Методика обучения учащихся решению планиметрических задач на доказательство
учебно-методический материал (7, 8, 9 класс)

Методика обучения учащихся решению планиметрических задач на доказательство

(выступление на заседании городского методического объединения учителей математики общеобразовательных учреждений г. Орска)

Лазарева М. С.,

учитель математики

МОАУ «СОШ № 38 г. Орска»

Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной школы является интеллектуальное воспитание обучающихся. Значимую роль для развития учащихся представляют геометрические задачи на доказательство, которые позволяют формировать как творческие способности, так и раскрывать индивидуальность обучаемых.

Развивать умение проведения доказательств, аргументирования высказываний необходимо во всех учебных предметах. Однако становлению способностей учащихся анализировать данные, рассуждать, принимать решения и обосновывать свой ответ главным образом способствует изучение математики. Г.И. Саранцев писал: «Обучение доказательству должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в школе».

Основную роль по созданию у учащихся умения доказывать играет курс геометрии. Д. Пойа писал о значимости доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы». Геометрия как учебный предмет имеет большое значение для исследования окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Её изучение способствует развитию умения логически мыслить и рассуждать.

А.В. Погорелов о цели преподавания геометрии в школе писал следующим образом: «Главная задача преподавания геометрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из окончивших школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать».

Поиск доказательств и обучение учащихся доказательству – проблема сложная и многозадачная. Она продолжает занимать одно из основных положений в психолого-педагогической науке и в теории обучения математике.

Геометрия, как учебная дисциплина, выполняет методическую функцию, направленную на формирование умений доказывать геометрические задачи. Главным направлением методики обучения решения геометрических задач на доказательство – найти совокупность методов или подходов к их решению.

Выделяют несколько методов математических доказательств в курсе геометрии основного общего образования, однако чаще всего используются следующие:

1. дедуктивный метод,
2. аналитико-синтетический метод,
3. метод «от противного»,
4. метод аналогии.

Для того чтобы учащиеся могли верно определять пути решения им необходимо знать действия, которые следует выполнять при применении каждого метода. Если в случае дедуктивного метода план действий определён, т.е. нужно для поиска доказательства рассуждать от общих положений к частным выводам, то в случае методов «от противного», аналогии и аналитико-синтетического следует придерживаться ряду необходимых действий. Для этого учитель при объяснении сути каждого метода, может предоставить алгоритмы действий, которые помогут учащимся при последующем  обучении проведению доказательств на уроках геометрии.

Алгоритм поиска доказательства аналитико-синтетическим методом:

1. Проанализировать условие задачи;
2. Сделать чертеж по условию задачи, отметить данные и искомые величины
3. 3. Записать формулу того, что требуется доказать;
4. Выбрать следствия, достаточные для ответа на вопрос задачи;
5. Найти все неизвестные величины, необходимые для доказательства требуемого;
6. Подставить найденные величины в формулу искомой величины;
7. Проверить решение, записать ответ.

Алгоритм поиска доказательств методом «от противного»:

1. Проанализировать условие задачи и сделать предположение, противоположное тому, что требуется доказать;
2. Выяснить, какие выводы следуют из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи;
3. Установить противоречие между тем, что известно по условию или из ранее изученных теорем, аксиом;
4. Сделать вывод: предположение неверное, а верно то, что нужно доказать.

Алгоритм поиска доказательства методом аналогии:

1. Проанализировать условие задачи и собрать ключевые элементы;
2. Сформулировать вопрос, вызывающий поиск аналогии;
3. Выполнить поиск аналогии;
4. Проанализировать полученные аналогии, перевести информацию в решаемую задачу;
5. Проанализировать полученные идеи, выбрать решение;
6. Проверить решение.

Однако учитель может не только предложить уже имеющиеся алгоритмы доказательств определённым методом, но и дать возможность составить их вместе с учащимися на основании описаний методов, которые были предоставлены на уроке. В этом случае время затрачивается больше, но это оправдывается более высоким развивающим эффектом. У учащихся развивается мыслительная деятельность, они учатся выделять главные моменты в своих действиях, самостоятельно продумывать и составлять план деятельности, переносить его на новый материал, совершенствовать.

Для того чтобы обучение доказательству было успешным, необходимо изучение и применение не одного какого-либо метода, а их совокупностью в целом. В значительной степени успех зависит от того, на каком уровне сформированы у учащихся такие интеллектуальные умения, как понимание предложенной задачи, навык определения проблемы, планирование деятельности. Так же от знаний того, каким образом выделять существенное в наблюдаемых явлениях, проводить исследование, объяснять полученные данные, выполнять измерения в различных ситуациях.

        В процессе обучения решения задач на доказательство полезны будут следующие методические рекомендации.