Учебно -методический комплект прикладного курса "Решение планиметрических задач"
рабочая программа по геометрии (10 класс) по теме

Республика Казахстан, Костанайская область, Затобольская школа – гимназия.

 Прикладной курс

 « Решение планиметрических задач». 

10 класс.

Методическое руководство.

             Автор: Деревянко Е А  учитель математики

п  Затобольск 2011 г

Введение.

              В начале пособия представлено «Тематическое планирование прикладного курса». При этом учитель может распределить материал иначе в зависимости от уровня подготовки учащихся класса.

              Успешное преподавание данного курса может быть достигнуто лишь при условии, если учитель будет умело использовать сформированные знания и навыки учащихся в качестве опоры,  и сможет обеспечить преемственность в обучении. В связи с этим,  по каждой теме в рабочей тетради для учащихся,  дан этап «Актуализация», где учащимся необходимо вспомнить теорию из пройденного материала, необходимые для усвоения темы. Далее предлагается этап «Дополнение к данной теме», в котором дается  дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме.  На каждом уроке учителю необходимо обращать внимание учащихся на содержание этапов, для стимуляции учебно-познавательной деятельности учащихся  и  осмысленному усвоению теоретического и практического материала.

              При изучении каждой темы рекомендуется работать по рабочей тетради для учащихся. По каждой теме предусмотрены уроки - практикумы, где учащиеся предлагают свои проекты по теме. Главная цель заключается в том, чтобы учащиеся сами или под руководством учителя еще раз смогли переосмыслить все то, что усвоено, какие конкретные знания и практические умения стали их собственным интеллектуальным богатством, чему они научились и каким материалом расширили свой кругозор.

              Подведение итога при изучении курса предлагается провести в виде теста, самостоятельной работы, зачета.

               Таким образом, в методическом руководстве представлены:

- цель изучения темы;

- методика подачи материала;

- решение некоторых задач;

- советы, на что уделить особое внимание.

               Надеюсь, что данное пособие поможет в проведении данного курса каждому  учителю, взяв за основу, будет творчески подходить к каждому уроку.

Тематическое планирование учебного материала.

(1 час в неделю, всего 34 часа)

Тема № 1.Треугольники. (5 часа)

Содержание темы: Произвольный треугольник, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Теорема Евклида (высота в прямоугольном треугольнике). Метод подобия, метод площадей в геометрических задачах.

Цель изучения темы:  систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Учащиеся должны знать:  формулы для вычисления площадей треугольника, формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной и описанной окружностей. Свойство биссектрисы угла треугольника.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Формулы высоты, площади, радиусов вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника. Теорему Евклида. Формулу для вычисления медианы. Что называется гравитационным центром треугольника (центр тяжести).Формулы для вычисления  длины биссектрисы угла. Методы решения задач по планиметрии. Свойство медианы.

Учащиеся должны научиться: строить правильно чертежи к задачам, использовать запас теоретического материала для рационального решения задачи; готовить проекты задач в электронном варианте, тем самым отрабатывать навык работы с компьютером.

Методические рекомендации:

Данную тему целесообразно рассмотреть следующим образом:

на 1 уроке учащиеся работают по рабочей тетради по теории  и выполняют задачи 1 и часть задач 2 уровней (темп работы у каждого свой, поэтому учителю необходимо предусмотреть дополнительные задания);

на 2 уроке проверяется домашнее задание по теории в течение 5 минут (это может быть фронтальный опрос, индивидуальная работа, игра «Next» и т д), рассматриваются задачи 3 уровня. Со слабо и средне подготовленными учащимися работа у доски,  хорошо подготовленные ребята могут работать в парах;

на 3 – 4 уроках форма работы – метод проектов. Свою работу показывает каждый;

5 –й час темы – решение задач, после темы №2.

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 1-2

Задача № 1 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 9)

Найдите углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании.

1. Решение: Пусть АВ = АС = с, ВС = а, <В =<С = 2α . Продолжим ВА и отложим АЕ = а, продолжим ВС и отложим СК = с. Получим равнобедренный треугольник ВЕК, биссектриса ВL является высотой и медианой, значит ЕL = LК.
2. По условию 2 АД = ВР. В треугольнике АВД,  АД = АВ sin2α. Вычислим биссектрису треугольника АВС по формуле ВР=  используя условие, получили, что sinα = .
3. Треугольник ВЕL, ЕL = ВЕ sinα, подставляя значения, получим, что ЕL = .
4. Соединим точки А и К, получим равнобедренный треугольник АСК. По теореме о внешнем угле САК = СКА = α.
5. Треугольник АЕК равнобедренный, т к АЕ = ЕК, Е = 90º - α, ЕАК = ЕКА = ЕКВ - АКВ = 90º - 2α, по теореме о сумме углов в треугольнике, получаем, что α = 18 º. Значит АВС = АСВ = 36 º, ВАС = 108 º.

А

Д

С

Р

К

L

Е

В

Ответ:   36 º, 36 º, 108 º.

Задача № 2 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 9)

Две стороны треугольника а и b. Медианы, проведенные к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону.

Решение:

С

Е

А

В

К

О

Введем обозначение: пусть ОЕ = х, а ОК = у, тогда по свойству медианы в треугольнике, ОВ = 2х, ОА = 2у. по теореме Пифагора в треугольниках ОЕА и ОКВ, составим систему уравнений. Получим: . В треугольнике КОЕ выразим КЕ =. Так как ВЕ и АК медианы, то АВ = 2 КЕ =

Ответ:

Тема № 2. Четырехугольники. (5 часа)

Содержание темы:  Параллелограмм, ромб, квадрат. Прямоугольник, трапеция, свойства и признаки. Формулы площадей, свойства диагоналей, метод решения задач путем дополнительных построений.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, развитию умения видеть чертеж к задаче.

Учащиеся должны знать: определение параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции и их свойства, формулы для вычисления площадей фигур. Свойство диагоналей параллелограмма. Свойство радиуса окружности, вписанной в ромб. Свойство радиуса окружности, описанной около прямоугольника. Свойство сумма квадратов диагоналей трапеции. Свойство диагонали в равнобедренной трапеции. Свойство высоты в  равнобокой трапеции.

Учащиеся должны научиться: решать задачи рациональным путем.

Методические рекомендации:

Данную тему рассматриваем аналогично в соответствии с заданиями Рабочей тетради.

На 7-8 уроках учащиеся должны представить результат своей работы ( им давалось по 3 индивидуальных задачи по теме из журнала «Математика в школе» №9 – 2006)

На уроках 9-10 учащимся предлагается теоретический диктант, работа в группах «Решение задач» 3 этапа и индивидуальная работа по тестовым заданиям.

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 5-6.

Задача № 1 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 11)

В трапеции АВСД,  АД и ВС – основания, АД:ВС=2:1. Точка Е середина стороны ВС. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕД равна 60 см.  

Решение:    АД: ВС = 2:1, ВЕ = СЕ,  введем обозначение: пусть ВС=х, тогда АД = 2х.  60=0,5 *2х*ВК, ВК=60:х,  

А

В

С

Д

Е

К

Ответ: 90.

Задача № 4 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 11)

В ромбе АВСД, точка P – точка пересечения диагоналей ромба. Точка Н лежит на стороне АД так, что РН перпендикулярно АД. Чему равно РН, если АР=2ВР и АД=√5?

Решение:  Пусть ВР = х, АР = 2х. Рассмотрим прямоугольный треугольник АРД, по теореме Пифагора, составив уравнение, найдем, что ВР = 1, АР = 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому площадь треугольника АРД = 1. с другой стороны площадь этого же треугольника можно вычислить по основной формуле, т е полупроизведение стороны и высоты, проведенной к ней. Из чего получаем, что РН = .

А

В

С

Д

Р

Н

Ответ: 

Задача № 5 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 11)

АВСД – квадрат и РЕН – равносторонний треугольник, где точки Е и Н лежат на стороне СД, а точка Р - точка пересечения ВЕ и АН. Чему равно ЕН, если ВЕ=8см ?

