Методическая разработка по теме: системы счисления
методическая разработка по информатике и икт (10 класс)

МБОУ «Гатчинская средняя общеобразовательная школа №2»

Методическая разработка по теме:

«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

Разработал учитель информатики

Панасюк Дмитрий Павлович

Гатчина

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Цель: Показать учащимся как происходит процесс кодирования информации (адресов, чисел, символов и команд) в компьютере.

Требования к знаниям учащихся: Учащиеся должны знать, что существует возможность представлять команды программ и данные в виде двоичных кодов.

Мотивация: Как известно, современные компьютеры состоят из электронных схем, которые могут находиться в одном из 2-х состояний, определяемых протеканием электрического тока. Состояние электронной схемы, в которой протекает электрический ток, условно кодируемый 1, а противоположное состояние – 0.

В ЭВМ два устойчивых состояния, кодируемые 1 и 0. Значит все данные: слова, числа, символы должны быть закодированы с помощью этих двух цифр, т.е. вся информация представляется в двоичной системе счисления.

Методические указания

Рассмотрение вопроса об арифметическом принципе работы ЭВМ необходимо начинать с вопроса о представления информации в компьютере. Эта проблема появляется при рассмотрении понятия «информация» и «единицы измерения информации», когда дается вероятностное определения понятия информация

Потребность количественно измерять информацию в процессе обработки на ЭВМ и передавать по линиям связи привели к вероятностно-статистическому определению количества информации. Впервые это сделал      в 1948 г.  К. Шеннон в работе «Математическая теория связи». Здесь под информацией понимается не любое сообщение, а лишь то, которое уменьшает неопределенность знаний о каких-либо событиях у получателя информации. Важно, что именно такие процессы характерны для человеческой деятельности (познание, общение, управление).

Учащихся можно ознакомить с основами теории Шеннона. Существует формула Шеннона, по которой можно вычислять количество информации:

I = -∑ pilog2pi  , где I – количество информации;        

n – количество возможных событий;

pi – вероятности отдельных событий.

Таким образом, утверждение, что из множества событий, каждое из которых может наступить с определенной вероятностью, оно действительно наступило, сводит неопределенность к нулю. Это позволяет рассматривать величину I как меру количества информации.

Для частного, но широко распространенного случая, когда события равновероятностные (pi = I/n) величина принимает максимальное значение:

I = -∑ (1/n) log2 (1/n) = log2 (n)

За единицу количества информации было принято количество информации, соответствующее утверждению о том, что произошло одно из двух равновероятностных событий:

I = log2 (2) = 1 бит

Эту единицу назвали бит (bit – от английского словосочетания Binary digit).

К сожалению, учащиеся незнакомы с понятием логарифма, и поэтому введение понятия количества информации и единиц ее измерения проводится на конкретных примерах. Например, при бросании монеты существуют два равновероятных исхода (события): «орел» или «решка». Сообщение о том, что произошло одно из этих событий, например, монета упала «орлом», уменьшает неопределенность вдвое и несет 1 бит информации. Вообще 1 бит информации можно определить, как сообщение, которое уменьшает неопределенность в два раза.

Учащимся очень важно показать, что в ЭВМ вся информация кодируется с помощью двух цифр (0 и 1), т.е. возможны два равновероятных события. Следовательно, один двоичный разряд «выбирает» одно из двух событий и несет информацию в 1 бит. Два двоичных разряда несут соответственно информацию 2 бит и т.д.

В качестве примера можно рассмотреть двухразрядное двоичное число 01.

Всего существует четыре различных двух разрядных двоичных числа:

00, 01,10,11

Младший разряд нашего числа равен 1. Он несет 1 бит информации и уменьшает неопределенность в два раза, т.е. «выбирает» два числа, имеющие 1 в младшем разряде, из четырех:

01, 11

 Старший разряд нашего числа равен 0. Он также несет 1 бит информации и уменьшает неопределенность в два раза, т.е. «выбирает» одно из оставшихся двух чисел, имеющее в старшем разряде 0:

01

Если представить количество событий как 2 n  то тогда n – количество бит информации, которое несет в себе сообщение о том, что произошло одно из этих событий.

