Методическая разработка по информатике "Системы счисления"
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему

Опубликовано 02.01.2015 - 19:51 - Башкатова Светлана Михайловна

Рассматривается история появления различных систем счисления. Перевод и арифметические операции с ними.

Скачать:

Вложение	Размер
sistemy_schisleniya.doc	530.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема «Система счисления» в школьном курсе информатики занимает особое место. Ее изучение позволяет не только объяснить учащимся арифметические основы ЭВМ, указать на особенности и преимущества двоичной системы счисления, но и расширить представление школьников о системах счисления вообще.

План изучения темы:

1. Понятие о системах счисления

Как считали в прошлом

Основные определения

Задания

2. Представление чисел в позиционных системах счисления

Алфавит систем счисления

Задания

3. Связь между системами счисления

Перевод целых чисел

Перевод дробных чисел

Перевод смешанных чисел

Перевод в другие системы счисления

Схема Горнера

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную

Задания

Перевод 2 8, 16

Задания

4. Двоичная система счисления

Общие сведения

Двоичная арифметика

Задания

Двоичная дополнительная арифметика

1. Понятие о системах счисления

Как считали в прошлом

«Все есть число»,- говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Следы древних систем счета встречаются в культуре и обычаях многих народов.

К Древнему Вавилону восходит деление числа на 60 минут и угла на 360 градусов.

К Древнему Риму восходит традиция записывать числа: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, …

К англосаксам - жителям Британских островов - восходит традиция счета дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на два периода по 12 часов, карандашей и фломастеров в наборе обычно бывает 6,12,24.

А вот Шведский король Карл XII в 1 7 17 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.

Пятеричная система использовалась в Китае.

Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V-VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили. Получив название арабской, эта система в XII в. распространилась по всей Европе.

Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами – конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в XVII- XIX вв. Великий немецкий ученый Лейбниц считал:

«Вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия…. При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

Позже двоичная система была забыта, и только в 1936- 1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Основные определения

Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

Непозиционными системами называется такая система, в которой значение каждой цифры не зависит от ее положения в коде числа.

Позиционной системой называется система, в которой значение цифры зависит от ее места в коде числа.

Пример 1 (непозиционной системы счисления), римская

I -- 1	C -- 100
V -- 5	D -- 500
X -- 10	M -- 1000
L -- 50

Правило записи:

Меньшие знаки, поставленные справа от большего – прибавляются к его значению.

Меньшие знаки, поставленные слева от большего – вычитаются из него.

IX - 9	XXVIII - 28
XI -11	IC -- 99

XXVII означает 10+10+5+1+1 = 27

MMMD = 1000 + 1000 + 1000 + 500 = 3500

MCMXCIV = 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994

Правило записи:

Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются. Если же какая-то буква нарушает порядок, то из ее значения вычитается значение предыдущей буквы.

Пример 2 (позиционные системы счисления) – 2, 5, 8, 10, 12, 16, 60, и др.

10 сист. сч. – Возникла в Вавилоне, Древняя Греция. Завершена в Индии V-VII в. Распространилась в Европе – XII в.

12сист. сч. – Дюжина.

5 сист. сч. – Китай.

8 сист. сч. – Шведский король-XII, 1717 год.

60 сист. сч. – Вавилон.

Задания

Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.
Что вы можете сказать о числах VVV и 555?

2. Представление чисел в позиционных системах счисления

Существует полная и краткая формы записи числа.

Краткая форма:

13910, 1325, 248

Формула:

А = ап-1 ап-2 … а1 а0 а-1 а-2 … аm

Полная форма:

2 1 0

1 3 910 = 1*102 + 3*101 + 9* 100

2 1 0

1324 = 1* 42 + 3*41 + 2*40

1 0

245 = 2*51 + 4*50

Например:

3 2 1 0 -1 -2

А10 = 4718,6310

А10 = 4*103 + 7*102 + 1*101 + 8*100 + 6*10-1 + 3*10-2

3 2 1 0 -1

А8 = 7764,1

А8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 + 1*8-1

Каждая система имеет название, основание, алфавит.

Название сист.	десятичная	восьмеричная
Основание	10	8
Алфавит	0, 1,2, 3,4,5,6,7,8,9	0,1,2,3,4,5,6,7

Пятеричная система, основание – q = 5.

Алфавит -- 0,1,2,3,4

3 2 1 0 -1 -2

А5=2430,215

А5=2*53+4*52+3*51+0*50+2*5-1+1*5-2

4. Шестнадцатеричная система, q =16 – основание.

Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

10 11 12 13 14 15

2 1 0

А16=3AF16

A16 = 3*162+A*162+F*160 = 3*162+10*161+15*160

Правило: Вычислив эти выражения, можно получить десятичный эквивалент числа.

Алфавит систем счисления

10 сист.	2 сист.	8 сист.	16 сист.
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Задания

Запишите в развернутом виде числа:

А10 = 143511; А8 = 143511; А7 = 143511; А16 = 143511

Запишите в десятичной системе счисления числа:

А9 = 8881; А5 = 423,1; А3 = 120; А16 = 2Е5А,12; А4 = 100,21

Как записывается в десятичной системе счисления число 10101, если считать его написанным в системах счисления: 2, 8, 16.

«Несерьезные» вопросы	Серьезные ответы

Когда 2х2 = 100?	В двоичной системе
Когда 2х2 = 11?	В троичной системе
Когда 2х3 = 11?	В пятеричной системе
Когда 3х3 = 13?	В шестеричной системе

Связь между системами счисления

Перевод целых чисел

10 2

1. 11 2

10 5 2

1 4 2 2

1 2 1 Ответ: 1110=10112

2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить другой способ:

Число	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Ответ: 36310 = 1011010112

2 10

5 4 3 2 1 0

1101102 = 1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+0*20 = 32+16+0+4+2+0 = 5410;

Перевод дробных чисел

0,	5625	0,	7
	2		2
1,	1250	1,	4
	2		2
0,	2500	0,	8
	2		2
0,	5000	1,	6
	2		2
1,	0000	1,	2
			2
		0,	4

Ответ: 0,562510=0,10012; 0,710=0,10110…2;

6 5 4 3 2 1 0

0,11011012 =1*26+1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 =64+32+8+4+1=10910

Перевод смешанных чисел

17, 2510 = 10001,012

1 8 4 2

0 4 2 2

0 0 1

0,	25
	2
0,	50
	2
1,	00

Схема Горнера

6 5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 0 1 12 = 10710

-1 –2 –3 –4 –5 –6 -7

0,1 1 1 0 1 0 12 = 0,914010

S6 = 1+ 0 * 2 = 1

S5 = 1+ 1 * 2 = 3

S4 = 0+ 3 * 2 = 6

S3 = 1+ 6 * 2 = 13

S2 = 0+13 * 2 = 26

S1 = 1+26 * 2 = 53

S0 = 1+53 * 2 =107

S7 = 1 + 0 = 1

S6 = 0 + 1 = 0,5

S5 = 1 + 0,5 = 1,25

S4 = 0 + 1,25 = 0,625

S3 = 1 + 0,625 = 1,3125

S2 = 1 + 1,3125 = 1,6563

S1 = 1 + 1,6563 = 1,8281

S0 = 0 + 1,8261 = 0,9140

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную

Основание десятичной системы в двоичной системе имеет вид

1 0 1 0 1 1 0 1,12 = ……….10

10101101 1010

1010 10001 1010

1101 1010 1

1010 00111 1

0011 7

0, 1000

1010

1 000

100 0

101, 0000

Ответ: 1 0 1 0 1 1 0 1,12 = 173,510

Задания

Переведите целые числа из 10 системы счисления в двоичную:

513 2) 600 3) 602 4) 1000

5) 2304 6) 5001 7) 7000 8) 8192

Ответы:

1) 1000000001 2) 1001011000 3) 1001011010 4) 1111101000

5)100100000000 6) 1001110001001 7) 1101101011000 8)10000000000000

Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления:

1) 0,4622	2) 0,5198	3) 0,5803	4) 0,6124
5) 0,7351	6) 0,7982	7) 0,8544	8) 0,9321
Ответы:
1) 0,011101	2) 0,100001	3) 0,100101	4) 0,100111
5) 0,101111	6) 0, 110011	7) 0,110110	8) 0,111011

Переведите смешанные десятичные числа в 2 систему счисления:

1) 40,5	2) 31,75	3) 124,25
Ответы:
1) 101000,1	2) 11111,11	3) 1111100,01

Переведите целые числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера:

1)110101110001110		2)1001010011011101
3)10110010010001010		4)11000011010100000
Ответы:
1)27534	2)38109	3)91274	4)100000

Переведите дробные числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера. Счет ведите с 4 знаками после запятой.

