Конспекты уроков по теме "Основы логики"
план-конспект урока по информатике и икт (11 класс) по теме

Тема урока

 «Основы логики»

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: ознакомить учащихся с понятиями логика, алгебра логики, понятие, высказывание, умозаключение; научить строить таблицы истинности, используя логические операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания; закрепить полученные знания путем решения задач.

Развивающая: логическое мышление, речь, внимание, память, способности преодолевать трудности при работе на уроке и анализировать полученные результаты.

Воспитательная: интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: комбинированный

Межпредметные связи: математика, история

Наглядные пособия: компьютер, экран, проектор, презентация по теме

Литература: Угринович Н.“Информатика и информационные технологии для 10-11 классов”, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1. Организационный момент

2. Изучение учебного материала

3. Физминутка

4. Закрепление изученного материала

5. Подведение итогов, домашнее задание, методические указания по его выполнению

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2.Изучение учебного материала Учитель пользуется презентацией, во время изучения слайдов ученики записывают в тетрадях определения (Приложение 1).

Самый простой и ясный способ научиться правильно мыслить самому и находить ошибки в чужих суждениях – это освоить основы формальной логики.

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания

Слайд 1.

Логика – это наука о формах и способах мышления

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основные формы мышления: понятие, высказывание и умозаключение

Слайд 2.

Понятие – форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта

Имеет две стороны: содержание и объем

Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объектов. Чтобы раскрыть содержание понятия необходимо найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется

Пример

Прямоугольник, проливной дождь, компьютер.

Слайд 3.

Своё понимание окружающего мира человек формируется в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.

         Высказывание могут быть выражены с помощью не только естественных языков, но и формальных. Например, высказывание на естественном языке имеет вид «Два умножить на два равно четырем», а на формальном языке оно записывается в виде: «2*2=4».

Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Высказывание является повествовательным предложением. По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

Пример

Истинное высказывание: «Буква «а» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Слайд 4

Пример

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1.Прослушайте сообщение.

2.Назовите устройство ввода информации.

3. Кто отсутствует?

4.Лондон — столица Англии. (ИСТИНА)

5. Число 11 является простым. (ИСТИНА)

6. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)

7. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

8. Умножьте числа 25 и 4

9.Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА)

10. Все медведи — бурые. (ЛОЖЬ)

11.Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.

Слайд 5

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключения проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Пример

Дано высказывание(посылка): «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание (заключение): «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений. (доказательство пытаются сделать дети)

Пусть основанием треугольника является сторона с, тогда а=b. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например а. Тогда b=с. Следовательно, a=b=c. Треугольник равносторонний.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Например, высказывания « Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединениях союзом «и».

Если истинность или сложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здорового смысла, то истинность или сложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

Слайд 6

Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах английского математика  Джорджа Буля.

Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими  методами, не вникая в их содержание.

Алгебра высказываний была разработана для того ,чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

Слайд 7

 В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:

    А = «Два умножить на два равно четырем».

    В = «Два умножить на два равно пяти».

 Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными .

Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложное (В = 0).

Слайд 8

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не»

Слайд 9

Объединение двух (или несколько) высказываний в одно с помощью союза «и» называются операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции) , истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:

«2*2=5 и 3*3=10»

«2*2=5 и 3*3=9»

«2*2=4 и 3*3=10»  

«2*2=4  и 3*3=9»

Слайд 10  

Перейдем теперь от записи высказываний не естественном языке к их записи на формальном языке алгебры высказываний. Операцию логического умножения (конъюнкцию) приятно обозначать значком « &» либо «^».

Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:

                                                F=A ^ B

C  точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменны A и B, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).

Самая функция логического умножения   F  также принимать лишь два значения  «истина (1) и «ложь» (0).

Значение логического функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов

По таблицы истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения.

Слайд 11

Таблица истинности логического умножения

Слайд 12  

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

 Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

 Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического сложения,  ложно только первое, так как в трех последних составных высказываниях хотя бы одного из простых высказываний истинно:

«2 * 2 = 5 или 3* 3 = 10» - ложь

«2 * 2 = 5 или 3 * 3 = 9» - истина

«2 * 2 = 4 или 3 * 3 =10» - истина

«2 * 2 =4 или 3 * 3 = 9» - истина

Слайд 13

Перейдем теперь от записи высказываний не естественном языке к их записи на формальном языке алгебры высказываний. Операцию логического сложения (дизъюнкцию) приятно обозначать значком «v» либо «+».

Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:  F=A v B

Слайд 14

Таблица истинности логического сложения

Слайд 15

Присоединение частицы «не» к высказываниям называются операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным

Слайд 16

Операцию логического отрицания над высказыванием А принято обозначать    ¬А

Пусть А – истинное высказывание. Тогда высказывание F, образованное с помощью операции логического отрицания – ложно

Слайд 17

 Таблица истинности логического отрицания

3. Физминутка

4. Закрепление изученного материала

Упражнение 1

Даны высказывания: А =«р делится на 5» и

                                     В =«р - нечетное число»

 Найти множество значений р, при которых результат логического сложения будет

1) истинным;

2) ложным.

Упражнение 3

Слайд 18

Найдите значения логических выражений:

F = (0v0) v(1v1) (ответ: 1)

F = (1v1)v(1v0) (ответ: 1)

F= (0&0)&(1&1) (ответ: 0)

F= ¬1&(1 v1) v(¬0&1) (ответ: 1)

F = (¬1v1)&(1v¬1)&( ¬1v 0) (ответ: 0)

5. Подведение итогов. Фронтальная беседа с учащимися по теме урока. Скажите, в каких предметах пригодится знание основ логики, приведите примеры. (Русский язык, математика).

Рефлексия.

Продолжите предложение:

Сегодняшнее занятие мне позволило...

Я никогда не думал(а) что…

В своей работе я…

Домашнее задание (указания по его выполнению)

1. Изучить конспект урока, знать основные определения
2. Даны высказывания: А =«р делится на 5» и

                                                 В =«р - нечетное число»

 Найти множество значений р, при которых результат логического умножения будет:

1)истинным;

2)ложным.

Вы хорошо справились с пройденной темой.

Тема урока

 "Логические выражения и таблицы истинности"

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: ознакомить учащихся с понятиями логическое выражение, равносильные выражения, эквивалентность, импликация; научить строить таблицы истинности, используя логические операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания; закрепить полученные знания путем решения задач.

Развивающая: логическое мышление, речь, внимание, память, способности преодолевать трудности при работе на уроке и анализировать полученные результаты.

Воспитательная: интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: комбинированный

Межпредметные связи: математика, русский язык

Наглядные пособия: компьютер, экран, проектор, презентация по теме, таблицы, тест, выполненный в программе ЕasyQuizzy

Литература: Угринович Н. “Информатика и информационные технологии для 10-11 классов”, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Повторение изученного на прошлом уроке
4. Изучение учебного материала
5. Физминутка
6. Закрепление изученного материала
7. Подведение итогов, информация о домашнем задании, методические указания по его выполнению

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2. Проверка домашнего задания

Поочередно зачитывают свои варианты ответов, остальные оценивают их правильность

3. Повторение изученного на прошлом уроке

Учащиеся выполняют тест на компьютерах (Приложение 2)

4. Изучение учебного материала (Учитель пользуется презентацией, во время изучения слайдов ученики записывают в тетрадях определения (Приложение 3)).

Слайд 1.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Например, высказывание « Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединениях союзом «и».

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), состоящей из логических переменных (высказываний) и знаков логических операций (логические функции)

А=«Процессор является устройством обработки информации»

В=«Принтер является устройством печати»

F = А ^ В

Слайд 2.

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, не вникая в их содержание, с помощью Алгебры высказываний

F = А ^ В = 1 ^ 1 = 1

Запишем в форме логического выражения составное высказывание:

«(2 • 2 = 5 или 2 • 2 = 4) и (2 • 2 ≠ 5 или 2 • 2 ≠ 4)»

А= «2 • 2 = 5» - ложно (0)

В= «2 • 2 = 4» - истинно (1)

Составное высказывание можно записать в форме:

(А или В) и (¬А или ¬ В)

Теперь запишем высказывание логическим выражением учитывая порядок выполнения логических операций (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция)

F = (А v В) ^ (¬А v¬ В)

Подставим в логическое выражение значение логических переменных

F = (А v В) ^ (¬А v¬ В) = (0 v 1) ^ (1 v 0) = 1 ^ 1 = 1

Слайд 3.

Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний

Построение таблицы:

1.Определить количество строк

Кол-во строк = 2n  (n – кол-во переменных)

2. Определить количество столбцов

Кол-во столбцов = n + кол логических операций

3. Построить таблицу и обозначить столбцы, внести  возможные значения переменных

4. Заполнить таблицу по столбцам, выполняя базовые логические операции

Записали. Строим таблицу истинности

Что мы делаем во-первых?

Определить количество столбцов в таблице

Как мы это делаем?

Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция  содержит 2 переменные

Какие?

А и В

Значит сколько строк будет в таблице?

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

А если 3 переменных?

Количество строк = 2³ = 8

Верно. Что делаем дальше?

Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.

Сколько будет в нашем случае?

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

Хорошо. Дальше?

Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты

Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значении логических переменных

Слайд 4

Теперь записываем пункт “Равносильные логические выражения”.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “,

Докажем, что логические выражения  ¬А& ¬В и ¬(AvB) равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения ¬А& ¬В

Сколько строк будет в таблице?           4

Сколько столбцов  будет в таблице?    5

Какую операцию будем выполнять первой?    Инверсию А, инверсию В

Теперь построим таблицу истинности логического выражения ¬(AvB)

Сколько строк будет в таблице?           4

Сколько столбцов  будет в таблице?    4

Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими. Они совпадают, следовательно, логические выражения равносильны и мы можем поставить между ними знак “=”

¬А& ¬В = ¬(AvB)

Слайд 5

ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В обыденной речи кроме базовых логических связок

«и», «или», «не» используются и другие:

«если… ,то…», «тогда и только тогда, когда…»

Некоторые из них имеют свое название и свой символ

Слайд 6

Логическое следование (импликация)    

 «если… ,то…»

 «если А, то В» обозначается А → В

Таблица истинности логической функции «импликация»

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

Слайд 7

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: конъюнкции, дизъюнкции и отрицанию

Докажем методом сравнения таблиц истинности, что А → В равносильно А v В

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными

Ученик у доски строит таблицу истинности, остальные ему помогают, делают вывод

Запишем   А → В = ¬A v B

Слайд 8

Логическое равенство (эквивалентность)    

 «тогда и только тогда, когда…»

«А тогда и только тогда, когда В» обозначается А ~ В

Таблица истинности логической функции «эквивалентность»

5. Физминутка

6. Закрепление изученного материала

Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”, а что же такое таблица истинности, как вы думаете?

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

Помните, на предыдущем уроке мы из составного высказывания составляли формулу, заменяя простые высказывания 2*2=4 и 2*2=5 переменными А и В

Теперь давайте учиться составлять логические выражения из высказываний

Упражнение 1

Записать в виде логической формулы высказывания:

Если Иванов здоров и богат, то он здоров

Анализируем высказывание. Выявляем простые высказывания

А – Иванов здоров

В – Иванов богат

Хорошо, тогда как будет выглядеть формула? Только не забудьте, чтобы не терялся смысл высказывания, расставить скобки в формуле

(А&В)→А

Упражнение 2

Записать в виде логической формулы высказывания:

Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал «допинг».

А - спортсмен подлежит дисквалификации

В - некорректно ведет себя по отношению к сопернику

С - некорректно ведет себя по отношению к судье

D - принимал «допинг».

(BvD) vC→A

Упражнение 3 (вариант ЕГЭ)

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Каким выражением может быть F?

1. X^Y^Z
2. ¬X v Y v Z
3. X v Y v Z
4. X^Y^¬Z

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы

Упражнение 4

Делают самостоятельно и результат сверяют с доской. Самооценивание

Записать составное высказывание “(2*2=4 и 3*3 = 9) или (2*2≠4 и 3*3≠9)” в форме логического выражения. Построить таблицу истинности.

Слайд 9

5. Подведение итогов

Фронтальная беседа с учащимися по теме урока. Как строится таблица истинности. Сколько строк содержит таблица, если выражение состоит из трех переменных?

