Методическая разработка по информатике "Системы счисления"
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему
Рассматривается история появления различных систем счисления. Перевод и арифметические операции с ними.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 530.5 КБ |
![]() | 530.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема «Система счисления» в школьном курсе информатики занимает особое место. Ее изучение позволяет не только объяснить учащимся арифметические основы ЭВМ, указать на особенности и преимущества двоичной системы счисления, но и расширить представление школьников о системах счисления вообще.
План изучения темы:
1. Понятие о системах счисления
Как считали в прошлом
Основные определения
Задания
2. Представление чисел в позиционных системах счисления
Алфавит систем счисления
Задания
3. Связь между системами счисления
Перевод целых чисел
Перевод дробных чисел
Перевод смешанных чисел
Перевод в другие системы счисления
Схема Горнера
Перевод чисел из произвольной системы в десятичную
Задания
Перевод 2 8, 16
Задания
4. Двоичная система счисления
Общие сведения
Двоичная арифметика
Задания
Двоичная дополнительная арифметика
1. Понятие о системах счисления
Как считали в прошлом
«Все есть число»,- говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.
Следы древних систем счета встречаются в культуре и обычаях многих народов.
К Древнему Вавилону восходит деление числа на 60 минут и угла на 360 градусов.
К Древнему Риму восходит традиция записывать числа: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, …
К англосаксам - жителям Британских островов - восходит традиция счета дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на два периода по 12 часов, карандашей и фломастеров в наборе обычно бывает 6,12,24.
А вот Шведский король Карл XII в 1 7 17 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.
Пятеричная система использовалась в Китае.
Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V-VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили. Получив название арабской, эта система в XII в. распространилась по всей Европе.
Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами – конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в XVII- XIX вв. Великий немецкий ученый Лейбниц считал:
«Вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия…. При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
Позже двоичная система была забыта, и только в 1936- 1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
Основные определения
Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.
Непозиционными системами называется такая система, в которой значение каждой цифры не зависит от ее положения в коде числа.
Позиционной системой называется система, в которой значение цифры зависит от ее места в коде числа.
Пример 1 (непозиционной системы счисления), римская
I -- 1 | C -- 100 |
V -- 5 | D -- 500 |
X -- 10 | M -- 1000 |
L -- 50 |
Правило записи:
- Меньшие знаки, поставленные справа от большего – прибавляются к его значению.
- Меньшие знаки, поставленные слева от большего – вычитаются из него.
IX - 9 | XXVIII - 28 |
XI -11 | IC -- 99 |
XXVII означает 10+10+5+1+1 = 27
MMMD = 1000 + 1000 + 1000 + 500 = 3500
MCMXCIV = 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994
Правило записи:
Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются. Если же какая-то буква нарушает порядок, то из ее значения вычитается значение предыдущей буквы.
Пример 2 (позиционные системы счисления) – 2, 5, 8, 10, 12, 16, 60, и др.
10 сист. сч. – Возникла в Вавилоне, Древняя Греция. Завершена в Индии V-VII в. Распространилась в Европе – XII в.
12сист. сч. – Дюжина.
5 сист. сч. – Китай.
8 сист. сч. – Шведский король-XII, 1717 год.
60 сист. сч. – Вавилон.
Задания
- Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.
- Что вы можете сказать о числах VVV и 555?
2. Представление чисел в позиционных системах счисления
Существует полная и краткая формы записи числа.
Краткая форма:
13910, 1325, 248
Формула:
А = ап-1 ап-2 … а1 а0 а-1 а-2 … аm
Полная форма:
2 1 0
1 3 910 = 1*102 + 3*101 + 9* 100
2 1 0
1324 = 1* 42 + 3*41 + 2*40
1 0
245 = 2*51 + 4*50
Например:
3 2 1 0 -1 -2
- А10 = 4718,6310
А10 = 4*103 + 7*102 + 1*101 + 8*100 + 6*10-1 + 3*10-2
3 2 1 0 -1
- А8 = 7764,1
А8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 + 1*8-1
Каждая система имеет название, основание, алфавит.
Название сист. | десятичная | восьмеричная |
Основание | 10 | 8 |
Алфавит | 0, 1,2, 3,4,5,6,7,8,9 | 0,1,2,3,4,5,6,7 |
- Пятеричная система, основание – q = 5.
Алфавит -- 0,1,2,3,4
3 2 1 0 -1 -2
А5=2430,215
А5=2*53+4*52+3*51+0*50+2*5-1+1*5-2
4. Шестнадцатеричная система, q =16 – основание.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
10 11 12 13 14 15
2 1 0
А16=3AF16
A16 = 3*162+A*162+F*160 = 3*162+10*161+15*160
Правило: Вычислив эти выражения, можно получить десятичный эквивалент числа.
Алфавит систем счисления
10 сист. | 2 сист. | 8 сист. | 16 сист. |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
Задания
- Запишите в развернутом виде числа:
А10 = 143511; А8 = 143511; А7 = 143511; А16 = 143511
- Запишите в десятичной системе счисления числа:
А9 = 8881; А5 = 423,1; А3 = 120; А16 = 2Е5А,12; А4 = 100,21
- Как записывается в десятичной системе счисления число 10101, если считать его написанным в системах счисления: 2, 8, 16.