1)0,010101100111		2)0,100010011011
3)0,101111001101		4)0,110111101111
Ответы:
1)0,3376	2)0,5378	3)0,7375	4)0,8708

Перевод 2 8, 16

5 4 1 0 6 2

1. 101 100 001 000 110 0102 = 5410628; 8 = 23;

2 0 0 15 8 7

2. 0010 0000 0000 1111 1000 01112 = 200F8716; 16=24;

Разбиение начинается от запятой.

5 4 2

3. 0, 101 100 0102 = 5428;

8 0 3

4. 0, 1000 0000 00112 = 80316;

Разбиение начинается от запятой.

Задания

Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

1)1010001001011		2)101001101111		3)110001000100
4)1010,00100101		5)1110,01010001		6)1000,1111001
Ответы:
1)12113	2)13157		3)6104
4)12,112	5)16,242		6)10,744

Переведите двоичные числа в 16 систему счисления:

1)1010001001011		2)1011001101111		3)110001000100
4)1010,00100101		5)1110,01010001		6)100,1111001
Ответы:
1) 144В	2) 166F		3) C44
4) A,25	5) E,51		6) 4,F2

Переведите 8 числа и 16 числа в двоичную систему счисления:

1)2668		2)12708		3)10,238
4)26616		5)2A1916		6)10,2316
Ответы:
1)10110110	2)1010111000		3)1000,010011
4)1001100110	5)10101000011001		6)10000,0010001

Перевод в другие системы счисления

17310 =……..8; 17310=………..16;

целая часть

1	7	3	8				1	7	3	1	6
1	6		2	1	8		1	6		1
	1	3	1	6	2			1	3
		8		5					D
		5


1	7	310	=	2	5	58	1	7	310	=	1	D16

дробная часть

	0,	6	5	6	2	5									0,	6	5	6	2	5
						8													1	6
	5,	2	5	0	0	0									10,	5	0	0	0	0
						8													1	6
	2,	0	0	0	0	0									8,	0	0	0	0	0

0,	6	5	6	2	510	=	0,	5	28	0,	6	5	6	2	510	=	0,	A	816

смешанные числа

1	2	4,	2	510	=	...	8										0,	2	5
																			8
1	2	4	8														2,	0	0
	8		1	5	8
	4	4		8	1
	4	0		7
		4


							1	2	4,	2	510	=	1	7	4,	28

Задания

1. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:

1)8700	2)8888	3)8900	4)9300
Ответы:
1)20774	2)21270	3)21304	4)22124

2. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:

1) 266	2) 1023	3) 1280	4) 2041
Ответы:
1) 10A	2) 3FF	3) 500	4) 7F9

3. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:

1) 0,43	2) 37,41	3) 2936	4) 481,625
Ответы:
1) 0,3341…	2) 45,32	3) 5570	4) 741,5

4. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:

1) 0,17	2) 43,78	3) 25,25	4) 18,5
Ответы:
1) 0,2B8	2) 2В,С7	3) 19,4	4) 12,8

4. Двоичная система счисления

Общие сведения

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используется всего 2 цифры: 0 и 1. Запись 10 означает число 2.

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Вот что писал П.С. Лаплас об отношении к двоичной системе великого немецкого математика Г.Ф. Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

Представим десятичное число 234 в двоичной системе счисления. Для этого составим таблицу:

234	= 2 * 117 +	0	6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710
			6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710
117	= 2 * 58 +	1	S6 = 1 + 0 * 2 = 1 S5 = 1 + 1 * 2 = 3 S4 = 0 + 3 * 2 = 6 S3 = 1 + 6 * 2 = 13 S2 = 0 + 13 * 2 = 26 S1 = 1 + 26 * 2 = 53 S0 = 1 + 53 * 2 = 107
58	= 2 * 29 +	0
29	= 2 * 14 +	1
14	= 2 * 7 +	0
7	= 2 * 3 +	1
3	= 2 * 1 +	1
1	= 2 * 0 +	1

23410 = 111010102 11010112 = 10710

Задание

Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому дню.
Двоичная арифметика

Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, изложим вкратце правила выполнения арифметических операций над числами, представленными в двоичной записи.