Решение:

А

В

С

Д

Р

Е

Н

т к треугольник РНЕ равносторонний, следовательно все углы по 60°. Рассмотрим треугольник ВСЕ, <Е=60°, <С =90°, значит <В = 30°. По свойству катета, лежащего против угла в 30°, заключаем, что СЕ = 4. по теореме Пифагора. ВС = , значит ДС = . Пусть ЕН = х,  тогда НС = 4 - х, ДС = 4 –х + х + 4 -х = , х = 8 -, т е ЕН = 8 -.

Ответ: 8 -.

Тема № 3. Окружность, круг. (4 часа)

Содержание темы: Вписанный угол, центральный угол. Длина дуги, окружности, площадь круга.  Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах. Метод геометрических задач, распадающихся на несколько случаев.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Учащиеся должны знать: формулы длины окружности, площади круга, длины дуги, площади сектора, сегмента.  Свойства отрезков хорд, секущих и касательной и секущей. Взаимосвязь между центральным и  вписанным углами  в окружность.  Свойства углов образованных двумя пересекающимися хордами, секущими, угол касательной и хорды. Формулу площади кольца.

Учащиеся должны научиться: выполнять наглядные чертежи, способствующие рациональному решению задачи.

Методические рекомендации:

На уроках 11-12 данная тема рассматривается  аналогично в соответствии с заданиями Рабочей тетради.

На 13-14 уроках учащиеся должны представить результат своей работы

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 11-12.

Задача № 1 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 15)

Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см?     

Решение: Пусть =11, =47. Тогда =22π, =94 π. По условию длина третьей окружности должна быть вдвое больше суммы длин двух окружностей. Получаем = 232 π. =116.

Ответ 116 см.

Задача № 3 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 15)

Радиусы соприкасающихся окружностей равны 4 см и 9 см. Чему равна длина обшей касательной? 

Решение: АВСД трапеции, где АД II ВС. АК = ВС = 4. СД = 4 +9 =13. Треугольник КСД прямоугольный  по теореме Пифагора КС = 12, так как АВСД прямоугольник, то АВ = 12.

А

В

К

С

Д

 Ответ:  12 см.

Тема № 4.Окружности, вписанные в  треугольники и четырехугольники, описанные около треугольника и четырехугольника.  (5+5 часа)

Содержание темы: Свойство медианы. Гравитационный центр (точка пересечения медиан) треугольника. Замечательные точки треугольника. Зависимость площади треугольника и радиусов описанной и вписанной окружности. Свойства вписанного четырехугольника, описанного четырехугольника. Соотношение между стороной и радиусом вписанной или описанной окружностей в правильном  многоугольнике (треугольник, квадрат, шестиугольник). Задачи на комбинации фигур.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче; способствовать развитию навыка решения задач на комбинацию фигур с применением основным формул до автоматизма.

Учащиеся должны знать: определение треугольника  вписанного в окружность и описанного около окружности. Расположение центра окружности, вписанной в треугольник  и описанной около треугольника. Формулы для вычисления радиусов окружности вписанной в треугольник и окружности  описанной около треугольника. Свойство углов вписанного четырехугольника. Формулы сторон и радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных многоугольников.

Учащиеся должны научиться: выполнять наглядные чертежи, способствующие рациональному решению задачи, до автоматизма выражать радиус через сторону и наоборот.

Методические рекомендации:

На уроках 15-16 данная тема рассматривается  аналогично в соответствии с заданиями Рабочей тетради.

На 17-18 уроках учащиеся должны представить результат своей работы;

На уроках 19-20 . Со слабо и средне подготовленными учащимися работа у доски, а хорошо подготовленные ребята могут работать в парах;

На уроках 21-22 После групповой работы можно рассмотреть задачи учащихся, выполненные дома. Учитель сам определяет объем и время выполнения самостоятельной работы, все зависит от возможности кабинета и подготовленности учащихся. Данные примерные задачи на самостоятельную работу я предлагаю каждому ученику, посадив по одному на парту и поменяв для каждого нумерацию задания на раздаточном материале.

На 23 - 24 уроках учащиеся должны представить результат своей работы;

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 15-16.

Задача № 1 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 17)

 В равнобедренном треугольнике высота 20, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности.  

Решение:  Для нахождения радиуса вписанной окружности, вспомним формулу: . Задача на пропорциональные части, поэтому введем неизвестное х = 1 части, тогда АС = 4х, АК = 2х, АВ = 3х. в треугольнике АВК по теореме Пифагора найдем х = 4 , следовательно АС = 16, АВ = 12. Тогда радиусравен 8.

А

В

К

С

Ответ:  8.  

Задача № 3 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 17)

 Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4. 

Решение:  радиус окружности, описанной около треугольника: .

А

В

С

Н

М

К

Пусть АВ = 12, АС = 10, МН = 4.  треугольник АМН, прямоугольный, где МН = 4, АМ = 5, следовательно АН = 3 ( египетский). Построим среднюю линию треугольника МК.  Так как АК = 6, а АН = 3, то КН = 3, значит треугольник АМК равнобедренный и МК = 5, а значит ВС = 10. используя формулу радиуса получаем, что радиус описанной окружности равен .Ответ:  .

Задача № 4 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 17)

 К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12  и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка данной касательной, заключенного между сторонами треугольника.   

 Решение: 

Найдем площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к основанию S = 48. используя теорему Пифагора,  найдем боковую сторону треугольника, она равна 10. Радиус вписанной окружности, как отношение двух площадей треугольника к его периметру будет равен 3, тогда диаметр 6. Далее необходимо рассмотреть подобие треугольников, где найдем половину отрезка касательной. Отрезок касательной равен 3.

Ответ:   3.

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 19-20.

 Задача № 4 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 18)

В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина высоты 8. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.  

Решение:   

А

В

С

Д

Н

Для вычисления радиуса описанной окружности около трапеции, достаточно найти радиус описанной окружности около треугольника АВД. Для этого необходимо воспользоваться формулой: .  В данном треугольнике известна сторона АД как основание трапеции, необходимо найти стороны АВ и ВД.

Так как трапеция равнобедренная, то легко найти НД = (АД – ВС) : 2 + ВС, НД = 15. Из треугольника ВНД по теореме Пифагора найдем ВД = 17.  Из треугольника АВН  по теореме Пифагора найдем АВ = 10. подставляя данные в формулу радиуса, получим R=

Ответ:   .

Задача № 5 из 3 уровня сложности (см. рабочую тетрадь стр 18)

 АВСД – трапеция, описанная около окружности. АВ=СД, периметр трапеции равен 16, ВД = 5. Найдите площадь трапеции. 

А

В

Е

С

Д

Решение:   Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. этих данных в условии нет, поэтому задача сводится к нахождению этих элементов.

Для решения задачи используем свойство четырехугольника, описанного около окружности: АВ + СД = ВС + АД. Тогда АВ + СД = . Т к трапеции равнобедренная, то АВ = СД = 4 и ЕД = . Итак полусумма оснований найдена. Для того, чтобы найти высоту, рассмотрим треугольник ВЕД и по теореме Пифагора найдем ВЕ =3.

= ВЕ*ЕД = 12.

Ответ:  12.

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам 21-22.

Задача №1 (см. рабочую тетрадь стр 20)

 В ромб вписан круг, а в круг вписан квадрат. Найдите в градусах острый угол ромба, если площадь квадрата в 4 раза меньше площади ромба.

Решение: Пусть высота ромба равна h,  т к радиус окружности, вписанной в ромб равен половине высоты ромба, то имеем .  С другой стороны, связав круг и квадрат имеем, что R=. Приравняв левые и правые части двух равенств, получаем, что . . Используя формулу площади ромба как произведение стороны на высоту,  и по условию площадь ромба в 4 раза больше площади квадрата, получаем, что сторона ромба равна двум его высотам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где катет есть высота ромба, а гипотенуза – сторона ромба, получаем, что острый угол ромба равен 30º.

Задача №2 (см. рабочую тетрадь стр 20)

 В равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. найдите площадь трапеции.

 Решение: используем свойство высоты в равнобокой трапеции: В равнобокой трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, или среднему геометрическому между основаниями трапеции; и свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы противолежащих сторон четырехугольника, описанного около окружности равны. Получим, что  площадь трапеции равна 72.

Задача №3 (см. рабочую тетрадь стр 20)

 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями 2 и 3 см.