«Несерьезные» вопросы | Серьезные ответы |
Когда 2х2 = 100? | В двоичной системе |
Когда 2х2 = 11? | В троичной системе |
Когда 2х3 = 11? | В пятеричной системе |
Когда 3х3 = 13? | В шестеричной системе |
- Связь между системами счисления
Перевод целых чисел
10 2
1. 11 2
10 5 2
1 4 2 2
1 2 1 Ответ: 1110=10112
0
2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить другой способ:
Число | 363 | 181 | 90 | 45 | 22 | 11 | 5 | 2 | 1 |
Делитель | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Остаток | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Ответ: 36310 = 1011010112
2 10
5 4 3 2 1 0
1101102 = 1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+0*20 = 32+16+0+4+2+0 = 5410;
Перевод дробных чисел
0, | 5625 | 0, | 7 | |
| 2 | 2 | ||
1, | 1250 | 1, | 4 | |
2 | 2 | |||
0, | 2500 | 0, | 8 | |
2 | 2 | |||
0, | 5000 | 1, | 6 | |
2 | 2 | |||
1, | 0000 | 1, | 2 | |
2 | ||||
0, | 4 |
Ответ: 0,562510=0,10012; 0,710=0,10110…2;
6 5 4 3 2 1 0
0,11011012 =1*26+1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 =64+32+8+4+1=10910
Перевод смешанных чисел
17, 2510 = 10001,012
1 8 4 2 0 4 2 2 0 0 1 |
|
Схема Горнера
6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710 | -1 –2 –3 –4 –5 –6 -7 0,1 1 1 0 1 0 12 = 0,914010 |
S6 = 1+ 0 * 2 = 1 S5 = 1+ 1 * 2 = 3 S4 = 0+ 3 * 2 = 6 S3 = 1+ 6 * 2 = 13 S2 = 0+13 * 2 = 26 S1 = 1+26 * 2 = 53 S0 = 1+53 * 2 =107 | S7 = 1 + 0 = 1 S6 = 0 + 1 = 0,5 S5 = 1 + 0,5 = 1,25 S4 = 0 + 1,25 = 0,625 S3 = 1 + 0,625 = 1,3125 S2 = 1 + 1,3125 = 1,6563 S1 = 1 + 1,6563 = 1,8281 S0 = 0 + 1,8261 = 0,9140 |
Перевод чисел из произвольной системы в десятичную
Основание десятичной системы в двоичной системе имеет вид
1 0 1 0 1 1 0 1,12 = ……….10 | |
10101101 1010 1010 10001 1010 1101 1010 1 1010 00111 1 0011 7 3 | 0, 1000 1010 1 000 100 0 101, 0000 5 |
Ответ: 1 0 1 0 1 1 0 1,12 = 173,510 |
Задания
- Переведите целые числа из 10 системы счисления в двоичную:
- 513 2) 600 3) 602 4) 1000
5) 2304 6) 5001 7) 7000 8) 8192
Ответы:
1) 1000000001 2) 1001011000 3) 1001011010 4) 1111101000
5)100100000000 6) 1001110001001 7) 1101101011000 8)10000000000000
- Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления:
1) 0,4622 | 2) 0,5198 | 3) 0,5803 | 4) 0,6124 |
5) 0,7351 | 6) 0,7982 | 7) 0,8544 | 8) 0,9321 |
Ответы: | |||
1) 0,011101 | 2) 0,100001 | 3) 0,100101 | 4) 0,100111 |
5) 0,101111 | 6) 0, 110011 | 7) 0,110110 | 8) 0,111011 |
- Переведите смешанные десятичные числа в 2 систему счисления:
1) 40,5 | 2) 31,75 | 3) 124,25 |
Ответы: | ||
1) 101000,1 | 2) 11111,11 | 3) 1111100,01 |
- Переведите целые числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера:
1)110101110001110 | 2)1001010011011101 | ||
3)10110010010001010 | 4)11000011010100000 | ||
Ответы: | |||
1)27534 | 2)38109 | 3)91274 | 4)100000 |
- Переведите дробные числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера. Счет ведите с 4 знаками после запятой.
1)0,010101100111 | 2)0,100010011011 | ||
3)0,101111001101 | 4)0,110111101111 | ||
Ответы: | |||
1)0,3376 | 2)0,5378 | 3)0,7375 | 4)0,8708 |
Перевод 2 8, 16
5 4 1 0 6 2
1. 101 100 001 000 110 0102 = 5410628; 8 = 23;
2 0 0 15 8 7
2. 0010 0000 0000 1111 1000 01112 = 200F8716; 16=24;
Разбиение начинается от запятой.
5 4 2
3. 0, 101 100 0102 = 5428;
8 0 3
4. 0, 1000 0000 00112 = 80316;
Разбиение начинается от запятой.
Задания
- Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:
1)1010001001011 | 2)101001101111 | 3)110001000100 | ||
4)1010,00100101 | 5)1110,01010001 | 6)1000,1111001 | ||
Ответы: | ||||
1)12113 | 2)13157 | 3)6104 | ||
4)12,112 | 5)16,242 | 6)10,744 |
- Переведите двоичные числа в 16 систему счисления:
1)1010001001011 | 2)1011001101111 | 3)110001000100 | ||
4)1010,00100101 | 5)1110,01010001 | 6)100,1111001 | ||
Ответы: | ||||
1) 144В | 2) 166F | 3) C44 | ||
4) A,25 | 5) E,51 | 6) 4,F2 |
- Переведите 8 числа и 16 числа в двоичную систему счисления:
1)2668 | 2)12708 | 3)10,238 | ||
4)26616 | 5)2A1916 | 6)10,2316 | ||
Ответы: | ||||
1)10110110 | 2)1010111000 | 3)1000,010011 | ||
4)1001100110 | 5)10101000011001 | 6)10000,0010001 |
Перевод в другие системы счисления
17310 =……..8; 17310=………..16;
- целая часть
1 | 7 | 3 | 8 | 1 | 7 | 3 | 1 | 6 | ||||||||||||
1 | 6 | 2 | 1 | 8 | 1 | 6 | 1 | |||||||||||||
1 | 3 | 1 | 6 | 2 | 1 | 3 | ||||||||||||||
8 | 5 | D | ||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||
1 | 7 | 310 | = | 2 | 5 | 58 | 1 | 7 | 310 | = | 1 | D16 |
- дробная часть
0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 5 | 0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 5 | ||||||||||
8 | 1 | 6 | |||||||||||||||||||
5, | 2 | 5 | 0 | 0 | 0 | 10, | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
8 | 1 | 6 | |||||||||||||||||||
2, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 510 | = | 0, | 5 | 28 | 0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 510 | = | 0, | A | 816 | ||
- смешанные числа
1 | 2 | 4, | 2 | 510 | = | ... | 8 | 0, | 2 | 5 | ||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 4 | 8 | 2, | 0 | 0 | ||||||||||||||||||
8 | 1 | 5 | 8 | |||||||||||||||||||||
4 | 4 | 8 | 1 | |||||||||||||||||||||
4 | 0 | 7 | ||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 4, | 2 | 510 | = | 1 | 7 | 4, | 28 | |||||||||||||||
Задания
1. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:
1)8700 | 2)8888 | 3)8900 | 4)9300 |
Ответы: | |||
1)20774 | 2)21270 | 3)21304 | 4)22124 |
2. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:
1) 266 | 2) 1023 | 3) 1280 | 4) 2041 |
Ответы: | |||
1) 10A | 2) 3FF | 3) 500 | 4) 7F9 |
3. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:
1) 0,43 | 2) 37,41 | 3) 2936 | 4) 481,625 |
Ответы: | |||
1) 0,3341… | 2) 45,32 | 3) 5570 | 4) 741,5 |
4. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:
1) 0,17 | 2) 43,78 | 3) 25,25 | 4) 18,5 |
Ответы: | |||
1) 0,2B8 | 2) 2В,С7 | 3) 19,4 | 4) 12,8 |
4. Двоичная система счисления
Общие сведения
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используется всего 2 цифры: 0 и 1. Запись 10 означает число 2.
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Вот что писал П.С. Лаплас об отношении к двоичной системе великого немецкого математика Г.Ф. Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».
Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего из двух символов.