Выставляется отметка за тест и решение упражнения 4

Рефлексия.

Продолжите предложение:

Сегодняшнее занятие мне позволило...

Я никогда не думал(а) что…

В своей работе я…

Домашнее задание (даются рекомендации по его выполнению)

1.проанализировать конспект урока

2. Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и

не (не А и не (В и С)).

1. А и В или С и А;                      
2. (А или В) и (А или С);        
3. А и (В или С);
4. А или (не В или не С ).

3. Записать в виде логической формулы высказывания:

   Произвольно взятое число либо делится на 2,либо делится на 3

   А - делится на 2

   В - делится на 3

   AvB

Приложение 2

Тема урока

"Логические законы и

правила преобразования логических выражений"

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: ознакомить учащихся с законами логики; научить использовать законы логики при тождественных преобразованиях; закрепить полученные знания путем решения задач.

Развивающая: развитие логического мышления учащихся, памяти, внимания, речи, способности преодолевать трудности при работе на уроке и анализировать полученные результаты.

Воспитательная: достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике, интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: комбинированный

Межпредметные связи: математика

Наглядные пособия: компьютер, экран, проектор, презентация по теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, таблицы.

Литература: Угринович А.Б. “Информатика и информационные технологии для 10-11 классов”, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Изучение учебного материала
4. Физминутка
5. Закрепление изученного материала
6. Подведение итогов, информация о домашнем задании, методические указания по его выполнению

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2.Проверка домашнего задания

Узнать какой способ решения они выбрали и является ли он рациональным

Решение кроссворда в электронной таблице Excel, время ограничено (Приложение 4)

Каждый получает оценку

3.Изучение учебного материала (Учитель пользуется презентацией, во время изучения слайдов ученики записывают в тетрадях определения (Приложение 5)).

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.

Слайд 1.

ЗАКОН ТОЖДЕСТВА

Всякое высказывание тождественно самому себе:

А = А

Слайд 2.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложно:

А ^ ¬А = 0

Слайд 3.

ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано:

А v ¬А = 1

Слайд 4

ЗАКОН ДВОЙНОГО ОТРИЦАНИЯ

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

А = ¬ (¬А)

Слайд 5

ЗАКОНЫ де МОРГАНА

¬(А v В) = ¬А ^ ¬В

¬(А ^ В) = ¬А v ¬ В

Примеры выполнения закона де Моргана:

Высказывание «Неверно, что я люблю заниматься спортом и утром делать зарядку» тождественно высказыванию «Или я не люблю заниматься спортом или не люблю утром  делать зарядку».

Высказывание «Неверно, что я знаю китайский или арабский язык» тождественно высказыванию «Я не знаю китайского языка и не знаю арабского языка».

Слайд 6

ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ

Можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения

Логическое умножение  А ^ В = В ^ А

Логическое сложение   А v В = В v А

Слайд 7

ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ

Можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять (только если используются операции сложения, или только – операции умножения)

Логическое умножение   (А ^ В) ^ С = А ^(В ^ С) 

Логическое сложение  (А v В) v С = А v(В v С)

Слайд 8

ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ

Можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые

Дистрибутивность умножения относительно сложения

в алгебре ab+ac = a (b+c)

(А ^ В) v (А ^ С)  = А ^(В v С)

Дистрибутивность сложения относительно умножения

(А v В) ^(А v С) = А v(В ^ С)

Слайд 9

СВОЙСТВА КОНСТАНТ

А0 = А;     А1 = А;       А&0 = 0;        А&1 = А.

Слайд 10

ЗАКОНЫ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ

 АА = А (отсутствие коэффициентов); А&А = А (отсутствие степеней).

Например, сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен….значение высказывания не изменится.

Для тождественных преобразований полезно знать следующие правила:

Слайд 11

Правила замены операции эквивалентности:

АВ = (А&В)(&);      АВ = (А)&(В);        АВ = (АВ)&(ВА).

4. Физминутка

5. Закрепление изученного материала

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики в преобразовании логического выражения.