 Кодирование информации в ЭВМ.

При рассмотрении вопроса об основах кодирования информации в ЭВМ необходимо объяснить учащимся, что обработка информации в компьютере основана на обмене сигналами между различными устройствами машины. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. Признак наличия сигнала можно обозначить цифрой 1, признак отсутствия – цифрой 0.(1 – высокое напряжение +4.5 В, а 0 – низкое напряжение +0.5 В). Таким образом, в компьютере реализуется два устойчивых состояния. Как уже было сказано выше с помощью определенных наборов 0 и 1 можно закодировать любую информацию. Так как используется только две цифры, то необходимо рассмотреть систему счисления, для которой 0 и 1 являются алфавитом.

Двоичное кодирование символов.

При вводе символов с клавиатуры происходит их кодирование в виде последовательности электрических импульсов или, с логической точки зрения, последовательности 0 и 1. Для того, чтобы с учащимися разобрать принцип кодирования символов необходимо ответить на вопрос: «Какое количество электрических импульсов или, другими словами, двоичных разрядов необходимо, чтобы закодировать 256 различных символов».

256 различных символов – это 256 различных событий, т.е. 2^8. Следовательно, для кодирования необходимо 8 двоичных разрядов или 8 бит информации. Каждому символу соответствует последовательность из восьми 0 и 1: для буквы А – 01000001

для буквы М – 01001101 и т.д.

Такое количество комбинаций необходимо, чтобы можно было закодировать все необходимые символы для представления информации в алфавитно-цифровом виде (заглавные и строчные буквы русского и латинского алфавитов, цифры, знаки арифметических и логических отношений, разделители, специальные символы и т.д.). Здесь необходимо учащимся показать, что взаимооднозначное соответствие между символами и их представлениями в двоичном коде определяется стандартным кодом КОИ-8.

На сегодняшний день широкое распространение получила кодировка АSCII (American Standard Code for Information Interchange –американский стандартный код для обмена информацией).Это семиразрядный код ( каждый символ кодируется семью двоичными разрядами) .Можно закодировать 128 ситуаций. Чтобы работать с русским алфавитом пользуются восьмиразрядным расширением кода ASCII.

В информатике широко используется ещё одна единица информации – байт:

1 байт = 8 бит.

Таким образом, для кодирования одного символа необходим 1 байт информации.

Двоичное кодирование числовой информации.

При рассмотрении вопроса о двоичном кодировании числовой информации и двоичной системе счисления необходимо с учащимися вспомнить уже ранее известные им системы счисления: десятичная, римская, шестидесятеричная и т. д.

Можно рассмотреть историю развития данных систем счисления и акцентировать внимание на их алфавит.

Системы счисления.

Любой язык имеет алфавит. Алфавит – набор символов, знаков из которых составляются слова, предложения и фразы языка. Не исключением является и язык чисел.

Система счисления – это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.      

Египетская система счисления

Десятичная система счисления.

Алфавит: десять цифр от 0 до 9.

История возникновения: появляется и развивается в Индии. Известно, что индийцы уменьшили количество цифр и довели их количество до десяти, считая, в том числе и нуль, и что индийцы применили позиционный принцип к десятичному счёту и стали пользоваться цифрой нуль.

В IX веке узбек Мухам мед, сын усы из Хорезма перенес открытия индийцев на почву Ближнего Востока. В своем трактате он отразил десятичную систему счисления и еще далее развил её. Рукопись была написана на арабском языке, на научном языке ближнего Востока того времени.

Поэтому заимствованные европейцами данные цифры получили название арабские. В Европе данная система получила широкое распространение лишь в XII – XIII  веках.

Древнее написание:  

Каждая цифра означает число по количеству углов в ней.

Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.

