вычисления нескольких десятичных знаков числа π  .

Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы. Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу π(«пи»). В одной книге говорится: «Число π захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире» («Fractals for the Classroom»).
Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов. Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. Но, как отмечается в книге «Fractals for the Classroom» (авторы: Хайнц-Отто Peitgen, Юргенс Hartmut, Заупе Дитмар, 1991г.), при всей важности числа π «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков π».
Число π (произносится «пи»)— математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «π».В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число π.

Интересные факты, связанные с числом «Пи»

• Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.
• Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как , а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
• В штате Юта (США) был принят закон с очень короткой формулировкой "Пи равно трем", а в штате Индиана властями было официально назначено, что Пи равно 4.

Еще одна интересная константа — это число е. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год).

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100% годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1.00×1.254 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного имеет предел:  и этот предел равен 2,71828…

$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568…

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер.

Мне бы хотелось остановиться еще и на понятии «золотое сечение» и числа Фибоначчи.

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер

        Золотое сечение- это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок (а) так относится к большей части (b), как сама большая часть (b) относится к меньшей (c); или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

С понятием «золотого» сечения тесно связаны некоторые геометрические фигуры.

“Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,618.

                             B                                                                    C

                                                               BC/AB=1,618

                              A                                                                  D

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.

Помимо "золотых” прямоугольников существуют "золотые" треугольник и пятиугольники.

"золотой" треугольник - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении "золотого" сечения, а концы звезды являются "золотыми" треугольниками.

    С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618:0,382 – даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

        Занимаясь изучением математических констант, мне стало интересно в каких же сферах деятельности и жизни человека они встречаются и как применяются. В своей работе я попыталась рассмотреть лишь некоторые сферы применения этих чисел, которые мне показались наиболее интересными и удивительными, я провела небольшие исследования, которые оформила в приложении. Мне бы очень хотелось привлечь внимание своих одноклассников  к математическим константам – самым загадочным числам.

Глава 2. Константы в архитектуре                    

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

     Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Рисунок 1

Как указывает исследователь Г. И. Соколов ( 1924-2000гг., доктор искусствоведения), протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

Размеры Парфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и корень квадратный из 5 .
Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер корень квадратный из 5, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н.И. Брунова (1898-1971гг., историк архитектуры, доктор искусствоведения) ,  высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 = Ф.

Загадки египетских пирамид.
Все на свете страшится времени
А время страшится пирамид.
(Арабская пословица)

О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть, ладонь, палец - локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

Рисунок 2.

В 1837 г. Английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°51'. Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a), равный 1,27306. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB (Рис.2), то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз! Дело в том, что если взять корень квадратный из золотой пропорции , то мы получим следующий результат  = 1,272. Сравнивая эту величину с величиной tg a = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки между собой. Если же принять угол a = 51°50', то есть уменьшить его всего на одну угловую минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной . Следует отметить, что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50'.

Эти измерения привели исследователей к следующей весьма интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB =  = 1,272!

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ABC, в котором отношение катетов AC / CB = (Рис.2). Если теперь длины сторон прямоугольника ABC обозначить через x, y, z, а также учесть, что отношение y/x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена по формуле:

Если принять x = 1, y = , то

Рисунок 3. "Золотой" прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t :: 1, называется "золотым" прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной "геометрической идеей" пирамиды Хеопса является "золотой" прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить "проектную" высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

H = (L/2) ´  = 148,28 м.

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из "золотой" гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна SEFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса SD. Поскольку высота AB треугольника AEF равна t, то площадь боковой грани будет равна SD = t. Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды буде равна 4t, а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции! Это и есть - главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса!

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некотором «египетском» числе, равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).
Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – Пи и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.

Знаменитый русский архитектор М.Ф.Казаков (1738-1812гг.) широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он проявился в многочисленных проектах жилых домов и усадеб.

  Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В.Баженова (1738-1799гг.). Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 году.

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения: 1 : φ : φ 2 : φ  3 : φ 4 : φ 5 : φ 6 : φ 7, где φ =0,618

В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Число П увековечено на фризе Дворца открытий в Париже, что как нельзя лучше соответствует духу этого места.