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения, вычитания и умножения:

+	0	1		0	1	х	1
0	0	1	0	0		0	0
1	1	10	1	1	0	1	1

Сложение Вычитание

+		1			1	1	1	1						.	10 .	10
	1	0	1	0	0	1	1,	1	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1,	1
			1	1	0	0	1,	1	1	0	1	0	0	0	1	1	0	1,	1
	1	1	0	1	1	0	1,	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0,	0

Умножение

				1	1	0	0	1,	0	1
							1	1,	0	1
				1	1	1	1
		1	1	1	1	0	0	1	0	1
	1	1	1	0	0	1	0	1
	1	1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1

Деление

	.	1	10 .	1	10
-	1	0	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	1
-		1	1	0	1					1	1	0	0	1
	0	0	1	1	1	0
			1	1	0	1
			0	0	0	1	1	0	1
						1	1	0	1
						0	0	0	0

Задания

Выполните операцию сложения над двоичными числами:

1) 10010011+101101	2)10110111+10011011
3) 1011101+11101101	4)10010111+1011100
5) 11101001+10011101	6)11010011+11011011
7) 110010,11+110110,11	8)111011,11+101111,11

Ответы:

1)11000000	2)101010010
3)101001010	4)11110011
5)110000110	6)110101110
7)1101001,10	8)1101011,10

Выполните операцию вычитания над двоичными числами:

1)100001000-10110011	2)11001100-101110110
3)110101110-10111111	4)110010011-110100110
5)11011011-110101110	6)110000110-10011101
7)11110011-10010111	8)1100101,101-10101,111

Ответы:

1)1010101	2)10101010
3)11101111	4) 11011011
5)11010011	6)11101001
7)1011100	8)1001111,110

Выполните операцию умножения над двоичными числами:

1)100001х1111,11	2)111110х100010
3)100011х1111,01	4)111100х100100
5)100101х111011	6)111010х100110
7)100111х111001	8)111000х101000

Ответы:

1)1000000111,11	2)100000111100
3)1000010101,11	4)100001110000
5)100010000111	6)100010011100
7)100010101111	8)100011000000

Выполните операцию деления над двоичными числами:

1)111010001001:111101	2)101111001:110101
3)11111100101:101011	4)100011111111:101111
5)100011011100:110110	6)100010000111:111011
7)111010001000:111100	8)101011110101:110111

Ответы:

1)111101	2)111001
3)101111	4)110001
5)101010	6)100101
7)111110	8)110011

Двоичная дополнительная арифметика

А как же МП работает с отрицательными числами?

Как процессор «угадывает», когда он имеет дело с числом, записанным в 2 арифметике, а когда с числом, имеющим знак?

- Целые числа в ПК могут представляться со знаком и без знака.

Диапазоны значений целых чисел без знака:

Формат числа в байтах	Запись с порядком	Обычная запись
1 байт	0 - 28-1	0-255
2 байта	0 - 216-1 (0-64 кб)	0-65535
4 байта	0 - 224-1 (0-4 Гб)	0- 4 Гб

Целое число

в 1 байтовом формате:

От 0000 0000 – до 1111 1111

Целое число

в 2 байтовом формате:

От 00000000 00000000 – до 11111111 11111111

6 5 4 3 2 1 0

Например: 7210=1 0 0 1 0 0 02

Запись целого числа без знака в памяти ПК.

В 1 байтовом формате	0	1	0	0	1	0	0	0
В 2 байтовом формате	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0

Диапазоны значений целых чисел со знаком:

Целые числа со знаком обычно занимает в памяти ПК 1;2;4 байта, при этом левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Знак « + » кодируется нулем.

Знак « - » кодируется единицей.

Формат числа в байтах	Запись с порядком	Обычная запись
1 байт	-27..…. 27-1	-128…127
2 байта	-215…. 215-1	-32768…32767
4 байта	-231…. 231-1	- 2 147 483 648…2 147 483 647

Рассмотрим особенности записи целого числа со знаком на примере одно- байтового формата, при котором для знака отводится 1 разряд, а для абсолютной величины цифр – 7 разрядов.

В компьютерной технике применяется 3 формы записи (кодирования) целых чисел со знаком:

Прямой код
Обратный код
Дополнительный код

Последние две формы применяются особенно широко.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах изобража -ются одинаково.

Знак «+» знак «+»

Число 110 = 12 Число 12710 = 11111112

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах имеют разное изображение.

Прямой код. В знаковый разряд помещается 1, а в остальные разряды код его

абсолютной величины.

Число -1										Число -127
1	0	0	0	0	0	0	0	1		1	1	1	1	1	1	1	1

Знак числа «-» Знак числа «-»

2. Обратный код. Код получается заменой всех цифр двоичного кода абсолютной величины и знака: нули заменяются единицами

единицы заменяются нулями.