Причина, по которой десятичная система счисления стала столь популярна в том, что использует число 10 – аппарат счета, которым человек пользуется с доисторических времен – 10 пальцев рук. Написание десятичных цифр претерпело большие изменения. Только лишь в XVI веке установилась форма, которой мы используемся: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Однако десятичная система счисления использовалась не всегда. В различные исторические эпохи многие народы использовали другие системы счисления.

Римская система счисления.

Алфавит: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000

История развития: появляется в Древнем Риме. Выполнение арифметических действий в данной системе счисления очень трудны, поэтому в настоящее время используется там, где действительно удобна: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов и т. д.

Принцип записи: если меньший символ алфавита стоит перед большим символом, то необходимо выполнить действие вычитание, в противном случае сложение.

Пример: IX – 10-1 = 9

        LXXVII – 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 =  77

MCMXXXXXIV – 500+(500-100)+10+10+10+10+10+(5-1)=1954

Шестидесятеричная система счисления.

Одна из самых сложных систем счисления. Существовала в Древнем Вавилоне примерно в II тысячелетии до нашей эры. Основание системы 60, связано, скорее всего, с продолжительностью года – 360 суток. Но до сих пор не известно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система счисления. В настоящее время используется при исчислении времени, геометрии и т.д.

Например: 1 час  =  60 минутам, 1 минута  = 60 секундам,

1 градус = 60 минутам.

Из-за громоздкости при вычислениях не используется.

Славянская система счисления.

В отличие от ранее рассмотренных систем счисления существуют так называемые алфавитные системы счисления. Для записи чисел используется буквенный алфавит. Так, например, у славян числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита. Чтобы отличать буквы от цифр использовался специальный символ – «титло».

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Только при Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Сегодня славянская нумерация используется только в богослужебных книгах.

Аналогичная система счисления использовалась у греков, армян, грузин и других народов Ближнего Востока.

Другие системы счисления.

Двенадцатеричная система: Происхождение связано со счетом на пальцах. Счет осуществляется по количеству фаланг на руке человека: всего их 12.

Так, например, в Англии используется в системе мер: 1 фут = 12 дюймам, 1 шиллинг = 12 пенсам.

Пятеричная система: Использовалась у Африканских племен и длительное время в Китае.  Она связана с количеством пальцев на руке.

Двадцатеричная система: Использовалась у ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для данной системы составляли пальцы рук и ног. Во Франции основная денежная единица, франк, делится на 20 су.(1 франк = 20 су).

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Говоря о системах счисления, их принято делить на два класса: позиционные и непозиционные.

Позиционные системы: В позиционных системах счисления, величина, обозначаемая цифрой, зависит от места(позиции) цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа – два десятка (двадцать), третья – две сотни (двести).

Пример: 23 ≠ 32

Непозиционные системы: В непозиционных системах счисления (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать очень трудно. Пример непозиционной системы счисления – римская система счисления.

Двоичная система счисления.

Методическая трудность изучения этого материала определяется, прежде всего, непривычностью для школьника двоичной формы представления чисел. Этот «психологический барьер» удается преодолеть далеко не сразу.

Материал, изложенный в учебниках, направлен, на то, что для понимания сути работы компьютера в принципе достаточно знать, что команды программы и данные могут быть закодированы в виде последовательностей 0 и 1 и что компьютер может эти коды различать и преобразовывать.

Но представления о двоичной системе счисления, знание её особенностей, ограничений, присущих ей, и её преимуществ принесет пользу ученику, поможет понять многие важные аспекты строения и работы компьютера.

Чтобы сформировать у учащихся представление о двоичной системе счисления лучший способ сравнения двух систем счисления. Вспомнить с учащимися ранее известные системы счисления. Понятие позиционной системы, разряд – местоположение символа в числе.

Показать перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему, и наоборот.