Решение: Введем обозначения: АВ = СК = h. Т к окружность вписана в трапецию, то выполняется равенство: АВ+СД=ВС+АД. Подставляя данные, получим: h + СД = 5,

СД= 5 - h. Из треугольника СКД, СД = .  Приравняем обе части, и решим уравнение, где h = 2,4, а т к радиус равен половине высоты, то  радиус равен 1,2.

В

 А

С

Д

К

Задача №4 (см. рабочую тетрадь стр 20)

 В равнобедренной трапеции, описанной около круга, острый угол при основании равен α. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

Решение:  обозначим боковые стороны трапеции через а, тогда высота трапеции будет равна а sinα. Т к  высота трапеции равна диаметру круга, то  π π. По свойству сторон описанного четырехугольника, получаем, что сумма оснований трапеции равна 2а. Тогда . Искомое отношение π sinα.

Задания для самостоятельной работы.

1. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 5 и 12, а его площадь равна 240. Определите площадь круга, описанного около прямоугольника. (169π).

2. В равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом равным 12 см и боковой стороной равной 25 см. Вычислите площадь этой трапеции. (600).

3.(У-А) Площадь круга описанного около квадрата равна 50 π см. Найдите площадь квадрата.(100).

4. (У-А) Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см (100 π).

5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, длины сторон которого являются корнями уравнения - 14х + 48 = 0. (5).

6. Найдите диаметр круга, вписанного в ромб с острым углом, равным arcsin0,6, и периметром 200. (30).

7. Если φ -  угол при вершине ромба, а площадь круга, вписанного в ромб. Равна половине площади ромба, то найдите значение выражения: πsin φ. (2).

Тема № 5. Векторы. (4часа)

Содержание темы:  Действия над векторами.  Условие коллинеарности, перпендикулярности векторов. Скалярное произведение векторов. Применение скалярного произведения векторов при решении задач. Свойства векторов на аналитической плоскости.

Цель изучения темы: сформировать твердое понимание вектора; уметь разлагать вектор на две составляющие; уметь применять необходимые и достаточные условия для определения коллинеарности и перпендикулярности векторов; через понятие угла между векторами и скалярного произведения, расширить область применения векторной алгебры и выработать умение практического применения этих понятий; предложить учащимся дополнительный материал по теме, выходящей за пределы школьного курса.

Учащиеся должны знать: Свойство коллинеарности векторов. Определение скалярного произведения векторов. Условие перпендикулярности векторов

Учащиеся должны научиться: до автоматизма находить координаты вектора, его длину, координаты суммы и разности векторов, вычислять скалярное произведение векторов и угол между векторами, уметь использовать теорию векторов при  решении задач рациональным путем.

Методические рекомендации:

На уроках 25 - 26 данная тема рассматривается  аналогично в соответствии с заданиями Рабочей тетради.

На 27 -28 уроках учащиеся должны представить результат своей работы;

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам:

Задача №1 (см. рабочую тетрадь стр 22)

Найдите

Решение:  Такой тип задач часто встречается в тестах, поэтому необходимо запомнить алгоритм их решения. Для решения данной задачи целесообразно использовать формулу:   Подставляя данные задачи, получим =15,  + =25.

Ответ: 25.

Задача № 4 (см. рабочую тетрадь стр 22)

Дано:  Найдите   

Для решения данной задачи необходимо вспомнить свойство арифметического квадратного корня и познакомиться с формулой сокращенного умножения для трех слагаемых с учетом теории векторов. , . Таким образом . Подставляя данные,  получим =.

Ответ .

Тема № 6. Декартовы координаты.  (4часа).  

Содержание темы: Уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение окружности. Задачи в координатах. Задачи на аналитическую запись линий на плоскости. Решение геометрических задач методом координат.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Учащиеся должны знать:  формулу расстояния между  точками. Формулы координаты середины отрезка. Уравнения прямой, окружности. Формулы координаты точки, делящей отрезок в отношении λ. Формулу гравитационного центра треугольника через координаты вершин.  Условие параллельности прямых: ,     условие перпендикулярности прямых: . Формулу расстояние от точки М () до прямой ах+ву+с=0.

Учащиеся должны научиться: решать задачи в координатах, записывать уравнения прямых, заданных различными элементами, уравнение окружности, использовать координаты для рационального решения задач.

Методические рекомендации:

На уроках 29-30 данная тема рассматривается  аналогично в соответствии с заданиями Рабочей тетради.

На 31-32 уроках учащиеся должны представить результат своей работы;

Приведем рассуждения решения некоторых задач к урокам:

Задача №1 (см. рабочую тетрадь стр 24)

Составить уравнение прямой, содержащей медиану АК треугольника АВС с вершинами: А(1;3), В(5;-7), С (-1;9).  

Решение:  

А

С

М

В

Найдем координаты точки М середины отрезка ВС. М (, М(2;1). Для составления уравнения медианы, используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: , получим у-3=-2х+2 или у=-2х + 5.Ответ:  у=-2х + 5.

Повторение  (2 часа).  

Уроки 33-34: Зачет по курсу. К практической части зачета можно использовать тестовые задания по «Планиметрии» из сборников для поступающих в ВУЗы, либо задачи из рабочей тетради « Дополнительный банк задач» по темам.

Содержание:

Введение _________________________________________________ 2

Тематическое планирование_________________________________  3

Тема № 1.Треугольники. ____________________________________ 4 - 6

Тема № 2. Четырехугольники. ______________________________ 6 - 8

Тема № 3. Окружность, круг. ________________________________ 8 - 9

Тема № 4.Окружности, вписанные в  треугольники и четырехугольники, описанные около треугольника и четырехугольника.  ___________________________ 9 - 13

Тема № 5. Векторы. ________________________________________  14

Тема № 6.Декартовы координаты.  ____________________________ 15

Литература.

1. К О Букубаев  Геометрия 8 класс, А Шыныбеков геометрия 8, 9 классы  (дополнительные главы).
2. Л С Атаносян и др. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс. М  « Просвещение» 1997г.
3. Учебно–методическое пособие и сборник тестов для поступающих в ВУЗы. И Акйол. Алматы 2006.
4. И П Рустюмова, С Т Рустюмова. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике.
5. М И Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. М «Высшая школа» 1998г.
6. И Ф Шарыгин. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в ВУЗы. Издательский дом «Дрофа» 1999г.
7. Научно – методический журнал « Математика и физика для школьников Казахстана.
8. Сборники тестов по математике. 2003-2010.
9. Г В Касаткина, Л В Шевченко. «Задачи и тесты по математике». «Дрофа» 2005.
10. Б Г Зив, В М Мейлер, А Г Баханский «Задачи по геометрии для 7-11 классов». М «Просвещение» 1991.

Республика Казахстан, Костанайская область, Затобольская школа – гимназия.

 « Решение планиметрических задач».

Прикладной курс

Рабочая программа.

10 класс.

             Автор: Деревянко Е А  учитель математики

п  Затобольск 2011 г

Пояснительная записка.

Цель курса:  формирование математической культуры, развитие устойчивого интереса к геометрии, пространственного, логического мышления, воспитание понимания, что математика является инструментом познания окружающего мира.

Задачи курса:

1. Систематизировать, обобщить, углубить  знания по основным разделам планиметрии.
2. Познакомить ребят с различными типами задач и способами их решения.
3. Развивать логическое мышление, обогащать и расширять математический кругозор учащихся.
4. Научить применять математические знания при решении повседневных жизненных  задач бытового характера.
5. Развитие ключевых компетенций.
6. Подготовить базу для успешного изучения математики в ВУЗе, требующих глубоких знаний геометрии.

               Данный курс относится к школьному компоненту базисного плана для учащихся 9 класса как предпрофильный курс или для учащихся 10 класса, как профильный курс, желающих расширить свои знания. Обобщая, дополняя и углубляя знания учащихся по планиметрии, курс поможет обеспечить преемственность между школой и ВУЗом.  Общая математическая подготовка будет более полной. Есть необходимость в ведении этого курса. Это связано, прежде всего, с тем, что многие приемы и способы геометрических задач требуют четкости и последовательности в рассуждениях, понимание логических связей между различными этапами решения задачи. Практически каждая геометрическая задача требует «индивидуального» подхода. Поэтому мы рассмотрим способы решения задач, характерные именно для геометрии, покажем различные приемы и методы, которые используются при решении геометрических задач. Основное внимание уделяется решению задач разных уровней сложности.