Представим десятичное число 234 в двоичной системе счисления. Для этого составим таблицу:
234 | = 2 * 117 + | 0 | 6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710 | |
| ||||
117 | = 2 * 58 + | 1 | S6 = 1 + 0 * 2 = 1 S5 = 1 + 1 * 2 = 3 S4 = 0 + 3 * 2 = 6 S3 = 1 + 6 * 2 = 13 S2 = 0 + 13 * 2 = 26 S1 = 1 + 26 * 2 = 53 S0 = 1 + 53 * 2 = 107 | |
58 | = 2 * 29 + | 0 | ||
29 | = 2 * 14 + | 1 | ||
14 | = 2 * 7 + | 0 | ||
7 | = 2 * 3 + | 1 | ||
3 | = 2 * 1 + | 1 | ||
1 | = 2 * 0 + | 1 |
23410 = 111010102 11010112 = 10710
Задание
- Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому дню.Двоичная арифметика
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, изложим вкратце правила выполнения арифметических операций над числами, представленными в двоичной записи.
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения, вычитания и умножения:
+ | 0 | 1 | 0 | 1 | х | 0 | 1 | |||
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 1 | 10 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Сложение Вычитание
+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 10 . | 10 | ||||||||||||||
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1, | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 1 | ||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1, | 1 | ||||||
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1, | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0, | 0 | ||||
Умножение
1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 0 | 1 | |||||
1 | 1, | 0 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||||
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Деление
. | 1 | 10 . | 1 | 10 | ||||||||||||||
- | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | |||||
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||||||||||||
1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||||||||
1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 |
Задания
- Выполните операцию сложения над двоичными числами:
1) 10010011+101101 | 2)10110111+10011011 |
3) 1011101+11101101 | 4)10010111+1011100 |
5) 11101001+10011101 | 6)11010011+11011011 |
7) 110010,11+110110,11 | 8)111011,11+101111,11 |
Ответы:
1)11000000 | 2)101010010 |
3)101001010 | 4)11110011 |
5)110000110 | 6)110101110 |
7)1101001,10 | 8)1101011,10 |
- Выполните операцию вычитания над двоичными числами:
1)100001000-10110011 | 2)11001100-101110110 |
3)110101110-10111111 | 4)110010011-110100110 |
5)11011011-110101110 | 6)110000110-10011101 |
7)11110011-10010111 | 8)1100101,101-10101,111 |
Ответы:
1)1010101 | 2)10101010 |
3)11101111 | 4) 11011011 |
5)11010011 | 6)11101001 |
7)1011100 | 8)1001111,110 |
- Выполните операцию умножения над двоичными числами:
1)100001х1111,11 | 2)111110х100010 |
3)100011х1111,01 | 4)111100х100100 |
5)100101х111011 | 6)111010х100110 |
7)100111х111001 | 8)111000х101000 |
Ответы:
1)1000000111,11 | 2)100000111100 |
3)1000010101,11 | 4)100001110000 |
5)100010000111 | 6)100010011100 |
7)100010101111 | 8)100011000000 |
- Выполните операцию деления над двоичными числами:
1)111010001001:111101 | 2)101111001:110101 |
3)11111100101:101011 | 4)100011111111:101111 |
5)100011011100:110110 | 6)100010000111:111011 |
7)111010001000:111100 | 8)101011110101:110111 |
Ответы:
1)111101 | 2)111001 |
3)101111 | 4)110001 |
5)101010 | 6)100101 |
7)111110 | 8)110011 |
Двоичная дополнительная арифметика
А как же МП работает с отрицательными числами?
Как процессор «угадывает», когда он имеет дело с числом, записанным в 2 арифметике, а когда с числом, имеющим знак?
- Целые числа в ПК могут представляться со знаком и без знака.
Диапазоны значений целых чисел без знака:
Формат числа в байтах | Запись с порядком | Обычная запись |
1 байт | 0 - 28-1 | 0-255 |
2 байта | 0 - 216-1 (0-64 кб) | 0-65535 |
4 байта | 0 - 224-1 (0-4 Гб) | 0- 4 Гб |
Целое число в 1 байтовом формате: | От 0000 0000 – до 1111 1111 |
Целое число в 2 байтовом формате: | От 00000000 00000000 – до 11111111 11111111 |
6 5 4 3 2 1 0
Например: 7210=1 0 0 1 0 0 02
Запись целого числа без знака в памяти ПК.
В 1 байтовом формате | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||||
В 2 байтовом формате | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Диапазоны значений целых чисел со знаком:
Целые числа со знаком обычно занимает в памяти ПК 1;2;4 байта, при этом левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.
Знак « + » кодируется нулем.
Знак « - » кодируется единицей.
Формат числа в байтах | Запись с порядком | Обычная запись |
1 байт | -27..…. 27-1 | -128…127 |
2 байта | -215…. 215-1 | -32768…32767 |
4 байта | -231…. 231-1 | - 2 147 483 648…2 147 483 647 |
Рассмотрим особенности записи целого числа со знаком на примере одно- байтового формата, при котором для знака отводится 1 разряд, а для абсолютной величины цифр – 7 разрядов.
В компьютерной технике применяется 3 формы записи (кодирования) целых чисел со знаком:
- Прямой код
- Обратный код
- Дополнительный код
Последние две формы применяются особенно широко.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах изобража -ются одинаково.
Знак «+» знак «+»
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Число 110 = 12 Число 12710 = 11111112
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах имеют разное изображение.
- Прямой код. В знаковый разряд помещается 1, а в остальные разряды код его
абсолютной величины.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
2. Обратный код. Код получается заменой всех цифр двоичного кода абсолютной величины и знака: нули заменяются единицами
единицы заменяются нулями.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
3. Дополнительный код. Код получается из обратного кода с последующим прибавлением 1 к его младшему разряду.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
Отрицательные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и так хранятся, при выводе происходит обратное преобразование.
Задания
- Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
а) в прямом коде; б) в обратном коде; в) в дополнительном коде.
- Запишите числа в прямом коде ( формат 1 байт):
а) 31 | б) -63 | в) 65 | г) -128 |
- Запишите числа в обратном и дополнительных кодах (формат 1 байт):
а) -9 | б) -15 | в) -127 | г) -128 |
- Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
а) 11111000 | б) 10011011 | в) 11101001 | г) 10000000 |
- Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
а) 11101000 | б) 10011111 | в) 10101011 | г) 10000000 |
Арифметические действия с отрицательными числами
Знак числа важен только для действий сложения и вычитания. В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого.
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место 4 основных и 2 особых случая.
Случай 1. А и В положительные.
При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака.
Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.
