Методические рекомендации изучения темы "Системы счисления" в 9 классе
методическая разработка по информатике и икт (9 класс) на тему
Методические рекомендации изучения темы "Системы счисления" в 9 классе
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
mr_schisleniya.docx | 45.43 КБ |
Предварительный просмотр:
Методические рекомендации
по изучению темы « Системы счисления» в 9 классе
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Системы счисления» сегодня рассматривается в курсе информатики в 9 и 10 классах. В 9 классе она изучается в разделе «Кодирование числовой информации» и нужна преимущественно для подготовки к успешной сдачи экзамена в форме государственной итоговой аттестации (ГИА); в 10 классе – является элементом повторения, закрепления и углубления, подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 11 классе.
Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование школьников.
Как правило, при изучении темы «Системы счисления» рассматриваются следующие вопросы:
- позиционные и непозиционные системы счисления;
- основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит;
- формы представления чисел в позиционных системах;
- перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- особенности арифметики в позиционных системах счисления.
Остановимся подробнее на последнем вопросе «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» и рассмотрим его как тему отдельного урока в 10 классе.
Цель урока – развитие логического (математического) мышления учащихся в области информатики и расширение навыков реализации теоретических знаний в практической деятельности.
Задачи:
- закрепление знаний, умений, навыков работы с позиционными системами счисления (перевода чисел из одной системы счисления в другую);
- знакомство с правилами арифметических операций в Р-ичных системах счисления;
- реализация теоретических знаний в практической деятельности;
- развитие логического мышления посредством решения задач;
- выполнение оперативных и рациональных действий, заданных условиями.
При изучении материала следует учитывать межпредметную связь с математикой (темы «Выполнение арифметических операций»; «Запись натуральных чисел»; «Степень с натуральным, отрицательным, нулевым показателем»), а также внутридисциплинарную связь с темами «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ», «Кодирование информации».
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Системы счисления: основные понятия
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Сегодня числа, цифры с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Однако уже тогда число изображалось с помощью одного или нескольких символов.
Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.
Но что же мы понимаем под словом «число»?
Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона. Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики.
Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?
Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.
Алфавит - конечный набор (множество) символов.
Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.
Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной.
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
Позиционную систему счисления с основанием P принято называть P-ичной. Примерами позиционной системы счисления могут служить двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. (табл. 1).
Таблица 1. Примеры позиционных систем счисления
Позиционная система счисления | Основание | Алфавит |
Двоичная | 2 | 0, 1 |
Троичная | 3 | 0, 1, 2 |
Восьмеричная | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
Десятичная | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Шестнадцатеричная | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) |
Позиция цифры в числе называется разрядом. Для целых чисел разряды нумеруются справа налево, началом отсчета является 0.
Арифметические операции в Р-ичных системах счисления
Для двоичной системы счисления действуют правила сложения:
0 | + | 0 | = | 0 |
0 | + | 1 | = | 1 |
1 | + | 0 | = | 1 |
1 | + | 1 | = | 1 |
При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием Р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд.
Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.
Примеры:
Для двоичной системы счисления действуют правила вычитания:
0 | – | 0 | = | 0 |
0 | – | 1 | = | 11 |
1 | – | 0 | = | 1 |
1 | – | 1 | = | 0 |
При вычитании чисел в Р-ичной системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна Р единицам этого разряда (аналогично, когда занимают единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10).
Для вычитания также используется таблица сложения. Предположим, нужно вычесть цифру b из числа a. Алгоритм действий в таком случае:
- Найти строку, именованную цифрой b.
- В этой строке найти цифру a.
- Посмотреть, какой цифрой именован столбец, на пересечении которого с цифрой получается результат a.
Эта схема работает, если a≥b. В противном случае, следует занять единицу старшего разряда.
Примеры:
Для двоичной системы счисления действуют правила умножения:
0 | ∙ | 0 | = | 0 |
0 | ∙ | 1 | = | 0 |
1 | ∙ | 0 | = | 0 |
1 | ∙ | 1 | = | 1 |
При умножении чисел в Р-ичной системе счисления каждая цифра второго множителя умножается последовательно на цифру каждого из разрядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления).
При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в единицы данного разряда, а число k запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде.
Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей.
По сути, это то же самое умножение столбиком, которое применяется в десятичной системе счисления. Единственное отличие – для проведения этой операции в P-ичной системе необходимо использовать таблицы сложения для этой P-ичной системы счисления.
Примеры:
Для двоичной системы счисления операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Деление чисел в Р-ичной системе счисления производится так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в Р-ичной системе счисления. Делить следует также «столбиком», однако, как и в случае умножения, использовать таблицы умножения и сложения для P-ичной системы счисления.
Примеры:
В качестве альтернативы можно выделить и другой подход. Перед началом выполнения операций можно перевести все слагаемые в десятичную систему счисления, выполнить в привычной форме необходимые расчеты, а результат перевести обратно в системы с основанием P.
Таблицы сложения и умножения
(для двоичной и восьмеричной систем счисления)
Таблица 2. Таблица сложения в двоичной системе счисления
+ | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 10 |
Таблица 3. Таблица умножения в двоичной системе счисления
* | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Таблица 4. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Таблица 5. Таблица умножения в восьмеричной системе счисления
* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 |
3 | 0 | 3 | 6 | 11 | 14 | 17 | 22 | 25 |
4 | 0 | 4 | 10 | 14 | 20 | 24 | 30 | 34 |
5 | 0 | 5 | 12 | 17 | 24 | 31 | 36 | 43 |
6 | 0 | 6 | 14 | 22 | 30 | 36 | 44 | 52 |
7 | 0 | 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 |
Составить таблицу умножения или сложения для любого основания можно самостоятельно. Для этого нужно:
- В крайних левом вертикальном столбце и верхней горизонтальной строке записать алфавит (цифры записываются по возрастанию). В ячейке, основанной на пересечении i-й строчки и j-го столбца, будет записан результат операции.
- Сосчитать значения i * j или i + j как в обычной десятичной системе. Перевести результат в систему счисления с исходным основанием.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Практическая часть по исследуемой теме, как правило, представлена задачами на выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления с различными основаниями. Такие задачи встречаются в вариантах ГИА, ЕГЭ. В них предлагается сложить 2 или 3 числа, заданных в родственных системах счисления.
Задачи можно решать, используя перевод исходных чисел в десятичную систему счисления. Однако в некоторых случаях можно использовать перевод и сложение чисел в двоичной системе счисления.
Наиболее простыми являются задания, в которых варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение в этом случае можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить нужный ответ. Некоторые задания требуют приведения и исходных данных, и вариантов ответа либо к двоичной, либо к десятичной системе счисления.
Рассмотрим решение некоторых из них.
Задача 1.
Вычислить сумму чисел X и Y, если X=10101112, Y=1528. Результат представить в двоичном виде.
Решение.
Поскольку результат нужно представить в двоичной системе счисления, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.
Число X уже представлено в двоичной системе счисления: X=10101112. Переведем число Y из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады:
1 | 5 | 2 |
001 | 101 | 010 |
Получили Y=1528=11010102.
Сложим двоичные числа X и Y столбиком:
+ | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 | |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
Результатом решения задачи является число 110000012.
Ответ: 110000012.
Задача 2.
Чему равна сумма чисел 528 и А916 в двоичной системе счисления?
Задачу можно решить двумя способами.
Способ 1.
Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням:
528 = 5*81 + 2*80 = 40 + 2 = 4210,
А916 = 10*161 + 9*160 = 160 + 9 = 16910.
Находим сумму десятичных чисел: 4210 + 16910 = 21110.
Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления и выделения остатков:
– | 211 | 2 | ||||||
210 | 105 | 2 | ||||||
1 | 104 | 52 | 2 | |||||
1 | 52 | 26 | 2 | |||||
0 | 26 | 13 | 2 | |||||
0 | 12 | 6 | 2 | |||||
1 | 6 | 3 | 2 | |||||
0 | 2 | 1 | ||||||
1 | ||||||||
21110 = 110100112.
Ответ: 110100112.
Способ 2.
Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады:
5 | 2 | А | 9 | |||
101 | 010 | 1010 | 1001 |
528 = 1010102,
А916 = 101010012.
Сложим полученные двоичные числа столбиком:
+ | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 | ||
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 12 | |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 12 |
В результате сложения получили двоичное число 110100112.
Ответ: 110100112.
Задача 3.
Из разности двух восьмеричных чисел 100100 и 61556 вычесть сумму двух шестнадцатеричных чисел FAD и CDC, а затем для числа, полученного в результате, выяснить, в какой системе счисления это число будет иметь вид 1001001?
Решение.
Найдем разность восьмеричных чисел:
1001008 – 615568 = 163228
– | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 08 |
6 | 1 | 5 | 5 | 68 | ||
1 | 6 | 3 | 2 | 28 |
Найдем сумму шестнадцатеричных чисел:
FAD16 + CDC16 = 1C8916
+ | F | A | D16 | |
C | D | C16 | ||
1 | С | 8 | 916 |
Для выполнения вычитания переведем полученное шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления с помощью триадно-тетрадного метода:
1 | С | 8 | 9 | (16) | |
0001 | 1100 | 1000 | 1001 | (2) | |
1 | 110 | 010 | 001 | 001 | (2) |
1 | 6 | 2 | 1 | 1 | (8) |
Найдем разность восьмеричных чисел:
168 – 615568 = 163228
– | 1 | 6 | 3 | 2 | 28 |
1 | 6 | 2 | 1 | 18 | |
1 | 1 | 18 |
Определим основание системы счисления, в которой восьмеричное число 111 будет иметь вид 1001001 методом перебора. По значению чисел примем гипотезу о двоичной системе счисления. Разобьем восьмеричное число 111 на триады:
1 | 1 | 1 |
001 | 001 | 001 |
Получаем, что 1118 = 10010012, что и требовалось выяснить.
Ответ: 1118 = 10010012.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема, рассмотренная в данной работе, посвящена ключевому понятию математики, а вместе с тем и информатики, – числу, а также системам счисления – способам записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.
С понятием «система счисления» учащиеся впервые встречаются в 5 классе основной школы, когда знакомятся с десятичной системой счисления, и в дальнейшем по школьной программе более подробно изучается именно эта система счисления (арифметические действия, признаки делимости).
Учащиеся вновь обращаются к этой теме и встречаются с понятием «системы счисления» при изучении базового курса информатики. К сожалению, на ее изучение отводится мало часов, и по программе рекомендуется рассматривать те системы счисления, которые используются в компьютере (двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). На арифметику в этих системах счисления, включая арифметические действия, признаки делимости, разнообразные текстовые и игровые задачи, времени практически не остается.
Однако, работая на компьютере, учащиеся видят «внешние» результаты этой работы, и вопрос, как и что происходит внутри компьютера, всегда их интересует.
Содержание темы рассматривает вопросы истории числа, системы счисления с различными основаниями, арифметические операции и признаки делимости в этих системах, смешанные системы счисления, перевод числа, включая дробные числа, из одной системы счисления в другие.
Задачи, разбираемые в теме, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, и дает им возможность проверить свои способности к математике и информатике.
По мере изучения темы появляются следующие учебные эффекты:
- расширяются знания учащихся о числе, способах его
записи; - складывается представление о многообразии систем счисления, их
классификации и истории возникновения; - формируются навыки перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в них;
- создаются условия для развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики;
- раскрывается умение самостоятельно приобретать и применять знания;
- развиваются логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и коммуникативные навыки.
После изучения материала учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и навыками:
- умеют представлять числа и выполнять арифметические действия в различных системах счисления;
- умеют устанавливать связь между системами счисления;
- умеют осуществлять перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- умеют находить оптимальный и рациональный способ решения поставленной задачи.
Важным результатом изучения темы «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» становится углубление имеющихся знаний по предмету, формирование основы научного мировоззрения в области информатики и развитие интереса к информатике, как науке.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Теоретическая часть 5
Системы счисления: основные понятия 5
Арифметические операции в Р-ичных системах счисления 6
Таблицы сложения и умножения (для двоичной и восьмеричной систем счисления) 9
Практическая часть 11
Задача 1 11
Задача 2 11
Задача 3 13
Заключение 14
Список литературы 15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. – 6-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 387 с.: ил.
- Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005, №1.
- С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение. М.: МЦНМО, 2004. — 52 с.: ил.
- Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь, 2008, №2.
- Технология разработки элективных курсов / А.А. Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. – 2006. – №1.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методические рекомендации для учеников 11 класса "Профессиональное самоопределение"
Для выполнения профориентационного проекта «Мои жизненные планы и профессиональная карьера» программой предусматривается шесть учебных часов. Занятия носят практический, творческий характер, тип заня...
Методические рекомендации по физике (7 класс) по теме:Презентация и конспект урока "Давление",А.В.Перышкин с использованием технологии "Мастерская"
Методическая разработка по физике (7 класс) по теме:Презентация и конспект урока "Давление", А.В.Перышкин с использованием технологии "Мастерская"Урок предназначен для обучающихся 7 класса, обучающихс...
Методическая разработка на тему "Методические рекомендации по проведению Мастер - класса,с элементами практического показа "
В предложенном файле Вы можете ознакомиться с организацией и проведением Мастер - класса ; с основными особенностями,алгоритмом проведения Мастер - класса,важнейшими элементами технологии....
Методические рекомендации для учащихся 9 классов «ГИА по истории в 2013 году»,
Методические рекомендации для учащихся 9 классов «ГИА по истории в 2013 году»,...
"Методические рекомендации по обучению в классе баяна/аккордеона"
Обучение игре на баяне и аккордеоне рекомендуется начинать по слуховому методу – с подбора знакомых мелодий, песенок по слуху, с голоса, с «рук» преподавателя, постепенно переходя к изучению нотной гр...
Методические рекомендации "Изучение интервалов на начальных классах"
Методические рекомендации «Изучение интервалов в начальных классах» посвящены важнейшему разделу сольфеджио – изучению интервалов. В его основе лежит образно-ассоциативный метод. Впр...
Методические рекомендации для учителей инклюзивного класса "Особенности урока в инклюзивном классе"
Успешность включения детей с отклонениями в развитии в учебный процесс зависит не только от характера и степени, имеющихся у них физических и психических нарушений. Но и от эффективности учитыва...