Число -1										Число -127
1	1	1	1	1	1	1	1	0		1	0	0	0	0	0	0	0

Знак числа «-» Знак числа «-»

3. Дополнительный код. Код получается из обратного кода с последующим прибавлением 1 к его младшему разряду.

Число -1										Число -127
1	1	1	1	1	1	1	1	1		1	0	0	0	0	0	0	1

Знак числа «-» Знак числа «-»

Отрицательные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и так хранятся, при выводе происходит обратное преобразование.

Задания

Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:

а) в прямом коде; б) в обратном коде; в) в дополнительном коде.

Запишите числа в прямом коде ( формат 1 байт):

а) 31	б) -63	в) 65	г) -128

Запишите числа в обратном и дополнительных кодах (формат 1 байт):

а) -9	б) -15	в) -127	г) -128

Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 11111000	б) 10011011	в) 11101001	г) 10000000

Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 11101000	б) 10011111	в) 10101011	г) 10000000

Арифметические действия с отрицательными числами

Знак числа важен только для действий сложения и вычитания. В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого.

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место 4 основных и 2 особых случая.

Случай 1. А и В положительные.

При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака.

Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Например:

Десятичная запись				Двоичные коды

		3		0	0	0	0	0	0	1	1
		7	+	0	0	0	0	0	1	1	1
	1	0		0	0	0	0	1	0	1	0

Получен правильный результат.

Случай 2. A>0, B<0; B>A

Десятичная запись					Двоичные коды

			3		0	0	0	0	0	0	1	1
	-	1	0	+	1	1	1	1	0	1	0	1	Обратный код числа -10
		-	7		1	1	1	1	1	0	0	0	Обратный код числа -7
					1	0	0	0	0	1	1	1	Прямой код числа -7

Получен правильный ответ в обратном коде.

Случай 3. A<0, B>0; B

Десятичная запись			Двоичные коды

	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0
	-	3	1	1	1	1	1	1	0	0	Обратный код числа -3
		7	0	0	0	0	0	1	1	0
									+	1
			0	0	0	0	0	1	1	1

Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового
разряда в младший разряд суммы.

Случай 4. A<0, B<0

	Десятичная запись			Двоичные коды
		-	3	1	1	1	1	1	1	0	0	Обратный код числа -3
		-	7	1	1	1	1	1	0	0	0	Обратный код числа -7
	-	1	0	1	1	1	1	0	1	0	0
										+	1
				1	1	1	1	1	1	0	1	Обратный код числа -10
				1	0	0	0	0	0	1	0	Прямой код числа -10
Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

Случай 5. A>0, B>0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)

	Десятичная запись			Двоичные коды
		6	5	0	1	0	0	0	0	0	1
	+	9	7	0	1	1	0	0	0	0	1
	1	6	2	1	0	1	0	0	0	1	0	Переполнение

Несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

Случай 6. A<0, B<0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)

	Десятичная запись				Двоичные коды
	-	6	5	1	1	0	0	0	0	0	0	Обратный код числа -63
	-	9	7	1	0	1	0	0	0	0	0	Обратный код числа -95
-	1	6	2	0	1	1	0	0	0	0	0	Переполнение
										+	1
Знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что является свидетельст-вом переполнения разрядной сетки.

Все рассмотренные случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел.

Задания

Выполните вычитание чисел путем сложения их обратных кодов в формате 1 байт:

1) 9-2	4) -20-10	7) -120-15
2) 2-9	5) 50-25	8) -126-1
3) -5-7	6) 127-1	9) -127-1

Представление в компьютере вещественных чисел

Вещественными числами в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При написании вместо запятой принято писать точку.

Любое число n в системе счисления с основанием q можно записать в виде

N = M * q p, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей запятой. Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: М ∈[0.1;1). Такое представление вещественных чисел называется нормализованным.

Например:

Десятичная система	Двоичная система
753.15 = 0.75315*103	-101.01 = -0.10101*211	(порядок 112 = 310)
-0.000034 = -0.34*10-4	0.000011 = 0.11*2-100	(порядок –1002 = -410)

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по разному.

Характеристики форматов вещественных чисел

Формат вещественных чисел	Размер в байтах	Количество значащих десятичных цифр
Одинарный	4	7 или 8
Вещественный	6	11 или 12
Двойной	8	15 или 16
Расширенный	10	19 или 20

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа, знака порядка.