               Задачи по планиметрии можно сгруппировать по следующим основным темам:

1. Треугольники.
2. Четырехугольники (параллелограмм, трапеция, ромб, квадрат, прямоугольник).
3. Окружность, круг.
4. Окружности, вписанные в  треугольники и четырехугольники, описанные около треугольника и четырехугольника.
5.  Векторы.
6. Декартовы координаты.

             Программа рассчитана на 34 часа. В программе предложено тематическое планирование, основное содержание курса. Прилагается рабочая тетрадь для учащихся с банком задач по темам и методическое руководство для учителя.

Методы обучения:     исследовательский метод, метод проектов.

Форма деятельности учащихся: фронтальная, групповая, работа в парах, индивидуальная.

Форма организации учебных занятий: семинары, практикумы.

Форма контроля: самостоятельная работа, решение индивидуальных задач по каждой теме. В конце курса предполагается зачет по теоретической и практической части.

Планируемые результаты курса: в рамках данного курса учащиеся должны

Знать: определения, свойства и признаки треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции; формулы площадей фигур; зависимость стороны от радиусов вписанной в окружность и описанной около окружности фигуры; формулы для вычисления координат вектора, его длины, суммы и разности векторов, скалярное произведение векторов; формулировки теорем синусов и косинусов; значения синусов и косинусов острых углов; методы решения планиметрических задач.

 Уметь: находить элементы треугольников, четырехугольников; площади фигур; находить радиусы вписанных в окружность и описанных около окружностей фигур; вычислять координаты векторов; решать задачи на применение метода координат;  решать задачи на комбинации фигур.

Основное содержание курса.

Треугольники. (5 часа) Произвольный треугольник, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Теорема Евклида (высота в прямоугольном треугольнике). Метод подобия, метод площадей в геометрических задачах.

Цель изучения темы:  систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Четырехугольники. (5 часа) Параллелограмм, ромб, квадрат. Прямоугольник, трапеция, свойства и признаки. Формулы площадей, свойства диагоналей, метод решения задач путем дополнительных построений.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Окружность, круг. (4 часа)  Вписанный угол, центральный угол. Длина дуги, окружности, площадь круга.  Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах. Метод геометрических задач, распадающихся на несколько случаев.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Окружности, вписанные в  треугольники и четырехугольники, описанные около треугольника и четырехугольника.  (5+5 часа) Свойство медианы. Гравитационный центр (точка пересечения медиан) треугольника. Замечательные точки треугольника. Зависимость площади треугольника и радиусов описанной и вписанной окружности. Свойства вписанного четырехугольника, описанного четырехугольника. Соотношение между стороной и радиусом вписанной или описанной окружностей в правильном  многоугольнике (треугольник, квадрат, шестиугольник). Задачи на комбинации фигур.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче; способствовать развитию навыка решения задач на комбинацию фигур с применением основным формул до автоматизма.

Векторы. (4часа) Действия над векторами.  Условие коллинеарности, перпендикулярности векторов. Скалярное произведение векторов. Применение скалярного произведения векторов при решении задач. Свойства векторов на аналитической плоскости.

Цель изучения темы: сформировать твердое понимание вектора; уметь разлагать вектор на две составляющие; уметь применять необходимые и достаточные условия для определения коллинеарности и перпендикулярности векторов; через понятие угла между векторами и скалярного произведения, расширить область применения векторной алгебры и выработать умение практического применения этих понятий; предложить учащимся дополнительный материал по теме, выходящей за пределы школьного курса.

Декартовы координаты.  (4часа).  Уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение окружности. Задачи в координатах. Задачи на аналитическую запись линий на плоскости. Решение геометрических задач методом координат.

Цель изучения темы: систематизировать и обобщить имеющиеся знания по теме; дополнить необходимым теоретическим материалом, выходящим за пределы школьного курса; способствовать формированию и развитию навыка решения задач по теме, нахождения рационального решения задачи; развивать воображение, способствовать развитию умения видеть чертеж к задаче.

Повторение  ( 2 часа).  Зачет по курсу.

Тематическое планирование учебного материала.

Литература.

1. К О Букубаев  Геометрия 8 класс, А Шыныбеков геометрия 8, 9 классы  (дополнительные главы).
2. Л С Атаносян и др. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс. М  « Просвещение» 1997г.
3. Учебно–методическое пособие и сборник тестов для поступающих в ВУЗы. И Акйол. Алматы 2006.
4. И П Рустюмова, С Т Рустюмова. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике.
5. М И Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. М «Высшая школа» 1998г.
6. И Ф Шарыгин. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в ВУЗы. Издательский дом «Дрофа» 1999г.
7. Научно – методический журнал « Математика и физика для школьников Казахстана.
8. Сборники тестов по математике. 2003-2010.
9. Г В Касаткина, Л В Шевченко. «Задачи и тесты по математике». «Дрофа» 2005.
10. Б Г Зив, В М Мейлер, А Г Баханский «Задачи по геометрии для 7-11 классов». М «Просвещение» 1991.

Республика Казахстан, Костанайская область, Затобольская школа – гимназия.

«Решение планиметрических задач»

Прикладной курс

Рабочая тетрадь

10 класс.

Автор: учитель математики Деревянко Е А

Затобольск 2011г

Предисловие.

                    Предлагаемая рабочая тетрадь может быть использована на уроках как пособие для организации обучения прикладного курса.  Рабочая тетрадь подготовлена с учетом требований педагогической технологии уровневой дифференциации обучения учащихся. Предложенные разноуровневые задания дают возможность реализовать идеи развивающего обучения, так как работая над заданиями ученик учится мыслить, представлять, запоминать, рассуждать. Система разноуровневых заданий повышает мотивацию и активность учащихся.

                     В течение первых 5-10 минут учащимся предоставляется возможность вспомнить самостоятельно, либо с помощью учебника необходимый материал, изученный в курсе основной школы, для рационального использования времени при решении задач по теме. Это позволяет развивать память, формировать навыки работы с книгой и самостоятельной поисковой деятельности.  За следующие 10 - 15 минут  учащимся предлагается дополнительный материал по теме, который необходим для рационального решения задач.  Далее учащимся предлагается три уровня сложности задач. Все учащиеся начинают свою деятельность с выполнения первого уровня. Пропуск невыполненных заданий не допускается. По мере правильного и последовательного выполнения задач, учащиеся организуются в группы по 3-4 человека, причем состав групп всегда изменяется, и выполняют задачи второго уровня. По ходу выполнения задач, каждая группа, предлагает решение учителю и учащимся на доске. После решения задачи, обязательно акцентируется внимание на том теоретическом материале, который был использован в ходе ее решения. Задания третьего уровня выполняются совместно, предлагаются варианты решения и выбирается рациональный, занимающий меньше времени вариант решения. Регулярное и качественное выполнение всех заданий даже первого уровня дает уверенность учащемуся в работе, порождает среди учащихся соревновательный момент и гарантирует получение учащимися знаний на уровне минимальных требований общеобразовательного стандарта образования. В качестве домашнего задания каждому ученику предлагается продолжить дальше выполнение индивидуальных заданий по теме. В течение недели у учащихся есть возможность консультироваться с учителем по решению домашних задач. Выполнение домашнего задания обязательно. Каждому ученику на уроке предоставляется возможность презентовать свою работу в виде электронной презентации, он отвечает на вопросы, которые возникли у учителя и учащихся в ходе решения той или иной задачи. Наиболее значимые задачи, учащиеся фиксируют у себя в тетрадях.

                     В конце прохождения курса, проводится зачетное занятие по индивидуальным заданиям, состоящих из двух частей: теоретической и практической. У каждого ученика есть возможность получить зачет – автомат, для этого необходимо активно работать на всех уроках и при выполнении домашних задач, иметь рациональные решения.

Уроки 1-2. Треугольник.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Записать формулы для вычисления площадей треугольника, формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной и описанной окружностей. Свойство биссектрисы угла треугольника. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Прямоугольный треугольник. Записать метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Равносторонний треугольник. Записать формулы высоты, площади, радиусов вписанной и описанной окружностей. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

Теорема Евклида: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу. ( ).  

Формула для вычисления медианы: .  

Гравитационный центр треугольника ( центр тяжести) -  точка пересечения медиан.

Формула для вычисления  длины биссектрисы угла:  (1),      (2).

Методы решения задач по планиметрии: 1. Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем; 2. Метод подобия; 3. Метод площадей; 4. Метод решения задач путем дополнительных построений; 5. Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах; 6. Метод геометрических задач, распадающихся на несколько случаев.

Свойство медианы: три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности). Какие методы решения задач использованы?

1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5 см соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла.

(ответ

2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна , угол при основании равен 30°. Найдите длину биссектрисы АД. (ответ 1).
3. Стороны треугольника АВС равны 15, 14, 13 см. О точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОВ. ( ответ 28).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Определите площадь треугольника, если две его стороны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12. (ответ 235,2).
2. Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. найдите площадь треугольника. ( 288).
3. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 см равна… ( ответ 36)

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании. ( см уч 4 стр 483 № 17).
2. Две стороны треугольника а и б. медианы, проведенные к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону. (см уч 4 стр 485 № 19).
3. В треугольнике АВС точка N лежит на стороне АС. АN=АС, медиана АМ перпендикулярна ВN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ=m , ВN=n. (уч 4  №15).
4. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что найдется прямая, проходящая через вершину угла при основании, разбивающая исходный треугольник на два равнобедренных треугольника. (уч 4. №31).

4 этап. Задание на дом.

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи по теме « Треугольник»

Уроки 3 - 4. Треугольник.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 5 - 6. Четырехугольники.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Вспомнить определение параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции и их свойства. Записать формулы для вычисления площадей фигур.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. Свойство диагоналей параллелограмма: ; обе диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника.
2. Радиус окружности, вписанной в ромб,  равен половине его высоты.
3. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали.
4. Если точка Е- любая внутренняя точка прямоугольника АВСД, то выполняется равенство: СЕ+АЕ=ВЕ+ДЕ.
5. Точки пересечения биссектрис прямоугольника образуют квадрат.
6. В трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых ее сторон плюс удвоенное произведение оснований трапеции.
7. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату ее высоты.
8. В равнобокой трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, или среднему геометрическому между основаниями трапеции.
9. В четырехугольнике угол между биссектрисами двух смежных углов равен полусумме двух других углов четырехугольника.

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности). Какие методы решения задач использованы?

1. Длина прямоугольника на 8 см больше его ширины. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 65 см (ответ 5 и 13 см)
2. Сторона ромба равна 17 см, а одна из диагоналей 16 см. найдите вторую диагональ. (ответ 30см).
3. Периметр параллелограмма равен 24 см. найдите стороны параллелограмм , если разность смежных сторон составляет 3 см. ( ответ 7,5 и 4,5 см).
4. Высота трапеции 4 см, а углы при большем основании 30 и 45 градусов. Найдите боковые стороны. (ответ 8 и 4).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Вычислите периметр равнобокой трапеции, если известно, что один из ее углов равен 60°, а основания равны 15 и 49 см. ( ответ 132 см).
2. Боковые стороны трапеции равны 14 и 17 см, а периметр равен 71 см. найдите среднюю линию трапеции. (ответ 20 см).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. В трапеции АВСД,  АД и ВС – основания, АД:ВС=2:1. Точка Е середина стороны ВС. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕД равна 60 см. ( ответ 90 см).
2. В параллелограмме с высотой см, один угол в три раза больше другого угла. Тогда…

А) одна из сторон короче на 2 см, а другая длиннее на 2 см.

Б) стороны короче высоты.

В) одна из сторон равна 2 см.

Д) обе стороны короче 2 см.

Е) обе стороны длиннее 2 см.

3.  Найдите отношение площади ромба со стороной а и острым углом α к площади квадрата со стороной, равной диаметру вписанного в ромб круга. (ответ 1: sinα).

4.  В ромбе АВСД, точка P – точка пересечения диагоналей ромба. Точка Н лежит на стороне АД так, что РН перпендикулярно АД. Чему равно РН, если АР=2ВР и АД=√5? (ответ )

5. АВСД – квадрат и РЕН – равносторонний треугольник, где точки Е и Н лежат на стороне СД, а точка Р - точка пересечения ВЕ и АН. Чему равно ЕН, если ВЕ=8см ? (ответ 8 - 4).

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи по теме «Четырехугольники»

Уроки 7 - 8. Четырехугольники.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 9-10.  Решение задач.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

Теоретический диктант на два варианта.

1.1 Сформулируйте теорему Евклида. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.2 Сформулируйте свойства медианы. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.1 Запишите формулу для вычисления медианы.__________________________________________

2.2 Запишите 1 формулу для вычисления биссектрисы._____________________________________

3.1 Запишите 2 формулу для вычисления биссектрисы._____________________________________

3.2 Сформулируйте свойство биссектрисы._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.1 Сформулируйте свойства диагоналей параллелограмма._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2 Сформулируйте свойство диагоналей в трапеции.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.1 Сформулируйте свойство прямоугольника при данной внутренней точке.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.2 Чему равен радиус окружности вписанной в ромб?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 этап. Проверка домашнего задания по темам « Треугольник», «Четырехугольник»

3 этап. Решение задач по темам « Треугольник», «Четырехугольник».

1. В треугольнике АВС, ВN биссектриса угла В, угол А равен 90 градусов. Чему равен отрезок NС, если АВ=4, АN=2? ( уч 2 стр 114, № 19).
2. Чему равна АК, если К гравитационный центр и ВС = 5 см? ( уч 2 стр 114, № 20).
3. АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС =13. Чему равна площадь треугольника АДС, если ВД = 18, СД = 6, точка Д лежит на ВС ? ( уч 2 стр 114, № 22).
4. ВД диагональ прямоугольника АВСД. Точка Н лежит на ВД, так, что перпендикулярно ВД. Чему равна площадь АВСД, если АН=12 см и ВС=15 см ? ( уч 2 стр 141 № 16).
5. Острый угол в параллелограмме равен 30º. Из вершины опущены на две стороны высоты, сумма их длин равна 15 см. чему равен периметр параллелограмма? (Ответ 6)

4 этап. Тест на 2 варианта. (1 вариант – нечетные, 2 вариант – четные номера).

1. Чему равна площадь прямоугольника, если его диагональ  6 см и образует со стороной угол 60º. а)18 см; в) 18 см; с) 27 см; д) 9 см; е) 81 см.

2. Основания трапеции относятся как 4:7.  найдите верхнее основание, если средняя линия равна 28,6 см.

а) 20,8 см; в) 19,6 см; с) 21,6 см; д) 22,4 см; е) 21,2 см.

3. Периметр трапеции 36, а сумма непараллельных сторон равна 12, тогда средняя линия равна:

а) 6, в) 12, с) 10, д) 14, е) 8.

4. В треугольнике АВС АС=10 см, С = 30º,  В=48º. Найдите сторону АВ.

а) 5sin48º, в) 10sin30º, с) , д) 10sin78º, е) 5cos30º.

5. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 8 см и 18 см.

а) 72 см; в) 288 см; с) 144 см; д) 156 см; е) 312 см.

6. Стороны прямоугольника 6,4 дм и 2,1 дм. Периметр квадрата составляет 80% от периметра прямоугольника, тогда сторона квадрата равна:

а) 3,8; в) 3,7; с) 3,4; д) 3,9; е) 3,5.

7. Стороны треугольника равны 3 см, 8 см, 7 см. найдите меньшую сторону подобного ему треугольника, периметр которого равен 9 см.

а) 3 см; в) 1,5 см; с) 3,5 см; д) 7 см; е) 6 см.

8. В прямоугольном треугольнике АВС (С=90 º) СК – биссектриса, А = 15º, АС=. Найдите АК. а) 2; в) ; с) ; д) 2; е) 5.

9. Периметр равнобедренного треугольника равен 48. высота, проведенная к основанию, отсекает от данного треугольника треугольник с периметром 32. Найдите эту высоту.

 а) 4; в) 5; с) 6; д) 8; е) 7.