Упражнение 1  

 Упростить логическое выражение:

(А&В) v(А&¬В)

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А и воспользуемся законом исключенного третьего

(А&В) v(А&¬В)=А&(Вv¬В)= А&1=А

Упражнение 2

Доказать справедливость первого закона де Моргана, используя таблицы истинности

Упражнение 3 (подготовка к ЕГЭ)

Укажите какое логическое выражение равносильно выражению А^¬(¬ВvС)

1. ¬Аv¬Вv¬С
2. А^¬В^¬С
3. А^В^¬С
4. А^¬В^С

Работа по карточкам

Задание 1 Упростить логическое выражение (А v¬А)&B

Задание 2 Доказать справедливость второго закона де Моргана, используя таблицы истинности

Правильность выполнения проверяется (на слайдах выводятся правильные ответы), самооценка

5. Подведение итогов

Фронтальная беседа с учащимися по теме урока. Выставление оценок (кроссворд+карточка)

Рефлексия.

Продолжите предложение:

Сегодняшнее занятие мне позволило...

Я никогда не думал(а) что…

В своей работе я…

Домашнее задание (даются рекомендации)

1. Разобрать конспект урока.
2. Выписать все законы алгебры логики на плотный листок размером ≈ 12см×15см.
3. Выполнить упражнения

Доказать   (АВ) &(В) = В, выполнив эквивалентные преобразования над правой частью и построив таблицу истинности

* Доказать правило замены операции импликации.(для сильных детей)

Тема урока

 "Решение логических задач средствами алгебры логики"

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: познакомить учащихся с методом решения логических задач средствами алгебры логики; закрепить полученные знания путем решения задач.

Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания, развитию грамотной речи;

Воспитательная: достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике, интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: комбинированный (проверка знаний и изучение нового материала)

Межпредметные связи: математика, русский язык

Наглядные пособия: компьютер, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, таблицы.

Литература: Угринович Н. “Информатика и информационные технологии для 10-11 классов”, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1.Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение изученного на прошлом уроке

4. Физминутка

5. Объяснение нового материала

6. Закрепление нового материала

7. Подведение итогов, информация о домашнем задании, методические указания по его выполнению

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2. Проверка домашнего задания

Разбираются оба способа решения первого задания, а так же решение дополнительного задания

3. Повторение изученного на прошлом уроке

Прежде чем перейти к изучению новой темы нам будет необходимо вспомнить некоторые пройденные темы, а именно, упрощение логических выражений с помощью законов алгебры логики и запись составных высказываний в виде логических выражений.

(Все задачи на повторение пройденной темы решаются учениками на доске с объяснением применяемых правил и законов).

Упражнение 1. Упростить логическое выражение       

F =¬((A V B) →(¬ (B v C))

Решение (используются законы де Моргана, закон двойного отрицания, распределительный закон):

F =¬((A V B) →(¬ (B v C)) = A v B &(¬ (B v C)) = (A v B) & (B v C) = B v (A & C)

Дальше ученики самостоятельно решают подобную задачу в своих индивидуальных карточках.

Упражнение 2. Проверить правильность упрощения построением таблиц истинности.

Для проверки правильности упрощения мы строим таблицы истинности для исходного и упрощенного логического выражения. Если данные в последних столбцах таблиц истинности совпадают, значит мы правильно упростили логическое выражение.

Таблица истинности для исходного логического выражения

Таблица истинности для упрощенного логического выражения

Из таблиц истинности видно, что упрощение верное.

Дальше ученики самостоятельно решают подобную задачу в своих индивидуальных карточках.

Упражнение 3. Записать следующее высказывание в виде логического выражения: «Если я хорошо подготовлюсь по русскому языку, математике и физике, то я получу пятерки или четверки».

Решение: выделим в составном высказывании простые и обозначим их логическими переменными:

А – хорошо подготовлюсь по русскому языку;

В – хорошо подготовлюсь по математике;

С – хорошо подготовлюсь по физике;

D – получу пятерки;

Е – получу четверки.

Тогда составное высказывание будет записано следующим образом:

F = (A & B & C) --> (D V E)

Дальше ученики самостоятельно решают подобную задачу в своих индивидуальных карточках.

4. Физминутка

5. Объяснение нового материала

Нам известны три способа решения логических задач:

1. с помощью рассуждений;

2. с помощью таблиц;

3. средствами алгебры логики.