Например:
Десятичная запись | Двоичные коды | ||||||||||||||||||||||||
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||||||||||||||||
7 | + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||||
Получен правильный результат. |
Случай 2. A>0, B<0; B>A
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||||
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||
- | 1 | 0 | + | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | Обратный код числа -10 | ||||||||||||||
- | 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -7 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | Прямой код числа -7 | ||||||||||||||||||
Получен правильный ответ в обратном коде. |
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||
- | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | Обратный код числа -3 | ||||||||||||||||
7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||
Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового | ||||||||||||||||||||||||||
разряда в младший разряд суммы. |
Случай 4. A<0, B<0
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
- | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | Обратный код числа -3 | ||||||||||||||
- | 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -7 | ||||||||||||||
- | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | Обратный код числа -10 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Прямой код числа -10 | ||||||||||||||||
Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. |
Случай 5. A>0, B>0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
6 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |||||||||||||||
+ | 9 | 7 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||||
1 | 6 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Переполнение | |||||||||||||
Несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки. |
Случай 6. A<0, B<0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
- | 6 | 5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -63 | |||||||||||||
- | 9 | 7 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -95 | |||||||||||||
- | 1 | 6 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Переполнение | ||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||
Знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что является свидетельст-вом переполнения разрядной сетки. |
Все рассмотренные случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел.
Задания
Выполните вычитание чисел путем сложения их обратных кодов в формате 1 байт:
1) 9-2 | 4) -20-10 | 7) -120-15 |
2) 2-9 | 5) 50-25 | 8) -126-1 |
3) -5-7 | 6) 127-1 | 9) -127-1 |
Представление в компьютере вещественных чисел
Вещественными числами в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.
При написании вместо запятой принято писать точку.
Любое число n в системе счисления с основанием q можно записать в виде
N = M * q p, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей запятой. Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: М ∈[0.1;1). Такое представление вещественных чисел называется нормализованным.
Например:
Десятичная система | Двоичная система | |
753.15 = 0.75315*103 | -101.01 = -0.10101*211 | (порядок 112 = 310) |
-0.000034 = -0.34*10-4 | 0.000011 = 0.11*2-100 | (порядок –1002 = -410) |
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по разному.
Характеристики форматов вещественных чисел
Формат вещественных чисел | Размер в байтах | Количество значащих десятичных цифр |
Одинарный | 4 | 7 или 8 |
Вещественный | 6 | 11 или 12 |
Двойной | 8 | 15 или 16 |
Расширенный | 10 | 19 или 20 |
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа, знака порядка.
…… | ……. |
Знак числа Порядок Мантисса
Знак порядка
Рассмотрим на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в 4 байтном формате.
Пример 1 Число 6.2510= 110.012 =0.11001*211
31 | 30 | 22 | 2 | 1 | 0 | ||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | …….. | 0 | 0 | |
Порядок | Мантисса | ||||||||||||||||||
Знак числа | Знак порядка |
Пример 2 Число – 0.12510 = - 0.0012 = - 0.1*2-101;
(отрицательный порядок записан в дополнительном коде)
-310 =1000 00112=1111 11002=1111 11012;
31 | 30 | 22 | 2 | 1 | 0 | ||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ……. | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Порядок | Мантисса | ||||||||||||||||||
Знак числа | Знак порядка |
Задания
Запишите числа в нормализованном виде в 4 байтном формате:
1) 23,4510 2) –17,8510 3) 5,2510 4) – 0,0005910
Арифметические действия над нормализованными числами
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Пример 1. Сложим двоичные нормализованные числа 0.10111*2-1 и 0.11011*210.
Разность порядков слагаемых равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
0. | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | 210 | |||||
+ | 0. | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | * | 210 | |||||||
0. | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | * | 210 | |||||
Пример 2 Выполним вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
0. | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | ||||||||
0. | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | |||||||
0. | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | |||||||
Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.
Умножение
При умножении двух нормализованных их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
Пример 3 Выполним умножение двоичных нормализованных чисел:
(0.11101*2101)*(0.1001*211)=(0.11101*0.1001)*2(101+11)=0.100000101*21000.
Деление
При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
Пример 4 Выполним деление двоичных нормализованных чисел:
0.1111*2100 : 0.101*211 = (0.1111:0.101)*2 (100-11)= 1.1*21=0.11*210.
Арифметические операции
в позиционных системах счисления
Операции сложения, вычитания, умножения и деления в разных системах счисления выполняются по одним правилам. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
|
|
Сложение в шестнадцатеричной системе
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
A | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
B | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A |
C | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B |
D | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C |
E | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D |
F | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Пример 1 Сложим числа в 8 и 16 системах счисления.
Восьмеричная: 178 + 68 | Шестнадцатеричная: F16 + 616 | ||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||
1 | 7 | F | |||||||||||||||||||||
+ | 6 | + | 6 | ||||||||||||||||||||
2 | 5 | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||
7+6-8=5 | 15+6-16=5 | ||||||||||||||||||||||
1+1=2 | |||||||||||||||||||||||
Восьмеричная: 215,48 + 73,68 | Шестнадцатеричная: 8D,816 + 3B,C16 | ||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||
2 | 1 | 5, | 4 | 8 | D, | 8 | |||||||||||||||||
+ | 7 | 3, | 6 | + | 3 | B, | C | ||||||||||||||||
3 | 1 | 1, | 2 | C | 9, | 4 | |||||||||||||||||
4+6-8=2 | 8+12-16=4 | ||||||||||||||||||||||
1+5+3-8=1 | 13+11+1-16=9 | ||||||||||||||||||||||
1+1+7-8=1 | 8+3+1-16=12=C | ||||||||||||||||||||||
1+2=3 | |||||||||||||||||||||||
Пример 2 Вычитание двух чисел в 8 и 16 системах счисления.
Восьмеричная: 311,28 - 73,68 | Шестнадцатеричная: C9,416 - 3B,C16 | ||||||||||||||||||||||||
. | .8 | .8 | 8 | . | .16 | 16 | |||||||||||||||||||
3 | 1 | 1, | 2 | C | 9, | 4 | |||||||||||||||||||
- | 7 | 3, | 6 | - | 3 | B, | C | ||||||||||||||||||
2 | 1 | 5, | 4 | 8 | D, | 8 | |||||||||||||||||||
8+2-6=4 | 16+4-12=8 | ||||||||||||||||||||||||
8-3=5 | 16+8-11=13=D | ||||||||||||||||||||||||
8-7=1 | 12-1-3=8 | ||||||||||||||||||||||||
3-1=2 | |||||||||||||||||||||||||
Предварительный просмотр:
Тема «Система счисления» в школьном курсе информатики занимает особое место. Ее изучение позволяет не только объяснить учащимся арифметические основы ЭВМ, указать на особенности и преимущества двоичной системы счисления, но и расширить представление школьников о системах счисления вообще.
План изучения темы:
1. Понятие о системах счисления
Как считали в прошлом
Основные определения
Задания
2. Представление чисел в позиционных системах счисления
Алфавит систем счисления
Задания
3. Связь между системами счисления
Перевод целых чисел
Перевод дробных чисел
Перевод смешанных чисел
Перевод в другие системы счисления
Схема Горнера
Перевод чисел из произвольной системы в десятичную
Задания
Перевод 2 8, 16
Задания
4. Двоичная система счисления
Общие сведения
Двоичная арифметика
Задания
Двоичная дополнительная арифметика
1. Понятие о системах счисления
Как считали в прошлом
«Все есть число»,- говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.
Следы древних систем счета встречаются в культуре и обычаях многих народов.
К Древнему Вавилону восходит деление числа на 60 минут и угла на 360 градусов.
К Древнему Риму восходит традиция записывать числа: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, …
К англосаксам - жителям Британских островов - восходит традиция счета дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на два периода по 12 часов, карандашей и фломастеров в наборе обычно бывает 6,12,24.
А вот Шведский король Карл XII в 1 7 17 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.
Пятеричная система использовалась в Китае.
Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V-VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили. Получив название арабской, эта система в XII в. распространилась по всей Европе.
Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами – конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в XVII- XIX вв. Великий немецкий ученый Лейбниц считал:
«Вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия…. При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
Позже двоичная система была забыта, и только в 1936- 1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
Основные определения
Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.
Непозиционными системами называется такая система, в которой значение каждой цифры не зависит от ее положения в коде числа.
Позиционной системой называется система, в которой значение цифры зависит от ее места в коде числа.
Пример 1 (непозиционной системы счисления), римская
I -- 1 | C -- 100 |
V -- 5 | D -- 500 |
X -- 10 | M -- 1000 |
L -- 50 |
Правило записи:
- Меньшие знаки, поставленные справа от большего – прибавляются к его значению.
- Меньшие знаки, поставленные слева от большего – вычитаются из него.
IX - 9 | XXVIII - 28 |
XI -11 | IC -- 99 |
XXVII означает 10+10+5+1+1 = 27
MMMD = 1000 + 1000 + 1000 + 500 = 3500
MCMXCIV = 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994
Правило записи:
Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются. Если же какая-то буква нарушает порядок, то из ее значения вычитается значение предыдущей буквы.
Пример 2 (позиционные системы счисления) – 2, 5, 8, 10, 12, 16, 60, и др.
10 сист. сч. – Возникла в Вавилоне, Древняя Греция. Завершена в Индии V-VII в. Распространилась в Европе – XII в.
12сист. сч. – Дюжина.
5 сист. сч. – Китай.
8 сист. сч. – Шведский король-XII, 1717 год.
60 сист. сч. – Вавилон.
Задания
- Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.
- Что вы можете сказать о числах VVV и 555?
2. Представление чисел в позиционных системах счисления
Существует полная и краткая формы записи числа.
Краткая форма:
13910, 1325, 248
Формула:
А = ап-1 ап-2 … а1 а0 а-1 а-2 … аm
Полная форма:
2 1 0
1 3 910 = 1*102 + 3*101 + 9* 100
2 1 0
1324 = 1* 42 + 3*41 + 2*40
1 0
245 = 2*51 + 4*50
Например:
3 2 1 0 -1 -2
- А10 = 4718,6310
А10 = 4*103 + 7*102 + 1*101 + 8*100 + 6*10-1 + 3*10-2
3 2 1 0 -1
- А8 = 7764,1
А8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 + 1*8-1
Каждая система имеет название, основание, алфавит.
Название сист. | десятичная | восьмеричная |
Основание | 10 | 8 |
Алфавит | 0, 1,2, 3,4,5,6,7,8,9 | 0,1,2,3,4,5,6,7 |
- Пятеричная система, основание – q = 5.
Алфавит -- 0,1,2,3,4
3 2 1 0 -1 -2
А5=2430,215
А5=2*53+4*52+3*51+0*50+2*5-1+1*5-2
4. Шестнадцатеричная система, q =16 – основание.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
10 11 12 13 14 15
2 1 0
А16=3AF16
A16 = 3*162+A*162+F*160 = 3*162+10*161+15*160
Правило: Вычислив эти выражения, можно получить десятичный эквивалент числа.
Алфавит систем счисления
10 сист. | 2 сист. | 8 сист. | 16 сист. |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
Задания
- Запишите в развернутом виде числа:
А10 = 143511; А8 = 143511; А7 = 143511; А16 = 143511
- Запишите в десятичной системе счисления числа:
А9 = 8881; А5 = 423,1; А3 = 120; А16 = 2Е5А,12; А4 = 100,21
- Как записывается в десятичной системе счисления число 10101, если считать его написанным в системах счисления: 2, 8, 16.
«Несерьезные» вопросы | Серьезные ответы |
Когда 2х2 = 100? | В двоичной системе |
Когда 2х2 = 11? | В троичной системе |
Когда 2х3 = 11? | В пятеричной системе |
Когда 3х3 = 13? | В шестеричной системе |
- Связь между системами счисления
Перевод целых чисел
10 2
1. 11 2
10 5 2
1 4 2 2
1 2 1 Ответ: 1110=10112
0
2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить другой способ:
Число | 363 | 181 | 90 | 45 | 22 | 11 | 5 | 2 | 1 |
Делитель | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Остаток | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Ответ: 36310 = 1011010112
2 10
5 4 3 2 1 0
1101102 = 1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+0*20 = 32+16+0+4+2+0 = 5410;
Перевод дробных чисел
0, | 5625 | 0, | 7 | |
| 2 | 2 | ||
1, | 1250 | 1, | 4 | |
2 | 2 | |||
0, | 2500 | 0, | 8 | |
2 | 2 | |||
0, | 5000 | 1, | 6 | |
2 | 2 | |||
1, | 0000 | 1, | 2 | |
2 | ||||
0, | 4 |
Ответ: 0,562510=0,10012; 0,710=0,10110…2;
6 5 4 3 2 1 0
0,11011012 =1*26+1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 =64+32+8+4+1=10910
Перевод смешанных чисел
17, 2510 = 10001,012
1 8 4 2 0 4 2 2 0 0 1 |
|
Схема Горнера
6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710 | -1 –2 –3 –4 –5 –6 -7 0,1 1 1 0 1 0 12 = 0,914010 |
S6 = 1+ 0 * 2 = 1 S5 = 1+ 1 * 2 = 3 S4 = 0+ 3 * 2 = 6 S3 = 1+ 6 * 2 = 13 S2 = 0+13 * 2 = 26 S1 = 1+26 * 2 = 53 S0 = 1+53 * 2 =107 | S7 = 1 + 0 = 1 S6 = 0 + 1 = 0,5 S5 = 1 + 0,5 = 1,25 S4 = 0 + 1,25 = 0,625 S3 = 1 + 0,625 = 1,3125 S2 = 1 + 1,3125 = 1,6563 S1 = 1 + 1,6563 = 1,8281 S0 = 0 + 1,8261 = 0,9140 |
Перевод чисел из произвольной системы в десятичную
Основание десятичной системы в двоичной системе имеет вид
1 0 1 0 1 1 0 1,12 = ……….10 | |
10101101 1010 1010 10001 1010 1101 1010 1 1010 00111 1 0011 7 3 | 0, 1000 1010 1 000 100 0 101, 0000 5 |
Ответ: 1 0 1 0 1 1 0 1,12 = 173,510 |
Задания
- Переведите целые числа из 10 системы счисления в двоичную:
- 513 2) 600 3) 602 4) 1000
5) 2304 6) 5001 7) 7000 8) 8192
Ответы:
1) 1000000001 2) 1001011000 3) 1001011010 4) 1111101000
5)100100000000 6) 1001110001001 7) 1101101011000 8)10000000000000
- Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления:
1) 0,4622 | 2) 0,5198 | 3) 0,5803 | 4) 0,6124 |
5) 0,7351 | 6) 0,7982 | 7) 0,8544 | 8) 0,9321 |
Ответы: | |||
1) 0,011101 | 2) 0,100001 | 3) 0,100101 | 4) 0,100111 |
5) 0,101111 | 6) 0, 110011 | 7) 0,110110 | 8) 0,111011 |
- Переведите смешанные десятичные числа в 2 систему счисления:
1) 40,5 | 2) 31,75 | 3) 124,25 |
Ответы: | ||
1) 101000,1 | 2) 11111,11 | 3) 1111100,01 |
- Переведите целые числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера:
1)110101110001110 | 2)1001010011011101 | ||
3)10110010010001010 | 4)11000011010100000 | ||
Ответы: | |||
1)27534 | 2)38109 | 3)91274 | 4)100000 |
- Переведите дробные числа из 2 системы в 10 по схеме Горнера. Счет ведите с 4 знаками после запятой.