……

…….

Знак числа Порядок Мантисса

Знак порядка

Рассмотрим на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в 4 байтном формате.

Пример 1 Число 6.2510= 110.012 =0.11001*211

31	30								22								2	1	0
0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	0	……..		0	0
		Порядок							Мантисса
Знак числа	Знак порядка

Пример 2 Число – 0.12510 = - 0.0012 = - 0.1*2-101;

(отрицательный порядок записан в дополнительном коде)

-310 =1000 00112=1111 11002=1111 11012;

31	30								22							2	1	0
1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	0	0	0	0	…….	0	0	0	0
		Порядок							Мантисса
Знак числа	Знак порядка

Задания

Запишите числа в нормализованном виде в 4 байтном формате:

1) 23,4510 2) –17,8510 3) 5,2510 4) – 0,0005910

Арифметические действия над нормализованными числами

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложим двоичные нормализованные числа 0.10111*2-1 и 0.11011*210.

Разность порядков слагаемых равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

	0.	0	0	0	1	0	1	1	1	*	210
+	0.	1	1	0	1	1				*	210
	0.	1	1	1	0	1	1	1	1	*	210

Пример 2 Выполним вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

0.	1	0	1	0	1		*	210
0.	0	1	1	1	0	1	*	210
0.	0	0	1	1	0	1	*	210

Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.

Умножение

При умножении двух нормализованных их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3 Выполним умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101*2101)*(0.1001*211)=(0.11101*0.1001)*2(101+11)=0.100000101*21000.

Деление

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4 Выполним деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111*2100 : 0.101*211 = (0.1111:0.101)*2 (100-11)= 1.1*21=0.11*210.

Арифметические операции

в позиционных системах счисления

Операции сложения, вычитания, умножения и деления в разных системах счисления выполняются по одним правилам. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение в двоичной системе
+	0	1
0	0	1
1	1	10

Сложение в восьмеричной системе
+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Сложение в шестнадцатеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Пример 1 Сложим числа в 8 и 16 системах счисления.

Восьмеричная: 178 + 68			Шестнадцатеричная: F16 + 616
	1			1
	1	7			F
+		6		+	6
	2	5		1	5
		7+6-8=5			15+6-16=5
		1+1=2

Восьмеричная: 215,48 + 73,68					Шестнадцатеричная: 8D,816 + 3B,C16
	1	1	1				1	1
	2	1	5,	4			8	D,	8
+		7	3,	6		+	3	B,	C
	3	1	1,	2			C	9,	4
				4+6-8=2						8+12-16=4
				1+5+3-8=1					13+11+1-16=9
			1+1+7-8=1					8+3+1-16=12=C
		1+2=3

Пример 2 Вычитание двух чисел в 8 и 16 системах счисления.

Восьмеричная: 311,28 - 73,68						Шестнадцатеричная: C9,416 - 3B,C16
	.	.8	.8	8				.	.16	16
	3	1	1,	2				C	9,	4
-		7	3,	6			-	3	B,	C
	2	1	5,	4				8	D,	8
					8+2-6=4						16+4-12=8
				8-3=5						16+8-11=13=D
			8-7=1						12-1-3=8
		3-1=2

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мне нравится

Навигация

Библиотека

Методическая разработка по информатике "Системы счисления"
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока по теме: Методы решения задач по теме «Системы счисления» в различных средах.

Методическая разработка по решению олимпиадных задач по информатике на тему "Системы счисления"

Методическая разработка урока по теме "Арифметические операции в позиционных системах счисления"

Методическая разработка (Системы счисления)

Методическая разработка к уроку информатики "Системы счисления"

Методическая разработка по информатике на тему "Информация. Системы счисления"

Методическая разработка по информатике "Системы счисления"

Навигация

Библиотека

Методическая разработка по информатике "Системы счисления"методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока по теме: Методы решения задач по теме «Системы счисления» в различных средах.

Методическая разработка по решению олимпиадных задач по информатике на тему "Системы счисления"

Методическая разработка урока по теме "Арифметические операции в позиционных системах счисления"

Методическая разработка (Системы счисления)

Методическая разработка к уроку информатики "Системы счисления"

Методическая разработка по информатике на тему "Информация. Системы счисления"

Методическая разработка по информатике "Системы счисления"

Методическая разработка по информатике "Системы счисления"
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему