ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ЭЛЕКТИВНОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
статья по информатике и икт на тему

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ЭЛЕКТИВНОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

А

нализ реализуемого в образовательных учреждениях элективного обучения математике показывает:

1. достаточно случайный выбор тематики предлагаемых элективов;
2. доминирование предметных элективов, углубляющих и расширяющих программы курсов алгебры и геометрии и, в конечном итоге, ориентированных на подготовку учащихся к итоговой аттестации;
3. отсутствие преемственности между ориентационными предпрофильными и профильными курсами. Вместе с тем именно постановка на разных ступенях обучения содержательно взаимосвязанных ориентационных элективных курсов поможет более эффективно подготовить выпускников средней школы к освоению образовательных программ высшего профессионального образования и обеспечить действенную преемственность между профильным и профессиональным образованием.

Математическое понятие обычно проходит в своем развитии три стадии:

• интуитивно-эмпирического представления;
• функционального использования;
• формализации.

На первых двух стадиях происходит становление понятия, оно формируется как средство описания и решения определенного класса задач, лишь после этого понятие получает строгое формальное определение. Вузовские математические курсы, как правило, строятся на дедуктивной основе, это наиболее экономный и рациональный способ подачи учебного материала. Однако при таком подходе у студентов часто возникают серьезные затруднения в использовании пройденного теоретического материала при решении практических и прикладных задач. Поэтому введение двухуровневых элективов, в которых вузовские понятия будут первоначально изучаться на интуитивно-эмпирическом и функциональном уровнях, позволит вернуться в обучении к естественному ходу их развития и тем самым снять или по крайней мере минимизировать отмеченные трудности.

Успех в разработке двухуровневой модели элективного обучения во многом определяется выбором тематики предпрофильных курсов по выбору. С одной стороны, они должны быть ориентированы сразу на несколько направлений профильного обучения, а значит, представлять в школьном образовании такие области математики, которые богаты разнообразными приложениями. С другой стороны, содержание программ этих курсов и уровень их реализации должны заложить фундамент для гибкого расширения и дальнейшего развития изученных математических понятий и методов в элективных курсах, учитывающих специфику конкретного направления обучения в профильной школе.

Подходы к построению двухуровневой модели элективного обучения

(на примере постановки элективных курсов по теории графов)

Современная теория графов является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов дискретной математики (ДМ). Минимальность используемого в ней «алфавита» (вершины и ребра) значительно упрощает кодирование и обработку информации, поэтому благодаря компьютеру графовые модели находят все новые и новые приложения в различных сферах человеческой деятельности.

Сказанное стало причиной включения теории графов в содержание математического образования студентов самых разных направлений обучения в системе высшего и среднего профессионального образования. Оказалось, что на начальном этапе изучения графов в профессиональной школе у многих студентов возникают дополнительные трудности, связанные с обилием новых специальных терминов и отсутствием навыков дискретного моделирования.

Нельзя не отметить, что с введением профильного обучения отдельные графовые понятия стали появляться в школьных учебниках математики и информатики. Графы представлены на факультативных занятиях, в элективных курсах по математике и программированию, а также в олимпиадных задачах по этим предметам. У школьников, как показывает практика, принятие и осознанное усвоение графовой терминологии особых затруднений не вызывают. При этом знакомство с основными понятиями теории графов практически не требует от девятиклассников какой-либо специальной математической подготовки, а богатство ее приложений позволяет в дальнейшем проектировать различные варианты развития содержания в профильной школе. Поэтому введение двухуровневой модели элективного изучения графов в период школьного обучения продуктивно и весьма актуально.

Поскольку основными целями элективных курсов по теории графов являются пропедевтика дальнейшего изучения как графов, так и ДМ в целом, а также освоение нового вида математического моделирования, то на основании сказанного можно заключить следующее:

• методика знакомства школьников с графами и моделированием с помощью графов должна строиться на основе генетического подхода, в основе которого лежат конкретные демонстрации происхождения и становления графовых понятий;
• наиболее естественным способом реализации такого подхода на этапе школьного обучения является обучение через решение занимательных и прикладных задач;
• принципиально важным методическим требованием к введению всех основных понятий и теоретических фактов является обязательное использование геометрических моделей графов;
• учитывая, что наиболее известные алгоритмы на графах имеют программные реализации в системах компьютерной математики, необходимо сформировать у учащихся начальные представления о различных способах задания графовых понятий;
• в основу тематического содержания элективных курсов на этапе профильного обучения могут быть положены прикладные задачи из соответствующей сферы профессиональной деятельности.