1)0,010101100111 | 2)0,100010011011 | ||
3)0,101111001101 | 4)0,110111101111 | ||
Ответы: | |||
1)0,3376 | 2)0,5378 | 3)0,7375 | 4)0,8708 |
Перевод 2 8, 16
5 4 1 0 6 2
1. 101 100 001 000 110 0102 = 5410628; 8 = 23;
2 0 0 15 8 7
2. 0010 0000 0000 1111 1000 01112 = 200F8716; 16=24;
Разбиение начинается от запятой.
5 4 2
3. 0, 101 100 0102 = 5428;
8 0 3
4. 0, 1000 0000 00112 = 80316;
Разбиение начинается от запятой.
Задания
- Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:
1)1010001001011 | 2)101001101111 | 3)110001000100 | ||
4)1010,00100101 | 5)1110,01010001 | 6)1000,1111001 | ||
Ответы: | ||||
1)12113 | 2)13157 | 3)6104 | ||
4)12,112 | 5)16,242 | 6)10,744 |
- Переведите двоичные числа в 16 систему счисления:
1)1010001001011 | 2)1011001101111 | 3)110001000100 | ||
4)1010,00100101 | 5)1110,01010001 | 6)100,1111001 | ||
Ответы: | ||||
1) 144В | 2) 166F | 3) C44 | ||
4) A,25 | 5) E,51 | 6) 4,F2 |
- Переведите 8 числа и 16 числа в двоичную систему счисления:
1)2668 | 2)12708 | 3)10,238 | ||
4)26616 | 5)2A1916 | 6)10,2316 | ||
Ответы: | ||||
1)10110110 | 2)1010111000 | 3)1000,010011 | ||
4)1001100110 | 5)10101000011001 | 6)10000,0010001 |
Перевод в другие системы счисления
17310 =……..8; 17310=………..16;
- целая часть
1 | 7 | 3 | 8 | 1 | 7 | 3 | 1 | 6 | ||||||||||||
1 | 6 | 2 | 1 | 8 | 1 | 6 | 1 | |||||||||||||
1 | 3 | 1 | 6 | 2 | 1 | 3 | ||||||||||||||
8 | 5 | D | ||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||
1 | 7 | 310 | = | 2 | 5 | 58 | 1 | 7 | 310 | = | 1 | D16 |
- дробная часть
0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 5 | 0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 5 | ||||||||||
8 | 1 | 6 | |||||||||||||||||||
5, | 2 | 5 | 0 | 0 | 0 | 10, | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
8 | 1 | 6 | |||||||||||||||||||
2, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 510 | = | 0, | 5 | 28 | 0, | 6 | 5 | 6 | 2 | 510 | = | 0, | A | 816 | ||
- смешанные числа
1 | 2 | 4, | 2 | 510 | = | ... | 8 | 0, | 2 | 5 | ||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 4 | 8 | 2, | 0 | 0 | ||||||||||||||||||
8 | 1 | 5 | 8 | |||||||||||||||||||||
4 | 4 | 8 | 1 | |||||||||||||||||||||
4 | 0 | 7 | ||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 4, | 2 | 510 | = | 1 | 7 | 4, | 28 | |||||||||||||||
Задания
1. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:
1)8700 | 2)8888 | 3)8900 | 4)9300 |
Ответы: | |||
1)20774 | 2)21270 | 3)21304 | 4)22124 |
2. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:
1) 266 | 2) 1023 | 3) 1280 | 4) 2041 |
Ответы: | |||
1) 10A | 2) 3FF | 3) 500 | 4) 7F9 |
3. Переведите целые числа из 10 – й в восьмеричную систему счисления:
1) 0,43 | 2) 37,41 | 3) 2936 | 4) 481,625 |
Ответы: | |||
1) 0,3341… | 2) 45,32 | 3) 5570 | 4) 741,5 |
4. Переведите целые числа из 10 – й в 16 –ю систему счисления:
1) 0,17 | 2) 43,78 | 3) 25,25 | 4) 18,5 |
Ответы: | |||
1) 0,2B8 | 2) 2В,С7 | 3) 19,4 | 4) 12,8 |
4. Двоичная система счисления
Общие сведения
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используется всего 2 цифры: 0 и 1. Запись 10 означает число 2.
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Вот что писал П.С. Лаплас об отношении к двоичной системе великого немецкого математика Г.Ф. Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».
Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего из двух символов.
Представим десятичное число 234 в двоичной системе счисления. Для этого составим таблицу:
234 | = 2 * 117 + | 0 | 6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 0 1 12 = 10710 | |
| ||||
117 | = 2 * 58 + | 1 | S6 = 1 + 0 * 2 = 1 S5 = 1 + 1 * 2 = 3 S4 = 0 + 3 * 2 = 6 S3 = 1 + 6 * 2 = 13 S2 = 0 + 13 * 2 = 26 S1 = 1 + 26 * 2 = 53 S0 = 1 + 53 * 2 = 107 | |
58 | = 2 * 29 + | 0 | ||
29 | = 2 * 14 + | 1 | ||
14 | = 2 * 7 + | 0 | ||
7 | = 2 * 3 + | 1 | ||
3 | = 2 * 1 + | 1 | ||
1 | = 2 * 0 + | 1 |
23410 = 111010102 11010112 = 10710
Задание
- Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому дню.Двоичная арифметика
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, изложим вкратце правила выполнения арифметических операций над числами, представленными в двоичной записи.