 На фризе более 600 знаков, рассчитанных Уильямом Шэнксом (1812-1882г.г., математик) в 1873 году. На самом деле этот английский математик вычислил 707 знаков, но Дэниел Фергюсон  в 1944 году обнаружил в его расчетах ошибку, начиная с 528 знака, с помощью механического калькулятора.

Настоящее произведение искусства, основанное на П и его знаках, находится в Торонто. Канадская художница Арлин Стамп создала гигантскую мозаику, которая находится в вестибюле станции метро Даунсвью. Мозаику образуют прямоугольники разной ширины, которые накладываются друг на друга.

 Если не знать заранее, то сложно заметить, что ширина наложения прямоугольников друг на друга не случайна. Каждый прямоугольник накладывается на следующий по определенному правилу: ширина прямоугольника принята за 1, а видимая часть каждого следующего прямоугольника пропорциональна соответствующему знаку П. Мозаика начинается с 1 — первого знака после запятой в записи 3,1415926535... - и продолжается в точном соответствии с последующими знаками. Так как эти цифры случайны (или кажутся случайными), непосвященный зритель не может догадаться, что расположение частей мозаики подчиняется какому-то правилу. Однако, как в свое время обнаружил математик Иварс Петерсон, кажущаяся случайность распределения цифр подчиняется определенному закону.

На входе в Техническую школу Генри Эббота в Данбери, штат Коннектикут, США, установлена скульптура в форме П высотой почти 20 метров авторства Барбары Грайгатис. Скульптура освещается ночью и напоминает будущим инженерам о том, что им еще не раз предстоит встретится с этой константой во время учебы.

Таким образом, рассмотрев постройки разных времен, мы видим, что в архитектуре чаще всего встречается Золотое сечение и число Пи, что позволяет архитектурным объектам быть наиболее красивыми и прочными. Если бы в архитектуре не использовалось золотое сечение, то не было бы гармонии в городских постройках, не было бы шедевральных зданий дворцов и церквей, не было бы туристов, которые со всех концов земли приезжают посмотреть на эти удивительные объекты. Так как загадочное и магическое число Пи всегда тревожит умы людей, то не удивительно, что очень многие архитекторы, художники и скульпторы уделяют ему огромное внимание.

Поскольку я живу в одном из самых прекраснейших городов нашей планеты, я задалась вопросом: А что если и красивейшие здания Санкт-Петербурга строились тоже по правилу Золотой пропорции?

Я провела небольшое исследование. Я рассмотрела Смольный Воскресения собор или Смольный собор.

Величественный Смольный собор Франческо Бартоломео Растрелли начал возводить в царствование императрицы Елизаветы Петровны в 1746году, а завершен он был В.П.Стасовым при императоре Николае I в 1835 году.

Этот храм по праву считается жемчужиной петербургского барокко. Царским указом он стал именоваться Собором всех учебных заведений.

По своей живописности, выразительности композиции, наружному убранству Смольный собор – одна из вершин мирового зодчества.

Зная как строится золотой прямоугольник, зная размеры архитектурных объектов, мне удалось построить прямоугольник, следуя золотой пропорции. На этом чертеже я доказала, что в архитектурных объектах Санкт-Петербурга преобладает фигура золотого прямоугольника.

Еще в 1 веке до н.э. великий древнегреческий теоретик зодчества  Витрувий сформулировал формулу архитектурного сооружения: «Прочность — польза — красота». А что может быть прекраснее здания, построенного на основе золотой пропорции. Французский зодчий 17 века Франсуа Блондель говорил: «Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нем соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывает единственно лишь пропорции. Если же они отсутствуют, то сколько бы мы не украшали здание, эти наружные украшения не заменят нам внутреннюю красоту и привлекательность.»

Глава 3. Константы в живописи.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.   Вот одна из них.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
Сказка
Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями.
А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.
Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...
Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"
На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

По закону золотой спирали построена композиция гравюры итальянского графика Маркантонио Раймонди (1480- 1534) «Избиение младенцев». Свою гравюру Маркантонио Раймонди выполнил по эскизу знаменитого Рафаэля (1483-1520). Золотая спираль берет начало в смысловом центре композиции - «...точке, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжек ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Разворот спирали подчеркивают такие элементы композиции, как «арка моста, идущая от головы женщины, в левой части композиции и лежащее тело ребенка в центре.

Если золотое сечение вызывает у зрителя ощущение гармонии, то спираль — напротив, вызывает ощущение динамики и волнения.