Из трех первых требований следует, что в школе вряд ли целесообразно давать формальные определения большинству изучаемых понятий, в том числе и самому понятию «граф». Для вполне удовлетворительного (с точки зрения математической строгости) изложения достаточно, чтобы учащийся представлял граф как некоторое конечное множество точек, соединенных линиями или стрелками.

Построение элективного курса в предпрофильной подготовке

Элективный курс, который предлагается ввести на этапе предпрофильной подготовки, знакомит с основными классическими понятиями и фактами теории графов. Благодаря многоплановости применения аппарата теории графов он может быть полезен для учащихся, собирающихся продолжить обучение в математическом, информационно-технологическом и социально-экономическом профилях.

В качестве основных целей предпрофильного элективного курса можно выделить:

• знакомство учащихся с графовым моделированием;
• формирование умений и навыков визуального анализа готовых графических схем, умений создавать, преобразовывать и оценивать различные графовые и табличные модели;
• изучение элементов теории графов как важного раздела ДМ и инструмента решения разнообразных задач;
• гармоничное развитие визуального и абстрактно-логического мышления учащихся.

В соответствии с этими целями программа курса, рассчитанного на 18 часов, может содержать следующие вопросы:

• решение логических и комбинаторных
  задач с помощью графических схем;
• граф и его элементы;
• виды графов;
• обходы графа;
• эйлеровы и гамильтоновы графы;
• связность графов;
• операции разборки;
• деревья;
• плоские графы;
• теорема Эйлера;
• раскраска карт.

В основе методики проведения занятий лежит заданный подход, т.е. обучение через решение задач. Знакомство учащихся с графами начинается при решении логических и комбинаторных задач. В первом случае графовые модели позволяют визуализировать и упорядочить указанные связи и на основании этого сделать правильные логические выводы. В случае комбинаторных задач графы помогают наглядно представить образование комбинаций, провести их полный перебор и перечисление возможных вариантов.

Элективный курс по теории графов на этапе профильного обучения

На этапе профильного обучения первоначально в каждом из профилей следует вновь вернуться к основным понятиям классической теории графов, решая для этого соответствующие занимательные и прикладные задачи. В дальнейшем акценты при отборе и подаче изучаемого материала должны отражать специфику требований к математической подготовке специалиста в выбранном направлении предполагаемого профессионального обучения. Поясним сказанное на примере изучения алгоритмов на графах. Вряд ли стоит знакомить учащихся математического профиля с большим числом графовых алгоритмов. Главной задачей обучения в этом профиле является формирование на отдельных ярких примерах потребности в обосновании построенных алгоритмов, а также пропедевтическое знакомство с математическим аппаратом, необходимым для оценки их сложности. В информационно-технологическом профиле список изучаемых алгоритмов может быть значительно расширен, при этом построение алгоритмов должно, как правило, сопровождаться их программной реализацией на конкретном языке программирования.

По-видимому, самый широкий набор алгоритмов следует дать в социально-экономическом профиле, однако здесь основные учебные задачи должны быть направлены не на построение, обоснование и программную реализацию алгоритмов, а на осознанное использование готовых алгоритмов для решения разнообразных прикладных задач.

Кратко остановимся на целях, отборе специального материала и некоторых особенностях обучения в различных профилях.