10. Угол М при основании трапеции МКРТ равен 45º, МК = 6, МТ = 10, КР=4. Найдите сумму квадратов диагоналей трапеции.

а) 92; в) 188; с) 428; д) 675; е) 312.

11. Найдите площадь треугольника, если ВС=7 см, АС= 14 см, С=30º.

а) 31 см; в) 28,3 см; с) 24,5 см; д) 12,5 см; е) 40,1 см.

12. Вершина А равностороннего треугольника АВС соединена с точкой Д, Делящей сторону ВС на отрезки ВД=1 и ДС =2. определить отрезок АД.

а) ; в) 3; с) ; д); е) .

13. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 3 см, 25 см, 26 см.

а)

14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120 см. Найдите меньший катет.

а) 12 см,в) 14 см, с) 10 см, д) 13 см, е) 11 см.

15. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 8 см, а один из углов равен 45º.

а) 64 см; в)32 см;с) 164 см; д) 32 см; е) 128 см.

16. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки 4 и 5 см. Определите площадь треугольника.

а) 49 см, в) 48 см, с) 52 см, д) 54 см, е) 64 см.

5 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи по темам « Треугольник», «Четырехугольник».

ключ к тесту.

Уроки 11 - 12. Окружность и круг.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Длина окружности, площадь круга, длина дуги, площадь сектора, сегмента_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Свойства отрезков хорд, секущих и касательной и секущей________________________________

3. Центральный угол, вписанный в окружность угол_______________________________________

4. Свойства углов образованных двумя пересекающимися хордами, секущими, угол касательной и хорды__________________________________________________________________

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. Площадь кольца  , где R- радиус большого круга, а  r- радиус малого круга.

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности).

1. Найти площадь сектора радиуса 3 см, если соответствующий этому сектору центральный угол равен 30°.    (ответ).

2.  АС перпендикулярно ВД. Чему равен АСД, если ВАС = 10 º ?     (ответ 80 º).

3. Расстояние от хорды до центра равно 6 см. Длина хорды равна 16 см. чему равна длина окружности?    (ответ 20 π см).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Чему равна площадь круга, если длина окружности равна 8 π ?     (ответ16 π).

2. Чему равна длина окружности, если площадь круга равна 9 π ?     (ответ 6 π).

3. Чему равна площадь сектора, образованного центральным углом окружности равным  60º, если длина окружности равна 12 π см?    (ответ 6 π см)

4. Из точки Р, лежащей вне окружности, проведена касательная АР и секущая РС, которая прошла через центр окружности О. найдите площадь круга, если АР=2 см, РВ =8 см.     (ответ 25 π см).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см?      ( ответ 116 см).

2. В окружности с центром  в точке О и радиусом 2 см, проведена хорда АВ так, что радиус,  проведенный к точке А,  образует с хордой угол 30º. Найдите площадь образованного сегмента.    (ответ ).

3. Радиусы соприкасающихся окружностей равны 4 см и 9 см. Чему равна длина обшей касательной?   (ответ12 см).

4. Из точки А, удаленной от окружности на 8, проведена касательная к окружности. Найдите расстояние от точки касания до прямой, проходящей через точку А и центр окружности, если радиус равен 5.  (ответ )

5. Через точку М, удаленную от центра окружности на расстояние b, проведена секущая МА так, что она делится окружностью пополам: МВ=ВА. Определите длину секущей МА, если радиус окружности равен r.     (ответ

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи.

Уроки 13 - 14. Окружность и круг.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 15-16. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Треугольник вписанный в окружность и описанный около окружности.

2. Центр окружности, вписанной в треугольник. Центр окружности, описанной около треугольника.

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. , где r- радиус вписанной в треугольник окружности,  S- площадь треугольника,   p- полупериметр.

2. , где S- площадь треугольника, R-радиус описанной окружности, а,в,с – стороны треугольника.

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности).

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. чему равна площадь описанной окружности?   (ответ 25 π см).

2. Чему равна площадь описанной окружности, около равностороннего треугольника со стороной равной 2 см?    (ответ  см).

3. В прямоугольном треугольнике катет равен 7, а гипотенуза 25. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.     (ответ 3).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. В правильный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 5. Найдите медиану этого треугольника.    (ответ 15).

2. Периметр правильного треугольника равен 42 см. Найдите длину окружности вписанной в него   ( ответ 14 π см)

3. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 2 и 3 см. найдите радиус этой окружности.    (ответ 1).

4. Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.    (ответ 2).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1.В равнобедренном треугольнике высота 20, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности.    (ответ8).  

2. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 6 см и 4 см. Найдите площадь треугольника.    (ответ 48 см).

3. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4.   (ответ ).

4. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12  и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка данной касательной, заключенного между сторонами треугольника.    (ответ 3).

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное). Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи.

Уроки 17-18. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 19-20. Окружность, вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Свойство углов вписанного четырехугольника.

2. Формулы сторон и радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных

многоугольников ( треугольник, квадрат, шестиугольник)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. АВСД – описанный около окружности четырехугольник. Центром окружности является точка пересечения биссектрис. АВ+СД=ВС+АД.  Если S – площадь четырехугольника,  р – полупериметр и r – радиус вписанной окружности, то S = р r = (АВ+СД) r = (ВС+АД) r.

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности).

1. Найти площадь круга, если стороны вписанного в него прямоугольника равны 8 см и 16 см.   ( ответ 80π см).
2. Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника равна 36 π см. Найдите площадь шестиугольника.   ( ответ 54 см).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, равна 60,75 π см. Найдите периметр шестиугольника.    (ответ 54 см).

2. Периметр ромба равен 40 см, а радиус вписанной окружности равен 4 см. Определите синус острого угла.    (ответ 0,8).

3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 54 см. Найдите периметр квадрата, вписанного в эту окружность.    (ответ 24 см).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. Периметр прямоугольника равен 68 см, а радиус описанной около него окружности равен 13 см. Определите площадь прямоугольника.    (ответ 240 см).

2. На земельном участке, имеющем форму прямоугольной трапеции АВСД, где АД=3, АВ=4, разбили цветочную клумбу в форме круга, на оставшейся части засеяли газонную траву. Найдите площадь участка,  засеянного газонной травой. Π=3.    (ответ 6 см).

3. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух его сторон на отрезки, равные 2 и 23. Найдите радиус окружности.    ( ответ 17).

4. В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина высоты 8. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.    (ответ).

5. АВСД – трапеция, описанная около окружности. АВ=СД, периметр трапеции равен 16, ВД = 5. Найдите площадь трапеции.   (ответ 12).

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи

Уроки 21-22. Решение задач. Самостоятельная работа.

1 этап. Групповая работа.

1. В ромб вписан круг, а в круг вписан квадрат. Найдите в градусах острый угол ромба, если площадь квадрата в 4 раза меньше площади ромба.
2. В равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями 2 и 3 см.
4. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, острый угол при основании равен α. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

2 этап. Самостоятельная работа.

1. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 5 и 12,а его площадь равна 240. определите площадь круга, описанного около прямоугольника.

2. В равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом равным 12 см и боковой стороной равной 25 см. Вычислите площадь этой трапеции.

3.(У-А) Площадь круга описанного около квадрата равна 50 π см. Найдите площадь квадрата.

4. (У-А) Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см.

5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, длины сторон которого являются корнями уравнения - 14х + 48 = 0.

6. Найдите диаметр круга, вписанного в ромб с острым углом, равным arcsin0,6, и периметром 200.

7. Если φ -  угол при вершине ромба, а площадь круга, вписанного в ромб. Равна половине площади ромба, то найдите значение выражения: πsin φ.

Уроки 23 - 24. Окружность, вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 25 - 26. Векторы.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы). Устно.

1. АС=k*АВ, если k>0, то векторы ____________________________, если k <0, то векторы____________________________________________________________________________ .

2. Найти координаты вектора АВ, если А ( 3;-2) и В ( 1;3) ?__________________________________

3. Чему равна длина вектора  ā= ( 5;-12)? _________________________________________________

4.  Является ли вектор ā =(sin; cos) единичным вектором?