Я провела следующее исследование:

1. 10 моим одноклассникам я выдала чистый альбомный лист формата А-4, попросила их провести линию горизонта так, если бы они рисовали пейзаж.

У 8 из 10 моих одноклассников линия горизонта получилась почти в золотом сечении.

2. Я попросила их же нарисовать от руки «идеальный» в их понимании прямоугольник. Результат превзошел все ожидания 9 из 10.
3. Я предложила 3 разных прямоугольников и 3 разных равнобедренных треугольников и попросила выбрать из них самый «лучший». ( 9 из 10 выбрали золотой треугольник, а 7 из 10 выбрали золотой прямоугольник)

Вывод: Золотая пропорция — это та основа  формообразования, которая обеспечивает многообразие композиционных форм живописи. Без знаний закономерностей золотого сечения художник всегда будет в плену всяких случайностей и просчетов, которые неминуемо уменьшат художественные достоинства  его работ.

Для того,чтобы получить гармоничную картину, которая будет радовать глаз окружающих, нужно лист, на котором будет написана работа, разделить на 8 равных частей и, если это будет пейзаж, то линию горизонта нужно чертить, отмерив 5 или 3 таких части — это и будет линия золотого сечения ( как расположить лист вертикально или горизонтально не важно), если это будет портрет, то линия золотого сечения должна проходить на линии расположения глаз.

Глава 4. Константы в музыке. 

Поскольку я занимаюсь музыкой и немножко играю на  пианино и гитаре, меня заинтересовал вопрос : «Играли ли математические константы какую-либо роль как в развитии музыкальных инструментов, так и в музыкальных композициях?»

Современный музыкальный строй берет начало еще во времена Пифагора (570-490 гг до н.э.) В его основе лежат ноты так называемой диатонической системы ( до, ре, ми, фа, соль, ля, си). В пифагорейском строе ноты соответствовали частоте вибрации струны. Грубо говоря, разным частотам соответствовали разные ноты. Различие между вибрациями (нотами) измерялось интервалами. Интервалы получаются не вычитанием одной частоты из другой, а их делением. Результат деления двух частот выражался в виде простой дроби. Например, квинта — интервал шириной в пять ступеней — означает результат деления частоты даной ноты на частоту ноты, отстоящей от нее на пять ступеней, и равен 3/2. Интервал октавы охватывает восемь ступеней диатонического ряда, например от «ре» до следующего «ре». Соотношение частот между звуками равно 2/1=2.

Рассмотрим пример. Если нажать на центральную клавишу пианино, мы услышим ноту «ля» частотой в 440 герц (колебаний в секунду). Если нажать на следующую «ля», расположенную на семь белых клавиш правее, новый звук будет иметь частоту в 880 герц. Разница между этими нотами (то есть интервал между ними) в музыке выражается дробью 880/440=2.

Этот интервал и является октавой. Две ноты, разделенные между собой интервалом в одну октаву, звучат одинаково, но явно различаются по высоте. Пифагор, во времена которого пианино еще не существовало, обнаружил этот факт, играя на одной струне: если зажать струну точно посередине, то полученная нота будет той же, что и для всей струны.

Этот строй идеально подходит для струнных инструментов, но с его помощью нельзя было качественно измерить небольшие различия между нотами, например диезы и бемоли. Это привело к появлению так называемого равномерно темперированого строя: в него наряду с обычными нотами включены диезы и бемоли. Это делается с помощью равных интервалов. Соотношение частот между соседними интервалами равно корень 12-й степени из 2. Полученный таким образом ряд получил название темперировааный.

В XVIII веке появилась новая система музыкальных интервалов, в которой значение квинты было равно 600+300/π . Новый музыкальный строй был предложен относительно недавно Чарльзом Люси (род. В 1946г.) и носит его имя.

Другое музыкальное проявление числа π - возможность «услышать» его знаки:  в Интернете существуют программы, которые позволяют «сыграть число π». Для этого всем десяти цифрам присваиваются определенные ноты. Но поскольку знаки π являются (или кажутся) случайными, то полученная композиция также будет случайной. Американский музыкант Майкл Блейк положил на музыку само число π и число τ ( в два раза большее числа π ) с точностью до 126 знаков после запятой. И оказалось, что мелодия Тау звучит гораздо гармоничнее мелодии π.