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения, вычитания и умножения:
+ | 0 | 1 | 0 | 1 | х | 0 | 1 | |||
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 1 | 10 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Сложение Вычитание
+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 10 . | 10 | ||||||||||||||
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1, | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 1 | ||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1, | 1 | ||||||
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1, | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0, | 0 | ||||
Умножение
1 | 1 | 0 | 0 | 1, | 0 | 1 | |||||
1 | 1, | 0 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||||
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Деление
. | 1 | 10 . | 1 | 10 | ||||||||||||||
- | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | |||||
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||||||||||||
1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||||||||
1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 |
Задания
- Выполните операцию сложения над двоичными числами:
1) 10010011+101101 | 2)10110111+10011011 |
3) 1011101+11101101 | 4)10010111+1011100 |
5) 11101001+10011101 | 6)11010011+11011011 |
7) 110010,11+110110,11 | 8)111011,11+101111,11 |
Ответы:
1)11000000 | 2)101010010 |
3)101001010 | 4)11110011 |
5)110000110 | 6)110101110 |
7)1101001,10 | 8)1101011,10 |
- Выполните операцию вычитания над двоичными числами:
1)100001000-10110011 | 2)11001100-101110110 |
3)110101110-10111111 | 4)110010011-110100110 |
5)11011011-110101110 | 6)110000110-10011101 |
7)11110011-10010111 | 8)1100101,101-10101,111 |
Ответы:
1)1010101 | 2)10101010 |
3)11101111 | 4) 11011011 |
5)11010011 | 6)11101001 |
7)1011100 | 8)1001111,110 |
- Выполните операцию умножения над двоичными числами:
1)100001х1111,11 | 2)111110х100010 |
3)100011х1111,01 | 4)111100х100100 |
5)100101х111011 | 6)111010х100110 |
7)100111х111001 | 8)111000х101000 |
Ответы:
1)1000000111,11 | 2)100000111100 |
3)1000010101,11 | 4)100001110000 |
5)100010000111 | 6)100010011100 |
7)100010101111 | 8)100011000000 |
- Выполните операцию деления над двоичными числами:
1)111010001001:111101 | 2)101111001:110101 |
3)11111100101:101011 | 4)100011111111:101111 |
5)100011011100:110110 | 6)100010000111:111011 |
7)111010001000:111100 | 8)101011110101:110111 |
Ответы:
1)111101 | 2)111001 |
3)101111 | 4)110001 |
5)101010 | 6)100101 |
7)111110 | 8)110011 |
Двоичная дополнительная арифметика
А как же МП работает с отрицательными числами?
Как процессор «угадывает», когда он имеет дело с числом, записанным в 2 арифметике, а когда с числом, имеющим знак?
- Целые числа в ПК могут представляться со знаком и без знака.
Диапазоны значений целых чисел без знака:
Формат числа в байтах | Запись с порядком | Обычная запись |
1 байт | 0 - 28-1 | 0-255 |
2 байта | 0 - 216-1 (0-64 кб) | 0-65535 |
4 байта | 0 - 224-1 (0-4 Гб) | 0- 4 Гб |
Целое число в 1 байтовом формате: | От 0000 0000 – до 1111 1111 |
Целое число в 2 байтовом формате: | От 00000000 00000000 – до 11111111 11111111 |
6 5 4 3 2 1 0
Например: 7210=1 0 0 1 0 0 02
Запись целого числа без знака в памяти ПК.
В 1 байтовом формате | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||||
В 2 байтовом формате | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Диапазоны значений целых чисел со знаком:
Целые числа со знаком обычно занимает в памяти ПК 1;2;4 байта, при этом левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.
Знак « + » кодируется нулем.
Знак « - » кодируется единицей.
Формат числа в байтах | Запись с порядком | Обычная запись |
1 байт | -27..…. 27-1 | -128…127 |
2 байта | -215…. 215-1 | -32768…32767 |
4 байта | -231…. 231-1 | - 2 147 483 648…2 147 483 647 |
Рассмотрим особенности записи целого числа со знаком на примере одно- байтового формата, при котором для знака отводится 1 разряд, а для абсолютной величины цифр – 7 разрядов.
В компьютерной технике применяется 3 формы записи (кодирования) целых чисел со знаком:
- Прямой код
- Обратный код
- Дополнительный код
Последние две формы применяются особенно широко.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах изобража -ются одинаково.
Знак «+» знак «+»
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Число 110 = 12 Число 12710 = 11111112
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах имеют разное изображение.
- Прямой код. В знаковый разряд помещается 1, а в остальные разряды код его
абсолютной величины.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
2. Обратный код. Код получается заменой всех цифр двоичного кода абсолютной величины и знака: нули заменяются единицами
единицы заменяются нулями.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
3. Дополнительный код. Код получается из обратного кода с последующим прибавлением 1 к его младшему разряду.
Число -1 | Число -127 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Знак числа «-» Знак числа «-»
Отрицательные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и так хранятся, при выводе происходит обратное преобразование.
Задания
- Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
а) в прямом коде; б) в обратном коде; в) в дополнительном коде.
- Запишите числа в прямом коде ( формат 1 байт):
а) 31 | б) -63 | в) 65 | г) -128 |
- Запишите числа в обратном и дополнительных кодах (формат 1 байт):
а) -9 | б) -15 | в) -127 | г) -128 |
- Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
а) 11111000 | б) 10011011 | в) 11101001 | г) 10000000 |
- Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
а) 11101000 | б) 10011111 | в) 10101011 | г) 10000000 |
Арифметические действия с отрицательными числами
Знак числа важен только для действий сложения и вычитания. В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого.
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место 4 основных и 2 особых случая.
Случай 1. А и В положительные.
При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака.
Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.
Например:
Десятичная запись | Двоичные коды | ||||||||||||||||||||||||
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||||||||||||||||
7 | + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||||
Получен правильный результат. |
Случай 2. A>0, B<0; B>A
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||||
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||
- | 1 | 0 | + | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | Обратный код числа -10 | ||||||||||||||
- | 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -7 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | Прямой код числа -7 | ||||||||||||||||||
Получен правильный ответ в обратном коде. |
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||
- | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | Обратный код числа -3 | ||||||||||||||||
7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||
Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового | ||||||||||||||||||||||||||
разряда в младший разряд суммы. |
Случай 4. A<0, B<0
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
- | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | Обратный код числа -3 | ||||||||||||||
- | 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -7 | ||||||||||||||
- | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | Обратный код числа -10 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Прямой код числа -10 | ||||||||||||||||
Компьютер исправляет полученный результат переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. |
Случай 5. A>0, B>0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
6 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |||||||||||||||
+ | 9 | 7 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||||
1 | 6 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Переполнение | |||||||||||||
Несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки. |
Случай 6. A<0, B<0, A+B>= 2n-1 (для однобайтового формата n = 8, 27=128)
Десятичная запись | Двоичные коды | |||||||||||||||||||||||
- | 6 | 5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -63 | |||||||||||||
- | 9 | 7 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Обратный код числа -95 | |||||||||||||
- | 1 | 6 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Переполнение | ||||||||||||
+ | 1 | |||||||||||||||||||||||
Знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что является свидетельст-вом переполнения разрядной сетки. |
Все рассмотренные случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел.