Здесь можно показать принцип перевода в любую систему счисления сравнивания с десятичной системой счисления

456 |10

450    45| 10

    6    40    4 |10         456  = 6*100+5*101+4*102   

5    0  0

      4

Число 456 можно интерпретировать как запись остатков от деления числа 456 на число 10, записанных в обратном порядке. Аналогично, чтобы записать число в двоичной системе счисления необходимо найти остатки от деления числа на 2 и записать их в обратном порядке:

         26 | 2

         26    13| 2

           0    12     6| 2

       1     6     3|2

              0     2   1| 2            2710=110102

                     1   0    0

                          1

Можно учащимся предложить алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную систему:

1.Разделить нацело десятичное число на 2 с остатком;

2.Запомнить частное и остаток;

3.Если частное равно нулю, записать остатки от деления в                    обратном порядке, иначе представляя частное как исходное число вернуться к пункту 1.

Полученная в результате последовательность 0 и 1 будет являться записью числа в двоичной системе счисления.

Чтобы учащиеся убедились в правильности данного алгоритма необходимо показать, что последовательность 110102 – это число 2610:

     110102=0*20+1*21+0*22+1*23+1*24=2+8+16=2610

Можно рассмотреть компактную форму записи в виде таблицы

//

На втором уроке можно рассмотреть правила двоичной арифметики. Показать преимущества двоичной системы счисления, с точки зрения технической реализации по сравнению с десятичной системой. Показать, что все действия можно свести к сложению и сдвигу.

По аналогии с десятичной системой счисления можно рассмотреть действия в двоичной системе:

0 + 0 = 0;                 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1;                 0 * 1 = 1

1 + 0 = 1;                 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10;               1 * 1 = 1

если при сложении двух двоичных чисел сумма цифр больше единицы, то переход в следующий разряд.

при вычитании, если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то нужно сделать « заем» единицы в старшем разряде.

умножение – последовательное сложение.

можно показать, что вычитание, это сложение по дополнительному коду.

На уроке можно рассмотреть следующее задание:

Числа 30 и 6 перевести в двоичную систему счисления, выполнить действия +,-,*,/ и сделать проверку.

30 | 2                                              6  | 2   

            30    15 | 2                                      6    3 | 2 

              0    14    7 | 2                                0    2   1 | 2

                      1    6    3 | 2                                1   0   0

                1    2   1 | 2                                 1

                      1   0   0

                           1  

              3010 = 111102                                   610 = 1102

Проверка:

111102=0*20+1*21+1*22+1*23+1*24=2+4+8+16=3010

1102 = 0*20 + 1*21 + 1*22 = 2 + 4 = 610

Сложение:

  111102      1001002=0*20+0*21+1*22+0*23+0*24+1*25

+    1102                       = 4 + 32 = 3610

1001002

вычитание:

       111102            110002 = 1*23+1*24 = 8 + 16 = 2410             

-    1102

        110002

умножение:

                               111102

                            х     1102

                                00000

                              11110

                            11110

                          10110100  

101101002=27+25+24+22=128+32+4=18010            

деление:

11110 |  110

110        101                   1012=1*20+0*21+1*22=1+4=5

    110

    110

       0    

На следующем уроке при рассмотрении вопроса о восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления учащимся необходимо показать способ перевода из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления через триады и тетрады. Для большего удобства можно предложить пользоваться таблицами.

Таблица перевода из двоичной системы в восьмеричную систему:

Таблица перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную систему:

       4        5      6

     100    101   1102 = 4 5 6 8

  1       2        E

     1 0010 11102 = 1 2 E 16

При переводе из двоичной системы счисления в восьмеричную запись числа разбивается слева на право, на группы по три символа (триады). Затем по таблице каждую группу переводят по таблице в восьмеричную систему счисления.

При переводе из восьмеричной системы в двоичную систему счисления каждая цифра заменяется на триаду по таблице.

Аналогичным образом осуществляется перевод с шестнадцатеричной системой счисления с делением на группы по четыре символа (тетрады).