Математический (естественно-математический) профиль (34 ч)

Главными целями изучения графов в этом профиле являются знакомство учащихся с теорией графов как одним из интенсивно развивающихся разделов ДМ и развитие способностей, необходимых для успешных занятий дискретной математикой. В этом профиле можно более подробно изучить деревья, рассмотрев, например, связанные с деревьями перечислительные задачи и приложения деревьев. Кроме того, в программу электива включены:

• проблема планарности графов;
• теорема Фари о прямолинейных графах;
• раскраска граней, вершин и ребер графа;
• двойственные и самодвойственные графы;
• правильные и полуправильные замощения;
• графы и отношения, логические операции, группы.

Изложение теоретического материала и обоснование решений рассматриваемых задач с самого начала отличаются большей абстрактностью и доказательностью; важно, чтобы учащиеся осознали методы и специфику графовых доказательств. В тех случаях, когда у них имеется достаточный опыт использования того или иного понятия на интуитивном и функциональном уровнях, необходимо давать его формальное определение.

Информационно-технологический профиль

(34 ч)

Новые информационные технологии и программирование невозможно представить без графовых моделей и алгоритмов. Один из наиболее важных и широко используемых в программировании класс алгоритмов - это алгоритмы на деревьях. Следует заметить, что «деревья» и «графы» включены в обязательный минимум содержания основных образовательных программ по информатике и соответствующие вопросы содержатся в материалах ЕГЭ. Это обусловливает необходимость более глубокого и широкого знакомства школьников, выбравших специализацию «информационные технологии», с основами теории графов.

Предлагаемый для этого профиля план помимо дальнейшего изучения графовых понятий имеет своими целями знакомство учащихся с представлением графов в компьютере и обучение приемам программирования с их использованием. Поэтому на практике при проведении курса необходима совместная работа учителей математики и информатики.

В программе курса большое внимание уделено представлению графовых понятий в памяти компьютера, в частности, различным кодировкам деревьев. Важно отработать навыки перехода из одного аналитического способа задания графа к другому, в том числе перехода от них к геометрической реализации графа и обратно.

Значительная часть программы посвящена изучению деревьев и связанным с ними алгоритмам, это следующие вопросы:

• алгоритмы поиска в глубину и в ширину;
• бинарные деревья поиска, балансировка бинарного дерева;
• основное дерево связного графа;
• алгоритм перечисления основных деревьев связного помеченного графа;
• построение основного дерева минимального веса (методы Крускала и Прима).

В ознакомительном плане изучаются:

• паросочетания и алгоритм нахождения наибольшего паросочетания в двудольном графе;
• сети и потоки;
• метод Форда-Фалкерсона поиска максимального потока в сети.

Практически все занятия целесообразно проводить с использованием компьютеров. Изучение перечисленных алгоритмов и их программных реализаций сопровождается решением конкретных задач.

Социально-экономический профиль (32 ч)

Современное развитие социально-экономической науки и практики невозможно представить без использования идей и методов ДМ. В частности, существует большое число практических задач, анализ и решение которых удобно проводить с помощью графов. В связи с этим основной целью курса в этом профиле является знакомство школьников с задачами социально-экономического характера, при решении которых используются графы и алгоритмы на них.

Наиболее важные вопросы программы составляют задачи дискретной оптимизации и сетевого планирования:

•  поиск минимального остовного дерева;

• задача о кратчайшем пути;
• задача о коммивояжере;
• задача об оптимальном размещении;
• основы сетевого планирования;
• решение простейших экономических задач с помощью схемы Бернулли.

Методы решения рассматриваемых задач вводятся по мере возрастания их трудности: от более простых — «жадного» и «деревянного» алгоритмов — к более сложному - методу ветвей и границ. По мере изучения материала учащимся предлагается самим находить, формулировать и моделировать реальные задачи, которые можно решить этими методами.

Двухуровневая модель элективного изучения избранного раздела математики, имеющего широкие практические приложения, обеспечивает преемственность между предпрофильными и профильными ориентационными курсами и тем самым готовит выпускника профильной школы к полноценному продолжению математического образования в вузе. Описанная на примере графов интерпретация модели может служить основой для разработки содержательно взаимосвязанных курсов по другим разделам математики и по другим учебным дисциплинам. Подобные курсы можно рекомендовать многопрофильным школам и межшкольным объединениям, реализующим различные варианты сетевого элективного обучения.