Первым способом мы умеем решать логические задачи с первого класса. Вторым способом мы научились решать на предыдущих уроках. А вот третьим способом – средствами алгебры логики – научимся решать сегодня.

Задача. Решить логическую задачу с помощью рассуждений.

Принцу необходимо спасти принцессу от злого колдуна. Принцесса находится в одной из комнат с надписями на дверях:

1. В этой комнате сидит тигр.
2. Принцесса находится в комнате 1.
3. Тигр сидит в комнате 2.

Колдун сообщил принцу, что одно из этих утверждений является истинным. И если принц с первого раза отгадает, где находится принцесса, то колдун освободит ее.

Сейчас мы узнаем, есть ли среди нас принцы. Кто поможет принцессе? Если кто-то готов выручить ее, то он должен щелкнуть мышкой по двери и дверь откроется. (Демонстрируется слайд)

Задача.  Представим такую ситуацию: по телевизору синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? (Ответы учеников)

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

A – «Ветра нет»

B – «Пасмурно»

С – «Дождь»

Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

A --> B & C

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:

С --> B & A

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра

B --> C & A

Запишем произведение указанных функций:

F=(A --> B & C) & (C -->B & A) & (B --> C & A)

Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

F=(A --> B & C) & (C -->B & A) & (B --> C & A)

= (A v B & C) & (C v B&A) & (B v C&A) =

= (A v B & C) & (B v C&A) & (C v B&A) =

= (A & B v B&C&B v A&C&A v B&C&C&A) & (C v B&A)=

= A & B &(C v B&A) =A&B&C v A&B&B&A =

= A&B&C

Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:

F = A & B & C = 1

Проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

Поэтому:

A = 1; B = 1; C = 1;

Значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Мы познакомились с новым методом решения логических задач. Как вам кажется, какой из трех способов решения логических задач является самым точным? (Ответы учеников)

6. Закрепление изученного материала. 

Запишем условие еще одной интересной задачи из жизни, которую мы начнем решать в классе, а закончим дома самостоятельно.

Задача. Джеку, Питеру и Майку предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Джек показал, что преступники скрылись на синем Мерседесе, Питер сказал, что это был черный Джип, а Майк утверждал, что это был Форд Мустанг и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина?

Можно ли раскрыть это преступление? Имея в виду, что у нас каждое преступление раскрывается, и, учитывая, что следователи изучали в школе алгебру логики, с уверенностью можно сказать, что преступники будут наказаны. Кто из вас поможет следствию и правильно вычислит цвет и марку машины, узнаем на следующем уроке, а сейчас вместе напишем логическую функцию.(Учитель помогает детям записать правильно логическое выражение.)

7. Подведение итогов урока. 

Сегодня мы научились решать логические задачи средствами алгебры логики. Мы с вами выяснили, что самым точным способом решения логических задач является изученный нами сегодня способ. Но более простым способом вам показался решение логических задач с помощью таблиц. К сожалению, не все логические задачи можно решить с помощью таблиц, поэтому приходится решать их средствами алгебры логики.

Поставить оценки наиболее активным ученикам. Собрать индивидуальные карточки для проверки.

Домашнее задание: Попробуйте решить задачу об ограблении банка всеми тремя известными вам способами и сравнить результаты.

Тема урока

 "Решение логических задач "

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: закрепить полученные знания, умения, навыки; познакомить с алгоритмом решения логических задач; способствовать закреплению данного алгоритма;

Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания, развитию грамотной речи;

Воспитательная: достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике, интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: комбинированный

Межпредметные связи: математика, русский язык

Наглядные пособия: компьютер, экран, проектор, презентация по теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, таблицы.

Литература: Угринович Н. “Информатика и информационные технологии для 10-11 классов”, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1.Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Закрепление изученного материала

4. Подведение итогов, информация о предстоящей контрольной работе

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2.Проверка домашнего задания Рассматриваются варианты решения задачи и обсуждается самый удобный способ решения конкретной задачи

3.Закрепление изученного материала 

Как правило, логические задачи формулируются на естественном языке. Поэтому для решения логических задач необходимо соблюдать следующие этапы:

1) внимательно изучить условие;

2) выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;

3) записать условие задачи на языке алгебры логики;

4) составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;

5) упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении конкретной задачи:

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они ответили так:

а) Сергей — первый, Роман - второй;

б) Сергей — второй, Виктор - третий;

в) Леонид — второй, Виктор - четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?