Наиболее тесно связаны с музыкой золотое сечение и числа Фибоначчи. Золотое сечение очень часто применяется в конструкции скрипки. Как правило, очертания корпуса скрипки составляют не менее 12 кривых — они создают ее характерные изгибы. Центром самой плоской кривой, внизу, как правило, служит точка, делящая центральную линию скрипки в золотом сечении. Пожалуй, самые знаменитые скрипки — это инструменты работы Антонио Страдивари (1644-1737) из итальянского города Кремона.

На чертежах видно, что Страдивари особенно тщательно рассчитывал геометрическое положение так называемых эфов — прорезей на передней части корпуса, и помещал их в точки, определенные золотым сечением.

 Популярность скрипок XVIII века в целом объясняется их прекрасным звучанием в больших концертных залах.

В связи с числами Фибоначчи упоминают и другой музыкальный инструмент — фортепиано.  Октава на клавиатуре фортепиано состоит из 13 клавиш: 8 белых и 5 черных. Черные клавиши, в свою очередь, объединены в две группы: 2 и 3. Так вышло, что числа 2,3,5,8,13 — последовательные числа Фибоначчи. А то что главная тональность — до мажор, объясняется отчасти тем, что это гамму играют только на белых клавишах.

Для чистого музыкального тона характерна определенная частота, выраженная в количестве колебаний в секунду и определенная амплитуда, определяющая громкость звучания в конкретный момент времени. Обычно для настраивания музыкальных инструментов используют ноту ля, которой соответствует частота 440 колебаний в секунду. Большая секста получается из сочетания ля с до (последней соответствует частота около 264 колебаний в секунду). Отношение частот 440/264 сокращается до 5/3 — т.е. до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи. Большая секста получается, если взять верхнее до (528 колебаний в секунду) и ми (330 колебаний в секунду). В этом случае отношение 528/330 сокращается до 8/5, т. е. тоже до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи — это уже очень близко к золотому сечению (так как отношения последовательных чисел Фибоначчи стремятся к золотому сечению).

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов (1861-1935) впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С.Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. В мире, живом и неживом, все связано и все взаимообусловлено, все подчинено одним законам. Человек в своей разносторонней деятельности - в науке, технике, художественном творчестве - не может не подчиняться тем же законам.

Музыка - искусство звука, ...звук - сама материя музыки... звук должен быть закутан в тишину, звук должен покоиться в тишине, как драгоценный камень в бархатной шкатулке.        Генрих Нейгауз (русский пианист 1888-1964)

Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель (1907-2000) установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.
Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.
Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым (русский музыковед, композитор 1881-1968). Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.
По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

Знаменитый венгерский композитор Бела Барток (1881-1945) применял золотое сечение очень часто. Бела Барток был не только пианистом-виртуозом, но и фольклористом и сочетал элементы, заимствованные у других композиторов, которыми он восхищался. В том числе у Штрауса, Листа, Дебюсси. Ритмическая живость его музыки в сочетании с тщательно рассчитанной симметрией форм делает его одним из самых оригинальных композиторов XX века.

Венгерский музыковед Эрне Лендваи (1882-1949) долго и внимательно изучал музыку Бартока и опубликовал об этом много книг и статей. Лендваи утверждал: «Стилистический анализ музыки Бартока позволил мне заключить, что главная черта его хроматической техники — подчинение законам золотого сечения в любом музыкальном движении». Согласно Лендваи, то, как Барток строит ритм своих композиций — превосходный пример применения золотого сечения в музыке.

Анализируя фугу из «Музыки для струнных, ударных и челесты» Бартока, Лендваи показывает, что 89 тактов фуги разделены пирамидальным пиком громкости на две части 55 и 34 такта. Дальнейшее деление производится при помощи сурдины, приглушающей звук различных инструментов — начало и конец ее действия отмечают границы сегментов — и другими изменениями текстуры. Количество тактов всегда совпадает с числами Фибоначчи, а отношение между крупными частями близки к золотому сечению, например 55/34.

                                                              Всего 89 тактов

                                     Здесь становится громко

                                        55 тактов                                                             34 такта                                    

                                Струнные снимают сурдины                  Струнные ставят сурдины

             34 такта                                           21 такт               13 тактов                 21 такт

            21 такт (тема)                                                                                     13 тактов      8 тактов

                                                                                                                 Смена текстуры

Появление различных технологий звукозаписи и компьютерной музыки в XX веке упростило  точные математические измерения и способствовало появлению музыки, основанной на числах.