Задания
Выполните вычитание чисел путем сложения их обратных кодов в формате 1 байт:
1) 9-2 | 4) -20-10 | 7) -120-15 |
2) 2-9 | 5) 50-25 | 8) -126-1 |
3) -5-7 | 6) 127-1 | 9) -127-1 |
Представление в компьютере вещественных чисел
Вещественными числами в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.
При написании вместо запятой принято писать точку.
Любое число n в системе счисления с основанием q можно записать в виде
N = M * q p, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей запятой. Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: М ∈[0.1;1). Такое представление вещественных чисел называется нормализованным.
Например:
Десятичная система | Двоичная система | |
753.15 = 0.75315*103 | -101.01 = -0.10101*211 | (порядок 112 = 310) |
-0.000034 = -0.34*10-4 | 0.000011 = 0.11*2-100 | (порядок –1002 = -410) |
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по разному.
Характеристики форматов вещественных чисел
Формат вещественных чисел | Размер в байтах | Количество значащих десятичных цифр |
Одинарный | 4 | 7 или 8 |
Вещественный | 6 | 11 или 12 |
Двойной | 8 | 15 или 16 |
Расширенный | 10 | 19 или 20 |
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа, знака порядка.
…… | ……. |
Знак числа Порядок Мантисса
Знак порядка
Рассмотрим на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в 4 байтном формате.
Пример 1 Число 6.2510= 110.012 =0.11001*211
31 | 30 | 22 | 2 | 1 | 0 | ||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | …….. | 0 | 0 | |
Порядок | Мантисса | ||||||||||||||||||
Знак числа | Знак порядка |
Пример 2 Число – 0.12510 = - 0.0012 = - 0.1*2-101;
(отрицательный порядок записан в дополнительном коде)
-310 =1000 00112=1111 11002=1111 11012;
31 | 30 | 22 | 2 | 1 | 0 | ||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ……. | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Порядок | Мантисса | ||||||||||||||||||
Знак числа | Знак порядка |
Задания
Запишите числа в нормализованном виде в 4 байтном формате:
1) 23,4510 2) –17,8510 3) 5,2510 4) – 0,0005910
Арифметические действия над нормализованными числами
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Пример 1. Сложим двоичные нормализованные числа 0.10111*2-1 и 0.11011*210.
Разность порядков слагаемых равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
0. | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | 210 | |||||
+ | 0. | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | * | 210 | |||||||
0. | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | * | 210 | |||||
Пример 2 Выполним вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
0. | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | ||||||||
0. | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | |||||||
0. | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | * | 210 | |||||||
Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.
Умножение
При умножении двух нормализованных их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
Пример 3 Выполним умножение двоичных нормализованных чисел:
(0.11101*2101)*(0.1001*211)=(0.11101*0.1001)*2(101+11)=0.100000101*21000.
Деление
При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
Пример 4 Выполним деление двоичных нормализованных чисел:
0.1111*2100 : 0.101*211 = (0.1111:0.101)*2 (100-11)= 1.1*21=0.11*210.
Арифметические операции
в позиционных системах счисления
Операции сложения, вычитания, умножения и деления в разных системах счисления выполняются по одним правилам. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
|
|
Сложение в шестнадцатеричной системе
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
A | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
B | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A |
C | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B |
D | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C |
E | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D |
F | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Пример 1 Сложим числа в 8 и 16 системах счисления.
Восьмеричная: 178 + 68 | Шестнадцатеричная: F16 + 616 | ||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||
1 | 7 | F | |||||||||||||||||||||
+ | 6 | + | 6 | ||||||||||||||||||||
2 | 5 | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||
7+6-8=5 | 15+6-16=5 | ||||||||||||||||||||||
1+1=2 | |||||||||||||||||||||||
Восьмеричная: 215,48 + 73,68 | Шестнадцатеричная: 8D,816 + 3B,C16 | ||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||
2 | 1 | 5, | 4 | 8 | D, | 8 | |||||||||||||||||
+ | 7 | 3, | 6 | + | 3 | B, | C | ||||||||||||||||
3 | 1 | 1, | 2 | C | 9, | 4 | |||||||||||||||||
4+6-8=2 | 8+12-16=4 | ||||||||||||||||||||||
1+5+3-8=1 | 13+11+1-16=9 | ||||||||||||||||||||||
1+1+7-8=1 | 8+3+1-16=12=C | ||||||||||||||||||||||
1+2=3 | |||||||||||||||||||||||
Пример 2 Вычитание двух чисел в 8 и 16 системах счисления.
Восьмеричная: 311,28 - 73,68 | Шестнадцатеричная: C9,416 - 3B,C16 | ||||||||||||||||||||||||
. | .8 | .8 | 8 | . | .16 | 16 | |||||||||||||||||||
3 | 1 | 1, | 2 | C | 9, | 4 | |||||||||||||||||||
- | 7 | 3, | 6 | - | 3 | B, | C | ||||||||||||||||||
2 | 1 | 5, | 4 | 8 | D, | 8 | |||||||||||||||||||
8+2-6=4 | 16+4-12=8 | ||||||||||||||||||||||||
8-3=5 | 16+8-11=13=D | ||||||||||||||||||||||||
8-7=1 | 12-1-3=8 | ||||||||||||||||||||||||
3-1=2 | |||||||||||||||||||||||||
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока по теме: Методы решения задач по теме «Системы счисления» в различных средах.
Урок можно использовать при повторении курса информатики в 11 классе, учащимся предлагается вспомнить алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую, работу в среде эле...
Методическая разработка по решению олимпиадных задач по информатике на тему "Системы счисления"
Решение олимпиадных задач по теме "Системы счисления"...
Методическая разработка урока по теме "Арифметические операции в позиционных системах счисления"
Урок разработан с учетом особенностей работы в школе для детей с девиантным поведением....
Методическая разработка (Системы счисления)
Системы счисления. Рабочая тетрадь для 8 класса....
![](/sites/default/files/pictures/2014/09/29/picture-488988-1411977574.jpg)
Методическая разработка к уроку информатики "Системы счисления"
Материал предназначен для учащихся 9-х классов при изучении систем счисления....
Методическая разработка по информатике на тему "Информация. Системы счисления"
В данном пособии представлены разработки уроков раздела «Информация. Кодирование информации», темы которого входят в состав обязательного минимума содержания образования по информатике.В рамках ...
![](/sites/default/files/pictures/2013/03/15/picture-102328-1363331698.jpg)
Методическая разработка по информатике "Системы счисления"
Рассматривается история появления различных систем счисления. Перевод и арифметические операции с ними....