Выделяем простые высказывания и обозначаем их латинскими буквами:

 «Сергей -1» = А

«Роман -2» = В

«Виктор -3» = С

«Сергей -2» = ¬А

«Леонид -2» = ¬В

«Виктор -4» = ¬С

записываем условие задачи на языке алгебры логики:

составим конечную формулу, для этого объединим логическим умножением формулы каждого утверждения, приравниваем произведение к единице:

1 способ: упростим формулу, проанализируем полученный результат

2 способ: составим таблицу истинности, найдем по таблице значения переменных, для которых

F = 1, проанализируем результаты

.

Смотрим значения переменных и получаем тот же результат, что и при первом способе решения.

Физминутка

Упражнение (подготовка к ЕГЭ)

Укажите значения переменных К, L, М, N, при которых логическое выражение

(¬К V M)->( ¬L V М V N) ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=l, L=l, М=0, N=1.

Решение:

Первый способ решения подходит для конкретной задачи. Он основан на том, что импликация х->у ложна тогда и только тогда, когда х -истинно, а у - ложно. х= ¬К VM, у = ¬L V М V N, отсюда по свойству дизъюнкции: х истинно при (К, М) = (0,0), (0,1), (1,1);

у ложно лишь при (L, M,N) = (1,0 ,0)=> М=0=> К=0.

Поэтому ответ: 0100.

Второй способ решения основан на тождественных преобразованиях. Он универсальный, хотя и более громоздкий. Для данного случая воспользуемся тождествами:

а-> в = (¬а) V в

¬ (aVb) = (¬a)&(¬b)

 ¬ (¬а) = а

Получим:

(¬KVM)->( ¬LVMVN) = ¬ (¬KVM)V(¬LVMVN) = (K&¬M)V(¬LVMVN)

(К &¬M) V (¬L V М V N) = 0 - для выполнения этого равенства необходимо, чтобы ¬L V М V N = 0, но это выполняется лишь при L = 1, М = 0, N=0.

Также необходимо, чтобы К &¬M = 0, но при М = 0 (т.е. при ¬ М =1) это достигается только при К = 0. Таким образом, получаем ответ: К = 0, L = 1, М = 0, N=0, т.е. 0100.

Если продолжать универсальный путь тождественных преобразований, то тогда обратим внимание, что мы ищем значения переменных К, L, М, N, при которых логическое выражение ложно. Проинвертируем это выражение (применим к нему операцию отрицания) и будем искать значения переменных, при которых новое выражение истинно.

¬ ((К& ¬М) V(¬ L VM VN)) = 1

Воспользуемся тождествами: ¬  (а V b) = (¬  а) & (¬b)

¬ (K&¬M)V(¬LVMVN)) = ¬ (K&¬M) & (¬ (¬LVMVN)) =

Воспользуемся тождествами: -> (а&Ь) = (¬ а) V (¬ Ь)

¬ (¬а) = а

= ¬ (K&¬M) & (¬ (¬LVMVN)) = (¬KVM) & (L&¬M&¬N) =

= (¬KV M) &L&¬M¬-N

Это выражение принимает значение равное «1» только при условии:

¬N=l,T.e. N = 0,

¬М=1,т.е. М = 0,

L = 0, и

¬KVM=1

4. Подведение итогов, информация о предстоящей контрольной работе

Контрольная работа "Основы логики"

11-й класс

Цели урока:

Образовательная: проверить знания путем решения задач.

Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания, развитию грамотной речи;

Воспитательная: достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике, интерес к предмету, ответственность, дисциплинированность, самостоятельность при работе на уроке.

Тип урока: проверка знаний

Наглядные пособия: индивидуальные карточки для самостоятельной работы

Литература: Универсальные материалы для подготовки учащихся, Семакин П.Р. “Задачник- практикум 1 часть”.