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения, многие музыкальные инструменты созданы на основе золотого сечения и чисел Фибоначчи. Мне кажется, что все самые прекрасные мелодии, которые проявляют наши глубинные чувства и эмоции, основаны на правиле золотого сечения, хотя многие композиторы об этом даже и не предполагают.

Глава 5. Константы в литературе.

  Если музыка - гармоническое упорядочение звуков, то поэзия - гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Одна из математических констант – Золотое сечение встречается в большей степени в поэтических произведениях. Золотое сечение в поэзии проявляется как наличие смыслового момента, кульминации в точке деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Например,  если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая - на 38-ю (38%) и т.д. Исследования показали, что размеры стихов распределены весьма неравномерно. Интересен факт, что поэты предпочитают размеры в 5, 8, 13, 21, 34 строки, то есть числа Фибоначчи.

        Произведения многих поэтов построены по принципу Золотого сечения. Например:

Рассмотрим стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник »:

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник.

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

„Мне кажется, лицо немного криво...

А эта грудь не слишком ли нага?“....

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

„Суди, дружок, не свыше сапога!“

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах

Но чорт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (номера строк, т.е. 13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

        Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино". Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!" Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя) .

        Многие стихи А..А. Ахматовой даже внешне зримо демонстрируют «золотую» пропорцию формы. Так ее поэтический шедевр «Мне голос был» (1917) сознательно или бессознательно построен по принципу золотого сечения.

Стихотворение состоит из 12 строк, кульминация приходится на 8 строку «Боль поражений и обид»

12:8=1,6

Мне голос был. Он звал утешно.  
Он говорил: "Иди сюда,  
Оставь свой край глухой и грешный.  
Оставь Россию навсегда.  
Я кровь от рук твоих отмою,  
Из сердца выну черный стыд,  
Я новым именем покрою  
Боль поражений и обид".  
Но равнодушно и спокойно  
Руками я замкнула слух,  
Чтоб этой речью недостойной  
Не осквернился скорбный слух. 

Тот же принцип в стихотворении «Муза» (1924)

Стихотворение состоит из 8 строк, смысловой акцент сделан на  5 строке «И вот вошла. Откинув покрывало»

8:5=1,6

Когда я ночью жду ее прихода,
Жизнь, кажется, висит на волоске.
Что почести, что юность, что свобода
Пред милой гостьей с дудочкой в руке.

И вот вошла. Откинув покрывало,
Внимательно взглянула на меня.
Ей говорю: "Ты ль Данту диктовала
Страницы Ада?" Отвечает: "Я".

Есть два способа связать поэтический язык с математическими константами:

1. можно посвящать стихи этим числам или придумывать стихи, чтобы запомнить сами числа;
2.  можно применять математические константы в стихотворной форме и ритме.

        Многие фанаты математических констант рассматривают поэзию как инструмент. Так появилось множество стихотворений, которые помогают запомнить первые знаки π , φ, τ, е. Обычно цифры зашифрованы количеством букв в словах. Например, в фразе «Это я знаю и помню прекрасно» зашифрована последовательность цифр числа π — 314159.

Есть еще множество фраз и стихотворений для запоминания этих чисел:

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим -
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.

Изучая в школе два иностранных языка, мне стало интересно, есть ли похожие стихотворения на английском и французском. Вот, что я нашла. Английский стишок (двадцать знаков после запятой -3,14159265358979323846):

I wish I could determine pi
Eureka cried the great inventor
Christmas pudding
Christmas pie
Is the problem's very center.

Французский вариант (3.141592653589793238462643383279):

Que j\'aime faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archim\'ede, sublime ing\`enieur,
Qui de ton jugement peut sonder la valeur?
Pour moi ton probl\'eme eut de pareils avantages.

Я предложила своим друзьям и родственникам написать фразы или стихотворения для запоминания чисел π , φ, τ, е или придумать какие-нибудь шарады. В моем эксперименте участвовали: мама, папа, брат, бабушка и моя подруга Юля. Вот что у них получилось:

1. Галка скакала, кричала: «Ой!»

