Радианная мера угла. Вращательное движение
план-конспект урока по геометрии (9 класс)

Тема: Радианная мера угла. Вращательное движение.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, в парах.

Продолжительность урока: 45 минут.

Цели урока: формировать знание определения угла в один радиан; отработать формулы, устанавливающие связь между радианным и градусным измерением углов при выполнении упражнений.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: формировать умения и навыки использования формул перехода от радианной меры угла к градусной и от градусной к радианной; научить выделять целое число полных оборотов, подводя к понятию «периодичность функции».

Личностные: формировать ответственное отношение к обучению, готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

Метапредметные: формировать умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы. 

Методы: проблемно-диалогический, объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, тетради у учащихся, учебник

                                                          Ход урока.

1.Организационный момент.

• приветствие;
• визуальная проверка готовности учащихся к уроку

Здравствуйте ребята!

Известно, что 21 век называют веком информации. Почему? Во - первых, потому, что уже сейчас, в начале века, объем новой информации удваивается каждые 5-6 лет. Во - вторых, ученые предсказывают, что в будущем власть будет в руках тех, кто владеет информацией. Это значит, что для успешной и счастливой жизни человеку нужно постоянно пополнять свой багаж знаний. Для этого необходимо овладеть умениями работы с учебной литературой, понимать, перерабатывать, применять, хранить в памяти и передавать другим.

2. Постановка цели и задач урока.

• информация о теме урока и его целях;
• запись темы урока в тетрадь учащихся.

3. Подготовка к усвоению нового материала.
Работа в парах.
На парте карточки с вопросами и заданиями.
1. Какой поворот луча называется полным?
2. Если поворот луча совершён по ходу часовой стрелки, то угол поворота…
3. Если поворот луча совершён против хода часовой стрелки, то угол поворота…
4. Как называется окружность с центром в начале координат и радиусом , равным единице?

4.Объяснение нового материала.

Сегодня нам с Вами представлена возможность расширить свои знаний и продолжить изучение нового для Вас раздела математики 

Тригонометрия - раздел математики, в котором изучаются тригонометри-ческие  функции  и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г.

Историческая справка : Данный раздел урока может быть выполнен учеником в виде презентации:  Значение знания тригонометрии:

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов);

- в морской и воздушной навигации (очень важно правильно рассчитать угол, под которым поднимается самолет, чтобы не задеть верхушки деревьев и ближайших построек);

- в электронике, в теории вероятности, в статистике;

- в биологии (движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения при плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y = tg x.);

 -в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии, в архитектуре, в разработке игр,  телефонных приложений и многих других областях;

-знания об углах понадобятся и в пожарной службе. При пожаре необходимо быстро и точно рассчитать угол,  на который нужно поднять пожарную лестницу к зданию и при этом попасть на нужный этаж.

Со школы многие из вас больше запомнили градусную меру угла – градус. В лекции познакомимся с радианной мерой угла и как эти два понятия связаны. Знаете, что угол образуется вращением вокруг точки, лежащей на оси.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. 

1/60 часть градуса называется минутой (обозначают 1' ).

1/60 часть минуты называется секундой (обозначают 1'' ).

Радианная мера. Радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Пример 1:

Найти радианную меру угла равного 1) 30°, 2)135°

Решение:

1) 30° = 30·π / 180 = π/6

2) 135° = 135·π/180 = 3π/4

Пример 2:

Найти градусную меру угла выраженного в радианах 1) π/3 , 2) 4·π/5

Решение:

1) π/3 = 180°/3 = 60°

2) 4π/5 = 4·180°/5 = 144°

Для того, чтобы сделать переводы в разные угловые меры нужно запомнить формулы:

  рад  (1) -формула перехода от радианной меры к градусной.

 (2) – формула перехода от градусной меры в радианную.

1. Начертим окружность. Центр окружности совместим с точкой О, которая является началом координат и проведём координатные оси. За единичный отрезок примем радиус окружности. Такая окружность называется единичной. Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства:

 -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

 Рис.1

Отметим единичные отрезки и укажем координатные четверти. Длина этой окружности, .  А учитывая, что R=1,  , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

2. Определение:  Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

;

180°— развёрнутый угол— π

90°— прямой угол—

360°—полный угол— 2π

Рис.2

3. Понятие поворота точки: в зависимости от того в какую сторону будет поворот точки, получают положительный или отрицательный угол.

1. Пусть  Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол 
2. 2. Пусть  точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол - α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Рис. 3

Пример 3: при повороте точки М(1;0) на угол  получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на угол  (рис.4)

Рис. 4

5.Физкультминутка.
Гимнастика для шеи и для глаз.
6. Закрепление.

Примеры решения задач на перевод углов и не только:

Пример 4:

Найти градусную меру угла, равного  рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то  рад, тогда  (2)

Ответ: .

Пример 5:  Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:

Вычисляем по формуле (2):  рад

 рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ:  рад,  рад.

Пример 6:  Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим: 

Ответ: .

Пример 7: Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

Решение:

По формуле (4) вычисляем 

Ответ: 45  м2

7. Подведение итогов урока.
Что нового вы узнали на уроке?
Чему научились на уроке?
Что вызвало затруднения?
8. Домашнее задание:

Переведите в радианную меру углы:

 1000  2150 150  2000 280  720  3300 (7 примеров)

Переведите в градусную меру углы:

5π/6 рад; 150π рад; 15π/2 рад; 5π/3 рад;

π/6 рад; π/16 рад; 7π/6 рад; (7 примеров)