План урока

1.Организационный момент

2. Методические рекомендации по проведению работы

3. Выполнение работы

Ход урока

1.Организационный момент. Приветствие учеников, учитель отмечает отсутствующих. Сообщение темы, цели, задач, мотивация учебной деятельности

2. Методические рекомендации по проведению работы

Задание 1 Выделить в составном высказывании простые и обозначить их логическими переменными, записать высказывание в виде логического выражения, упростить

Задание 2 Упростите выражение

Задание 3 Используются законы де Моргана, закон двойного отрицания, распределительный закон

Задание 4 Для каждого выражения перепроверить предложенные ответы

Задание 5 Вспомнить этапы построение таблиц истинности

Задание 6 Любой из трех способов решения логических задач

3. Выполнение работы

Задание1

Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию

¬(первая буква гласная → вторая буква гласная)&последняя буква гласная

1. ИРИНА
2. МАКСИМ
3. АРТЕМ
4. МАРИЯ

Задание2

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬А V¬ B) &С

1. ¬А V B V ¬С
2. A & B & C
3. (А V B) & С
4. (¬А V¬ B) &¬С

Задание 3

Упростить логическое выражение       

F =¬((A & B) →(¬ (B & C))

Задание 4 

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1. ¬X^Y^Z
2. ¬X v Y v Z
3. X v Y v ¬Z
4. X v Y v Z

Задание 5

Построить таблицу истинности для логического выражения   (¬А V¬ B) &¬В

Задание 6 

Решить логическую задачу

Восемь школьников, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы:

Егор: «Разбил Андрей!»

Света: «Вика разбила»

Оля: «Разбила Света»

Миша: «Это кто-то с улицы!»

Надя: «Да, Оля права…»

Коля: «Это либо Вика, либо Света!»

Андрей: «Ни Вика, ни Света этого не делали»

Вика: «Андрей не бил»

Кто разбил окно, если известно, что всех высказываний истинно только три? Ответ запишите в виде первой буквы имени

Физкультминутка для улучшения мозгового кровообращения

1.        Исходное положение (и.п.) - сидя на стуле, 1-2 - плавно наклонить голову назад, 3-4 - голову наклонить вперед, плечи не поднимать. Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

2.        И.п. - сидя, руки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 - и.п., 3 -поворот головы налево, 4 - и.п. Повторить 6-8 раз. Темп медленный.

3.        И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - махом левую руку занести через

правое плечо, голову повернуть налево, 2 - и.п., 3-4 - то же правой рукой.

Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

Физкультминутка для снятия утомления с плечевого пояса и рук

1.        И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - правую руку вперед, левую вверх, 2 - переменить положения рук. Повторить 3-4 раза, затем расслабленно опустить вниз и потрясти кистями, голову наклонить вперед. Темп средний.

2.        И.п. - стоя или сидя, кисти тыльной стороной на поясе. 1-2 – свести локти вперед, голову наклонить вперед, 3-4 - локти назад, прогнуться. Повторить 6-8 раз, затем руки вниз и потрясти расслабленно. Темп медленный.

3.        И.п. - сидя, руки вверх. 1 - сжать кисти в кулак, 2 - разжать кисти. Повторить 6-8 раз, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.

4.        И.п. - стойка ноги врозь, руки за голову. 1 - резко повернуть таз направо, 2 - резко повернуть таз налево. Во время поворотов плечевой пояс оставить неподвижным. Повторить 6-8 раз. Темп средний.

5.        И.п. - стойка ноги врозь, руки за голову. 1-3 - круговые движения тазом в одну сторону, 4-6 - то же в другую сторону, 7-8 - руки вниз и расслабленно потрясти кистями. Темп средний.

И.п. - стойка ноги врозь. 1-2 - наклон вперед, правая рука скользит вдоль ноги вниз, левая, сгибаясь, вдоль тела вверх, 3-4 и.п., 5-8 - то же в другую сторону. Повторить 6-8 раз. Темп средний.

Физкультминутка для глаз

1.        Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4-5 раз.

2.        Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть, посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4-5 раз.

3.        Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4-5 раз.

4.        Посмотреть на указательный палец вытянутый руки на счет 1-4, потом перенести взгляд вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

В среднем темпе проделать 3-4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 1-2 раза.