           А ворон, услыша, сказал: «Стой»

 В этой фразе зашифрована постоянная Эйлера-Маскерони (0,577215664)

2. Два и семь, один и восемь - как дела у вас мы спросим?

Двадцать восемь, один, восемь — дружно мячик мы подбросим.

Двадцать восемь, сорок пять — мячик нужно отыскать.

Девяносто, сорок пять — я иду тебя искать.

Два, три, пять, три, шесть и ноль — снова водим мы с тобой.

Двадцать восемь, семь, четыре — хорошо жить в этом мире!

В этом стишке зашифрована константа Непера (2,7182818284590452353602874)

3. И шарады:

             – π р (пир)

1.             –  π 1000 кг** (питон)

2.             --     сь         (надпись)         

                    π

        –     π       (пиво)

        В научно-популярной книге Труди Хэммел Гарланд «Чудесные числа Фибоначчи» приведен пример лимерика, где количество строк (5), количество стоп в каждой строке ( 2 или 3) и общее число стоп (13) представляют собой числа Фибоначчи.

Молодая особа, чей нос

Рос, пока до земли не дорос,

За пятак и полушку

Нанимала старушку,

Чтоб носить свой немыслимый нос.

                                            ( Пер. М. Фрейдкина)

        Пушкинист А.Ю. Чернов провел исследование поэмы А.С. Пушкина «Медный всадник». И вот к каким результатам он пришел. В поэме 477 строк. Если это число разделить на количество строк во второй части поэмы, то получится 3,16 — число очень близкое к  π. «До 3,14 не хватает одной строки» - пишет А. Чернов. И дальше «Позвольте, но ведь там есть один не зарифмованный стих».

Погода пуще свирепела,

Нева вздувалась и ревела,

Котлом клокоча и клубясь,

И вдруг, как зверь остервенясь,

На город кинулась. Пред нею

Все побежало, все вокруг

Вдруг опустело — воды вдруг...

Где рифма «Пред нею»? В черновике есть строка:

Со всею силою своею

Пошла на приступ. Перед нею...

Этой фразы нет только в писарской копии, которую Пушкин усердно правил. Потерянную писарем строку Пушкин заметил, но восстанавливать не стал.

 Многие писатели приключенческих и шпионских романов используют значения математических констант в своих произведениях. Летом я прочитала роман Дэна Брауна «Код да Винчи». В этой книге используется ряд Фибоначчи для расшифровки секретного послания. Не зная порядка чисел ряда Фибоначчи, главные герои не смогли бы расшифровать код сейфа.

    Я раньше никогда не задумывалась, что значение констант может применяться не только в математике. Теперь, читая любое стихотворение, я обращаю внимание, использовал ли автор золотую пропорцию. Сейчас на уроке литературы нам задали читать стихи поэтов «серебряного века», и практически в каждом стихотворении я вижу присутствие золотого сечения.

Глава 6. Константы в природе.

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Листья вдоль стебля растений или веточки от сука обычно растут так, чтобы солнца, воздуха и дождя им доставалось ровно столько, сколько нужно. Когда побег тянется вверх, листья на нем появляются через достаточно правильные интервалы. Однако растут они не прямо друг над другом — ведь тогда нижние листья не получали бы вдоволь света и влаги. На самом деле соседние листья или побеги на одной ветке располагаются вокруг стебля более или менее как резьба на винте. Подобное расположение повторяющихся элементов видно на примере и чешуек ананаса, и семечек подсолнуха. Называется это явление филлотаксис (от греч. «расположение листьев»), и этот термин ввел в 1754 году швейцарский натуралист Шарль Бонне (1720-1793). Например, у липы листья растут в основном с противоположных сторон ветки (т.е. через пол оборота вокруг ветки), и это называется «винтовая ось типа 1/2». У других растений — орешника, черники, березы листья на ветках и стеблях располагаются через 1/3 оборота. У яблони, абрикосового дерева листья располагаются через 2/5 оборота, а у груши и плакучей ивы через 3/8. Интересно, что все указанные дроби — это соотношение чисел Фибоначчи, взятых через одно.

Числа Фибоначчи и связь с золотым сечением прослеживается также в числе и расположении лепестков. Иные люди даже доверяют свою жизнь, по крайней мере, символически, количеству лепестков ромашки, чтобы решить вопрос «любит — не любит». У большинства полевых ромашек количество лепестков 13, 21 или 34 — и все это числа Фибоначчи. Прелестное расположение лепестков розы также основано на золотом сечении. Если препарировать розу, снимая по лепестку, станет видно, что ее многочисленные, тесно прижатые друг к другу лепестки крепятся друг к другу определенным образом.  