Перевод дробных чисел

Одним из важных вопросов является вопрос о действии с дробными числами.

Учащимся необходимо показать, что при переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в двоичную систему,  

Можно сформулировать алгоритм перевода:

1.Последовательно умножать дробную часть данного числа и получаемые при умножении дробные части произведений на основание новой системы. Выполнять данную операцию до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или до той точности, которая определена условием.

2.Целые части произведения записать, используя алфавит

данной системы.

3.Записать дробную часть числа, начиная с целой части первого произведения.

Пример:

Перевести десятичное число 0.65625 в двоичную систему счисления.

0, 65625

          х            2

            1, 31250

          х            2

            0, 62500

          х            2

            1, 25000

          х            2

            0, 50000

          х            2

            1, 00000 

Ответ:0,6562510=0,101012   

Пример:

Перевести десятичное число 0.65625 в шестнадцатеричную систему счисления.

       0, 65625

  х             16

А=10, 50000

  х             16

       8, 00000

Ответ:0,6562510=0,А816

Аналогично  осуществляется перевод в восьмеричную систему счисления.

Для перевода из десятичной системы числа, содержащего целую и дробную часть, необходимо:

Перевести целую часть

Перевести дробную часть

Сложить результаты.

Очень важно показать учащимся, что число может быть записано в любой системе счисления. В классах с углубленным изучением    математики можно рассмотреть задачи по переводу числа из десятичной системы счисления в другие системы счисления и выполнения  них основных арифметических действий.

Учащиеся должны уметь определять по записи числа систему счисления, в которой оно записано.

Можно рассмотреть следующие задачи:

1.Перевести число 146 в пятеричную систему счисления.

146 |    5

145     29 |     5

     1     25     5  |  5      

                    4      5    1   |  5               14610 = 10415

                     0    0     0

                           1  

10415=1*50+4*51+0*52+1*53

2.Возраст женщины 16 , записан в двадцатеричной системе счисления. Сколько лет женщине? 

Решение:

Необходимо перевести число 16 из двадцатеричной системы счисления в десятичную систему:

1620=6*200+1*201=6+20=2610

Ответ: женщине 26 лет.

3.Женщина, возраст которой 48 лет утверждает, что ей 18. В какой системе счисления она определяет свой возраст?

Решение:

Необходимо определить систему счисления Х, в которой

4810 = 18Х

8*Х0+1*Х1=48

Х+8=48

Х=40

Проверка:

1840=8*400+1*401=8+40=4810

Ответ: Женщина определяет свой возраст в 40-ричной системе счисления.

4.Выполните сложение в 4-ричной системе счисления:

       230124

   +    12234

       303014

5.Девятилетний мальчик утверждает, что ему 100 лет. В какой системе счисления он определяет свой возраст?

Решение:

Необходимо определить систему счисления Х, в которой

100Х=910

1*Х2+0*Х1+0*Х0=9

Х2=9

Х=3

Проверка:

1003=0*30+0*31+1*32=910

Ответ: Мальчик определяет свой возраст в 3-ричной системе счисления.

Для закрепления материала каждого урока можно учащимся предложить для решения самостоятельную работу.

1.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2316, 328, 111102.

2.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3816, 758, 1101002.

3.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

1416, 268, 110002.

4.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2416, 508, 1011002.

5.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

5016, 1068, 10010102.

6.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

5016, 1068, 10010102.

7.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

4116, 778, 10000102.

8.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3216, 608, 1101102.

9.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2016, 368, 111002.

10.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

1416, 178, 100112.

11.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

4716, 1208, 10010112.

12.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

6016, 1348, 11000012.

13.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3516, 718, 1101112.

14.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

5916, 1268, 10111002.

15.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

4116, 1078, 10000112.

16.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2616, 268, 111012.

17.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2816, 478, 1010102.

18.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2816, 478, 1010102.

19.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

8116, 1728, 11100112.

20.  Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

4916, 1028, 10001112.

Ответы