Методика работы с планиметрической задачей
учебно-методический материал по геометрии

Слайд 1

ФГБОУ высшего образования «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского » Подготовила: студентка 3 курса 4 группы физико-математического факультета Горанова Марина Методист: доктор педагогических наук, профессор И.Е.Малова Методика работы с планиметрической задачей Брянск, 2021

Слайд 2

Знания, необходимые при решении планиметрических задач Какие две прямые называются параллельными? Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Назовите свойства параллельных прямых. Если a || b , то а) накрест лежащие углы равны (1=3); б) соответственные углы равны (1=4); с) сумма односторонних углов равна 180 (2+3=180). * вертикальные углы равны (  4 =3) Что еще мы знаем о параллельных прямых? Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну . Все перпендикуляры ( KM , SN , HP ) к одной и той же прямой AB параллельны между собой. a b c 1 4 2 3 K M N S H P A B

Слайд 3

Знания, необходимые при решении планиметрических задач 1-ый признак . Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. 2-ой признак . Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, лежащие между ними, равны. 3-ий признак . Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. Какие признаки подобия треугольников вы знаете?

Слайд 4

Знания, необходимые при решении планиметрических задач Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью ). Какой элемент треугольника изображен на рисунке? Что называется медианой треугольника? Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Медиана A B C M По данным рисунка найдите площади треугольников AB М и BMC . Решение: h Как можно сформулировать свойство медианы, связанное с площадью?

Слайд 5

Знания, необходимые при решении планиметрических задач Какой элемент треугольника изображен на рисунке? Что называется высотой треугольника? Высота Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. A B C M h По данным рисунка найдите отношение площади треугольника ABM к площади треугольника ABC . Решение: 3х х S △ ABM = × A M × h ; S △ ABC = × A C × h. Т.к. высота h является общей для △ ABM и △ ABC , то справедливо: = = Как можно сформулировать свойство высоты, связанное с площадью? Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты. =

Слайд 6

Анализ условия задачи с одновременным построением чертежа

Слайд 7

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P . Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM . Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче? Что известно о данном треугольнике? Что необходимо найти в задаче? Дано:  ABC, MB – медиана , AKBC=P, Найти: А В С K M P 4 x x

Слайд 8

Поиск способа решения

Слайд 9

В С K M P D 4 х х А  AKM и DKB  APC и DPB а)  DAC=  BDA ( как накрест лежащие при секущей AD ) б)  MKA=  BKD ( как вертикальные) в)  AKM  DKB ( по 1 признаку) а)  APC=DPB ( как вертикальные) б)  APC  DPB (по 1 признаку) г) Из в)  = = 4 BD = 4AM = 2AC в) Из б) = = 2 Подзадача В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P . В каком отношении точка P делит сторону BC? Какие фигуры нужно иметь, чтобы найти отношение отрезков? Подобные треугольники Как поступают, если нужных фигур нет? Выполняют дополнительное построение. Когда два отрезка пересекаются внутри треугольника, то один отрезок продолжают до пересечения с прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно его стороне. Образовались ли подобные треугольники? y 4y 2y 2z z

Слайд 10

В С K M P 4x x А 2z z y y Как поступают, когда требуется найти отношение? Одну из неизвестных обозначим буквой Площадь какой фигуры обозначим буквой? Площадь треугольника АВС, известного из условия Пусть S – площадь  ABC. Тогда площади остальных фигур можно выразить через S S ABK / S KPCM S ABM – S AKM S APC – S AKM S  S – S S – S S / План: Найти отношение BP:PC Из  ABC найти S ABM и S APC Из  ABM найти S ABK Из  APC найти S KPCM Найти отношение S ABK : S KPCM (2) (2) (3) (4) (5) С площадью какого треугольника связана искомая площадь? Как? S АВС  S АВС S АВС S АВС 

Слайд 11

Оформление решения

Слайд 12

В С K M P D 4 1 А Решение: Найдём отношение BP:PC BK:KM = 4:1 (по условию) Выполним дополнительное построение. Построим BDAC. Получим  DKB  AKM ( по I признаку), т.к.  DAC=  BDA (как накрест лежащие при секущей AD ) ,  MKA=  BKD (как вертикальные). = =  BD = 4AM = 2AC Получим  APC  DPB ( по I признаку ), т.к.  APC=  DPB (как вертикальные) = = = 2 5 . Найдём отношение Ответ: План: Найти отношение BP:PC Из  ABC найти S ABM и S APC Из  ABM найти S ABK Из  APC найти S KPCM Найти отношение S ABK : S KPCM 2. Пусть S ABC = S. BM – медиана. Тогда из  ABC  AM = AC, значит S ABM = S Из  ABC  BP = BC, значит S APC = S 3 . Рассмотрим  ABM. S ABK =S ABM – S AKM . S AKM = S  = S S ABK = S – S = S 4 . Рассмотрим  APC. S K PCM = S APC – S AKM = S – S = S 2z z y y

Слайд 13

Подведение итогов

Слайд 14

1.Какие этапы работы с задачей рассматривали? Анализ условия задачи и построение чертежа Поиск способа решения задачи Оформление решения Подведение итогов работы над задачей 2 . Какие вопросы задавали на этапе анализа условия задачи? Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче ? Что известно о данном треугольнике ? Что необходимо найти в задаче? 3 . Какие вопросы задавали на этапе поиска способа решения? Какие фигуры надо иметь, чтобы найти отношение отрезков? Как поступают, если нужных фигур нет? Как поступают, когда требуется найти отношение? Площадь какой фигуры обозначим буквой?

Слайд 15

4 . Какое общее свойство и его частный случай помогли определить, какую часть площадь искомого треугольника составляет от площади данного треугольника? Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как их основания. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. 5. Как формулировалась подзадача, которую выделили во время поиска и отдельно рассмотрели? В каком отношении точка делит сторону треугольника, если известно, в каком отношении точка пересечения медианы и прямой делит медиану. В С K M P 4x x А ? ? 6. Площади каких фигур вычислили при решении задачи? S APC S ABM S ABK S AKM S KPCM

Слайд 16

7. Площади каких ещё фигур можем найти и как? S MBC как ABC S KBP как S MBC – S KPCM S ABP как S ABC – S APC В С K M P 4x x А 8. Площади каких фигур мы можем найти другим способом и как? S ABK как часть  ABM. Тогда S ABK = S  = S