Лепестки на схеме пронумерованы. Углы, определяющие положение лепестков (в долях окружности) — это дробная часть произведений φ на целые числа. Лепесток 1 расположен в 0,618 оборота от лепестка 0 (дробная часть 1хφ), лепесток 2 — в 0,236 оборота от лепестка 1 (дробная часть 2хφ) и т.д.

Природа обогатила флору и фауну большим многообразием объектов, где можно наткнуться на золотое сечение и числа Фибоначчи. Они проявляются в явлениях самого различного масштаба, от микроскопического до галактического. И их появление зачастую принимает обличье величественной спирали.

Раковины моллюсков часто имеют форму золотой спирали. Самый характерный пример это раковина наутилуса. Раковина увеличивается с добавлением внутренних камер, каждая из которых больше, чем предыдущая, но форма раковины остается прежней. Новая камера добавляется к предыдущей и имеет точно такую же форму, только большего размера.

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.

Паук также плетет свою паутину спиралеобразно. К сожалению, логарифмы еще не изучались мной в основной школе, но используя дополнительную литературу, я смогла узнать как выглядит логарифмическая спираль.

 Насекомые летят по золотой спирали, когда приближаются к источнику света. Если, пытаясь приблизиться к неподвижной точке мы хотим сохранять при этом угол поворота, такая спираль является для нас единственной возможной траекторией. Хищные птицы следуют такой траектории, когда нападают на добычу. Соколы-сапсаны — одни из самых быстрых птиц на земле, когда они пикируют к цели, то разгоняются до 200 км/ч. Однако они могли бы летать даже быстрее, если бы приближались к добыче по прямой, а не по спиральной траектории. Так как глаза у соколов расположены по сторонам головы, то чтобы воспользоваться преимуществом, которое дает этим птицам острейшее зрение, им приходится поворачивать голову на 40 градусов в ту или иную сторону. Результаты исследований показали, что соколы держат голову прямо и летят по логарифмической спирали. А поскольку спираль обладает свойством равноугольности ( это когда в каждой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором имеет постоянное значение), такая траектория позволяет птице, разгоняясь до предельных скоростей, не упускать добычу из виду.

Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Многие насекомые (например бабочки) в горизонтальном разрезе имеют простые асиметричные формы, основанные на золотом сечении.

Ящерица — если ее поделить на хвост и тело, то соотношение их будет 0,62 к 0,38.

Я провела исследование ракушки улитки на наличие у нее золотой пропорции. Вот, что у меня получилось:

ВО/АВ=АВ/АО=0,62  и ЕF/AF=AE/AF=0,616

Вывод: обыкновенная ракушка, найденная мной на улице, имеет форму золотой спирали.

«Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В)».

Чтобы проверить, так ли это, я провела исследование, для него я выбрала 5 различных комнатных растений:

1)Бегония королевская

2)Традисканция

3)Гибискус (роза китайская)

4)Бальзамин (Ванька мокрый)

5)Герань

Все эти растения есть в нашей школе, и я посчитала именно их наиболее красивыми. Сделала необходимые измерения между тройками листьев и вычислила соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

Вывод: Из таблицы видно, что все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенны, с точки зрения математики, оказались цветы под номерами 4 и 5. Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Человеческое представление о красивом явно формировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию видит человек в природе. Да и сам человек — венец творения природы. Золотое сечение — один из основных основополагающих принципов природы.

Итак, в природе чаще всего встречаются Золотая пропорция и числа Фибоначчи. Эти константы делают окружающий нас мир еще более разнообразным и прекрасным.  

Глава 7. Константы вокруг нас.

Я решила посмотреть где можно встретить математические константы практически не выходя из дома.

1. Я взяла учебники за 9 класс, по которым я занимаюсь в школе ( а все они имеют форму прямоугольника), измерила их длину и ширину и посмотрела какой же из них наиболее близок к золотому прямоугольнику.

Определение: Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине дает число 0,62, называется золотым прямоугольником.