5. Свойство коллинеарности векторов.___________________________________________________

6. Чему равно скалярное произведение векторов?_________________________________________

7. Условие перпендикулярности векторов ________________________________________________

8. Чему равно скалярное произведение векторов, если векторы параллельны?

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. Вектор АВ равен вектору противоположному ВА.

2. Вектор - является единичным вектором в направлении .

3.        

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности).

1. Чему равен единичный вектор в направлении вектора ā = (3;-4)?     (ответ
2. Чему равно а, если и  параллельны? (ответ а=-9, а=9).
3. Чему равен косинус угла между векторами = ( 2;3) и =( -3; -2) ? (ответ ).
4. Даны вектора ( -2;1), (1;3). Найдите . (ответ ).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Чему равен модуль ā, если ā = ? (ответ 10).
2. Чему равно а, если =10, где  и . (ответ 1).
3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если А (3;-7), В ( -5; 4), С ( 27; -40) ? (ответ да).
4.  АВСД- куб. найдите вектор, равный  (ответ ).
5.  Разложить (19; -9) по двум неколлинеарным векторам ( -2;3) и ( 5;-1).                   (ответ =-2+3).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. Найдите  (ответ 25).

2. Если в параллелограмме АВСД заданы Д (3;1;-5), ( -2;-1;2), ( 4;-3;-1), то сумма координат вершины А будет равна?  (ответ 0).

3. Найдите угол между векторами  и , если  и . ( ответ cos = )

4. Дано:  Найдите   (ответ ).

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи.

Уроки 27 - 28. Векторы.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 29-30.  Декартовы координаты.

1 этап. Актуализация (задания из пройденного материала, необходимые для усвоения темы).

1. Если точки заданы своими координатами, то запишите формулу расстояния между ними ____________________________________________________________________________________

2. Формулы координаты середины отрезка ____________________________________________________________________________________

3. Записать уравнения прямой, окружности______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении λ_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 этап. Дополнение к данной теме. (предлагается дополнительный материал, необходимый для быстрого решения задач по теме). 

1. Координатная четверть или квадрант ( 1 –квадрант и т д).

2. Гравитационный центр треугольника вычисляется по формуле ().

3. Если АВСД – параллелограмм с А( то .

4. Наклоном линии является касательная положительного угла между линией и осью х.

5. Наклон линии, у которой две точки  равен ; наклон линии, уравнение которой есть у=mx+n, равен m; наклон линии, уравнение которой ax+by+c=0, равен m=.

6. Условие параллельности прямых: ,     условие перпендикулярности прямых: .

7. Расстояние от точки М () до прямой ах+ву+с=0:    .

3 этап. Решение задач разной степени сложности.

Самостоятельное решение задач (предлагается 1-й уровень сложности).

1. Чему равен гравитационный центр треугольника с вершинами А(1;3), В(-1;-2), С(0;3)?                      (ответ (0; )).
2. Найдите а + в, если А (а;3), В (3;2), С(2;в) и Д (1;4).    (ответ а + в=5).
3. Найдите расстояние от точки М (1;-2) до прямой 2х + у + 3=0.   (ответ 0,6).

Решение задач в группах (предлагается 2-й уровень сложности).

1. Найдите точки пересечения окружности с центром в точке (3;4), радиусом равным 5 и прямой линией, заданной уравнением х + у - 8=0. (ответ (0;8), (7;1)).
2. Определите координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках М( -3;5),     Р(13;-3) и К (5;-11).   (ответ (5;-3).
3. Определить вид четырехугольника с вершинами в точках: А(6;7), В (8;2), с(4;3), Д(2;8).
4. Найдите расстояние от центра окружности  до начала координат. (ответ  5).

Решение задач у доски (предлагается 3-й уровень сложности).

1. Составить уравнение прямой, содержащей медиану АК треугольника АВС с вершинами: А(1;3), В(5;-7), С (-1;9).    (ответ у=-2х + 5).

2. Даны координат в точек Р(-1;5), Q (3;2). Найти координаты точки М, симметричной Р относительно точки Q. (ответ М(7;-1).

3. Определите косинус меньшего угла треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А(-5;7), В(3;-1), С(-1;-9).     (ответ  ).

4. Окружность задана уравнением . Найдите координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.   (ответ (2;0), (8;0)).

4 этап. Задание на дом. (индивидуальное).

Из сборников тестов найди и решить по 3 задачи

Уроки 31 - 32.  Декартовы координаты.

Решение задач. Презентация задач.

Решение задач разной степени сложности.

Учащиеся предлагают задачи по теме из сборников тестов.

Уроки 33 -34. Зачет.

1 этап. (теоретические знания по пройденным темам)

2 этап. ( решение 4 –х задач с пояснениями по индивидуальным карточкам).

3 этап. ( решение 15 тестовых задач на 4 варианта из сборников тестов 2003-2010).

Дополнительный банк задач по теме « Треугольник. Четырехугольник».

1. Диагонали четырехугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите площадь четырехугольника АВСД, если площадь треугольников АВС, ВСД, АОД равны соответственно 34, 80, 168.  ( ответ 272)
2. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а отрезок, соединяющий середину меньшего основания и середину боковой стороны, равен 7. Найдите площадь трапеции.  

( ответ 98).

3. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований равно 17, а площадь равна 81. Найдите второе основание.    ( ответ 1)
4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и точкой пересечения делятся в отношении 3:4. Площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон трапеции равна 196. Найдите боковую сторону трапеции.    ( ответ 20)
5. Боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а содержащие их прямые взаимно перпендикулярны, площадь трапеции равна 144. Найдите среднюю линию трапеции. ( ответ 15)
6. В трапеции АВСД основания равны 13 и 26, одна из боковых сторон равна 5, а      С -А = 90°. Найдите площадь трапеции.   ( ответ 90)
7. Найдите высоту трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны и равны 15 и 20.  

( ответ 12)

8. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 13. Одна из диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ.   ( ответ 24).
9. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки длиной 20 и 5. Найдите площадь трапеции. (ответ 200)
10. Диагонали трапеции АВСД с основанием ВС и АД пересекаются в точке О и равны 8 и 5. Найдите среднюю линию трапеции, если ВОС = 60°.   ( ответ 3,5)
11. Сторона параллелограмма равна 21, а диагонали равны 34 и 20. Найдите площадь параллелограмма.   (ответ 336)
12. На стороне АВ параллелограмма АВСД отмечены точки К и М так, что АК = КМ = МВ. Отрезки СК и ДМ пересекаются в точке О.  Площадь параллелограмма равна 40. Найдите площадь треугольника СОД.   (ответ 15)
13. Найдите высоту ромба, если его меньшая диагональ равна 6, а сторона равна 5.  ( ответ 4,8)
14. Площадь ромба равна 600, а отношение длин диагоналей равно 4 : 3. Найдите высоту ромба.  

 ( ответ24).

15. Биссектрисы углов параллелограмма АВСД пересекают стороны ВС и АД в точках К и Р соответственно, причем ВС:КС= 5 : 2. Площадь параллелограмма АВСД равна 75. Найдите площадь четырехугольника АКСР.       ( ответ 30)
16. В параллелограмме АВСД АВ=4, АД=8. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, углов С и Д – в точке М. Найдите КМ.   ( ответ 4)
17. Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСД пересекаются в точке К, лежащей на стороне АД. Площадь параллелограмма равна 36,  С=120°. Найдите большую сторону параллелограмма.    ( ответ 12).
18. Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК :КС= 4 : 3. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 132.    ( ответ 42)
19. В треугольнике АВС  А = 30°. На стороне АС взята точка К так, что АК =4, СК = 5, АВК =  С. Найдите площадь треугольника ВКС. ( ответ 7,5)
20. Медианы АК  и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О, АВ=13, ВС=14, СА=15. Найдите площадь треугольника АОМ,   ( ответ 14)
21. Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точка О, АН = ВС = 8. Найдите площадь треугольника АВО.   (ответ 60)
22. Высоты  АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О, АК=12, КС=8. Найдите АО.     ( ответ 6).
23. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АС взята точка К так, что угол ВКС равен углу В. Найдите гипотенузу АВ, если СК=4,5 и АК= 3,5.   ( ответ 10)

Дополнительный банк задач по теме «Окружность и круг».