Данные я занесла в таблицу:

Наиболее близок к золотому прямоугольнику учебник по истории и культуре Санкт-Петербурга часть 3 (авторы:Л.К. Ермолаева, А.Р. Демидова, Н.Г. Захарова, И.З. Захваткина, Н.В. Казакова, И.А. Карпенко, И.М. Лебедева).

Наиболее далек от золотого прямоугольника учебник по всеобщей истории 9 класс (авторы: В.Л. Хейфец, Л.С. Хейфец, К.М. Северинов).

2. Я взяла блюдце, самую большую тарелку, чайную чашку и рюмку. С

помощью нитки измерила длину окружность каждого предмета и его диаметр. Разделила длину окружности на диаметр.

         Данные я занесла в таблицу:

( погрешность получилась из-за неточности измерений)

Отношение длины окружности к диаметру — это число Пи

При моих измерениях наиболее близко к числу Пи оказалось измерение рюмки и это не удивительно, т.к. ее диаметр самый маленький и погрешность в измерениях минимальная.

3. Я решила измерить своих родственников: маму ( 50 лет), папу (50 лет), брата (27 лет), бабушку (85 лет), себя (15 лет), племянницу (5 лет).Я рассмотрела пропорции фигуры каждого исследуемого, для этого я измерила их рост и  расстояние от пола до пупка.

                Данные я занесла в таблицу:

Можно сделать вывод: Если рассмотреть тело человека как некий отрезок, то можно заметить, что линия пупка делит тело человека в золотой пропорции, причем чем младше человек, тем это отношение ближе к числу 0,62.

Мне стало интересно рассмотреть и руки каждого исследуемого. Я измерила средний палец и его верхнюю фалангу.

              Данные я занесла в таблицу:

Вывод: исходя из моих измерений наиболее идеальными с точки зрения золотой пропорции оказались женские пальцы.

Заключение

Математические константы появляются в формулах, используемых во многих сферах. Физика, астрономия, электроника, теория вероятности, геометрия, строительство, навигация, литература, искусство и природа — это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам после запятой этих чисел, так нет конца и их практическому применению.

Числа Фибоначчи, как принцип золотого сечения, пронизывают живую и неживую природу, культуру и искусство, микро- и макромир. Таким образом константы фи, пи, и е участвуют в законах мироздания. Эти числа изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение.

«Куда бы мы не обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине». Так сказал Кымпан Ф. В своей книге «История числа Пи» о числе Пи. Но эти же слова можно отнести и к другим математическим константам.

В ходе работы весь материал представлен в пяти главах :  «Константы в литературе»;  «Константы в музыке»;  «Константы в природе»;   «Константы в архитектуре»;   «Константы в живописи» и мои исследования.

В своей работе я попыталась показать практическое применение и разнообразие сфер появления этих удивительных и замечательных чисел. Конечно же, я охватила не все области и даже в исследуемых мной областях, многое осталось не изученным, но мне очень бы хотелось привлечь внимание моих сверстников и показать им, что математика - очень интересная, занимательная и разнообразная наука.

Мне кажется, что материал моей работы может быть использован и на уроках, и на дополнительных занятиях, на кружках и факультативах, на декадах математики, проводимых в школе.

Список используемой литературы.

1. Мир математики в 40 т. Т.7.: Хоакин Наварро. Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. /Пер. с исп. - М.: Де Агостини, 2014. - 144с.
2. Мир математики в 40т. Т.1.: Фернандо Корбалан. Золотое сечение. Математический язык красоты./ Пер. с англ. - М.: Де Агостини, 2014. - 160с.
3. С.Шумихин, А.Шумихина. Число Пи. История, длиною в 4000 лет./ М.:Эксмо, 2011.- 200с.
4. А.В.Жуков. Вездесущее число Пи./ М.:Едиториал УРСС, 2004. - 216с.
5. Ф.Кымпан. История числа Пи./ М.: Наука, 1971.-216с.
6. Марио Ливио. Фи — Число Бога. Золотое сечение — формула мироздания./ М.:АСТ, 2015.- 425с.
7. Глейзер, Г. И. История математики в школе: 9-10кл. : пособие для учителей. – М. : Просвещение, 1983. – 351с.
8. Глейзер, Г. И. История математики в школе: 7-8кл. : пособие для учителей. – М. : Просвещение, 1982. – 240с.

      9.  Дэн Браун. Код да Винчи./ М.:АСТ, 2004.-542с.