1. Хорда АВ делит окружность в отношении 11:7. Найдите в градусах меньший из вписанных углов, опирающихся на эту хорду. (ответ 70°).
2. В окружности радиуса 4 см проведен диаметр, и на нем взята точка А на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. (ответ 0,875).
3. Две одинаковые окружности расположены так, что каждая из них проходит через центр другой. Под каким углом в градусах видна общая хорда этих окружностей из центра одной из окружностей?  (ответ 120°).
4. В окружности с центром в точке О хорды АВ и АС взаимно перпендикулярны. Угол СОА равен 54°. Найти угол АСВ.  (ответ 63°).
5. Дан ромб со стороной  и острым углом 60°. На его большей диагонали как на диаметре построена окружность. Найти площадь круга. (ответ 0,75).
6. Расстояние от центра О окружности до хорды СД равно 9см. Угол ОСД равен 45°. Точка К принадлежит хорде СД, причем СК = 3КД. Найти длину отрезка СК.       (ответ 13,5).
7. Хорды МN и МК окружности равны по 18 см, а угол КМN равен 120°. Найдите диаметр этой окружности.  (ответ 36).
8. Чему равна площадь сектора, образованного центральным углом окружности равного 60°, если длина окружности равна 12π.  (ответ 6 π).
9. Площадь окружности равна 9 π. Чему равна длина дуги, лежащая напротив вписанного угла 60°.   (ответ 2 π).
10. Стороны угла СЕД, равного 60°, касаются двух окружностей с центрами М и К, также касающихся одна другой, причем ЕМ = 21. Найдите радиус окружности с центром К ( точка К расположена ближе к точке Е).     (ответ 3,5).

Дополнительный банк задач по теме «Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника»,  «Окружность, вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника».

1. В равнобедренном треугольнике основание равно 12, боковая сторона 10.Найти радиус описанной окружности. (ответ 6,25).
2. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 5, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 2. найти периметр треугольника.  (ответ 24).
3. Найти периметр ромба, зная, что длина его большей диагонали равна 10, а радиус вписанной окружности равен 3.  (ответ 25).
4. Длина окружности 4π. Найти площадь квадрата, вписанного в эту окружность. (8).
5. Радиус вписанной в ромб окружности равен 5, а один из углов равен 60°. Найти длину большей диагонали ромба. (ответ 20).
6. Диаметр окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 48см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. (ответ 12).
7. Чему равна площадь описанной окружности, около равностороннего треугольника со стороной равной 2 см?   (ответ ).
8. Трапеция СДЕК вписана в окружность (ДЕ II СК), ЕК = 5, КД = 12, причем КД перпендикулярно СД. Найдите длину окружности.   (ответ13π).
9. Стороны треугольника 8см, 10см и 12см. Найти радиус описанной окружности.  (ответ ).
10. Трапеция вписана в окружность (ВС II АД), АВ = 6, ВД = 8, ВД перпендикулярно АВ. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.  (ответ 25 π).
11. В четырехугольнике АВСД, описанном около окружности, АВ = 8, СД = 13, АД = 16. Найти сторону ВС.  (ответ 5).
12. В прямоугольном треугольнике один  из углов равен 30º. Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4см. (ответ 4 + 4).
13. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8см. Найдите площадь трапеции.  (ответ 94,08).
14. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а расстояние от центра вписанной окружности до вершины этого угла равно 10см. Найдите большую сторону этого треугольника.  (ответ 10+10).
15. Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до конца боковой стороны равны 9 и 12см. Найдите площадь трапеции.   (ответ 216).
16. Найдите периметр прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиуса 13см, если один из катетов равен 10см. (ответ 60).
17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12 и 10см.   ( ответ 6,25).
18. Равнобедренная трапеция вписана в окружность так, что центр окружности принадлежит одному из оснований. Найдите углы трапеции, если один из углов между ее диагоналями равен 48°.   (ответ 114°, 66°).
19. Каждая из боковых сторон и меньшее основание трапеции равны 5см, а один из ее углов равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около нее.  (ответ 5).
20. Четырехугольник АВСД вписан в окружность так, что сторона АД является диаметром окружности, АВС = 121°, ВСД = 129°. Найдите углы ВАД, СДА, АСВ.   (ответ 31°, 39°, 39°).

Дополнительный банк задач по теме «Векторы. Декартовы координаты».

1. Найти площадь квадрата со смежными вершинами в точках А(3; -7) и В(-1; 4).  

       (ответ 137).

2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0). (ответ 1).
3. Векторы  и  образуют угол в 120° и =3, =5. Найти         (ответ 7).
4. Найти длину вектора , если А(-3; 2; -1), В(2; -1; -3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).  (ответ ).
5. Найти кратчайшее расстояние от точки В(3;9) до окружности - 26х +30у + 313 =0.        (ответ 17).
6. Найти наибольшее значение m, при котором длины векторов (2 m; 2; 3) и (-6; -2; m) равны.  (ответ 3).
7. Найти наибольший угол треугольника с вершинами в точках А(3; -1; 6), В(-1; 7; -2), С(1; -3; 2).      (ответ ).
8. Векторы , ,  попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60°, =4, =2, =6. Найти .       (ответ 10).
9. Найти сумму всех значений α, при которых вектор (α-3; 0,5) параллелен вектору (α-2; α-3).        (ответ 6,5).
10. Найти угол между векторами 5 и -2 если (2; -3) и (-3; -2).       (ответ ).
11. Через точку (1; 1) проходят две касательные к графику функции f(х) = 2 + 4х + 3. Найти сумму абсцисс точек касания.      (ответ 2).
12. Найти косинус угла между векторами  и , если С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1),

      М(2; -3; 3), N(-1; 1; -2).      (ответ 0,7).

13. Найти длину вектора  -  - , если  = 2, =3, = 4, угол между  и  равен 60°, между  и  равен 90° и между и  равен 120°.        (ответ ).
14. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно к АВ, если А(3; -6) и В(5; -4).         (ответ -1).
15. К окружности, заданной уравнением -14у -95 = 0, проведена касательная, проходящая через точку М(0; -6). Найти расстояние от точки М до точки касания.   (ответ 5).
16. Найти расстояние от прямой, заданной уравнением 4х + 3у = 12,  до начала координат.   (ответ 2,4).
17. Вычислите площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой, заданной уравнением  -2х + 7у + 14 = 0.   (ответ 7).
18. Даны вершины треугольника А(3; -4), В(-2; 3), С(5; 6). Найти квадрат длины медианы, проведенной из вершины В.   (ответ 40).
19. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-6; -6) и перпендикулярной к прямой у = - х + 2.    (ответ: у = 3х + 12).
20. Диагонали выпуклого четырехугольника с вершинами в точках А(1; 1), В(6; 4),

С(6; 1), Д(1; -3) пересекаются в точке К. Найти отношение длин отрезков АК и КС.  (ответ ).

Содержание:

Предисловие___________________________________________________________2

Треугольник___________________________________________________________ 3 - 4

Четырехугольники______________________________________________________ 5 - 9

Окружность и круг______________________________________________________10 - 11

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника_________12 - 13

Окружность, вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника_14 - 15

Векторы_______________________________________________________________16 - 17

Декартовы координаты__________________________________________________ 18 - 19

Дополнительный банк задач______________________________________________ 20 - 23

Литература.

1. К О Букубаев  Геометрия 8 класс, А Шыныбеков геометрия 8, 9 классы  (дополнительные главы).
2. Л С Атаносян и др. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс. М  « Просвещение» 1997г.
3. Учебно–методическое пособие и сборник тестов для поступающих в ВУЗы. И Акйол. Алматы 2006.
4. И П Рустюмова, С Т Рустюмова. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике.
5. М И Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. М «Высшая школа» 1998г.
6. И Ф Шарыгин. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в ВУЗы. Издательский дом «Дрофа» 1999г.
7. Научно – методический журнал « Математика и физика для школьников Казахстана.
8. Сборники тестов по математике. 2003-2010.
9. Г В Касаткина, Л В Шевченко. «Задачи и тесты по математике». «Дрофа» 2005.
10. Б Г Зив, В М Мейлер, А Г Баханский «Задачи по геометрии для 7-11 классов». М «Просвещение» 1991.