Методика обучения решению планиметрических задач
учебно-методический материал по геометрии

Слайд 1

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Лекция 1 ЧЕТЫРХУГОЛЬНИКИ Ларионова Наталья Евгеньевна, МАОУ Лицей математики и информ атики

Слайд 2

В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники

Слайд 3

В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция.

Слайд 4

В таблице собраны их определения и свойства.

Слайд 5

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны. Противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Слайд 6

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ОГЭ и ЕГЭ. Задача 1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах. Пусть B М и CK — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне BC. Сумма углов ABC и BCD равна 180 Углы OBC и OCB — половинки углов ABC и BCD. Значит, сумма углов ABC и BCD равна 90градусов. Из треугольника BOC находим, что угол BOC — прямой. Ответ: 90. Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Слайд 7

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма: Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны. Задача 2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Слайд 8

Задача 2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону. Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Углы DAE и BEA, а также CED и ADE — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол DAE равен углу BEA, а угол CED — углу ADE. Получаем, что треугольники ABE и CDE — равнобедренные, то есть BE=AB, а EC=CD. Тогда BC = 5+5=10. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Слайд 9

Прямоугольник и его свойства Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны.

Слайд 10

Задача1 . В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Найдем, чему равен угол DBA и его синус, а затем найдем DB. Ответ: 12.

Слайд 11

Рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника. Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24 и 66 Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы? Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки CM, BM и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. Мы доказали теорему: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Слайд 12

Итак, BM = CM, значит, треугольник BMC равнобедренный, и угол BCM равен 24 . По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла, Углы ACH и ABC равны 24 . Тогда угол MCH ( между медианой и высотой треугольника ABC) равен 90 -24 -24 =42 . Ответ: 42.

Слайд 13

Центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы. В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы. Задача 1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5. Проведем диагональ AC. Получим, что AC равна 2R. Ответ: 10.

Слайд 14

Ромб и его свойства По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Слайд 15

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач. Задача 1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60 Проведем меньшую диагональ ромба и рассмотрим треугольник ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60 , треугольник ADB — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

Слайд 16

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60? Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина. Пусть a — сторона ромба. Отсюда найдем высоту

Слайд 17

2. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Пусть диагонали ромба равны 6x и 8x. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора AB = AO^2 + OB^2, AB^2 = 9x^2 + 16x , AB^2 = 25x^2, Отсюда AB=5x. Поскольку периметр равен 200, 5x 4=200, x=10, AB=50, а диагонали ромба равны 60 и 80. Нам надо найти высоту ромба. Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = a h. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ABC и ADC, то есть равна 60 40 = 2400. Отсюда h = S : a = 2400 : 50 = 48. Ответ: 48.

Слайд 18

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно дать и другое определение квадрата: квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Перечислим свойства квадрата: Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

Слайд 19

3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам. 4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам). 5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника. 2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2.

Слайд 20

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на то есть d= a. Доказательство: Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC. Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора: + = + =2 АС= ∙ a. что и требовалось доказать.

Слайд 21

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны: r = a Доказательство: Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках P, M, N, K. Тогда OP AB, ON перпендикулярно CD, поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть 2r=a, r=a/2, что и требовалось доказать.

Слайд 22

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали: R= a. Доказательство: Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность. По теореме 1: Тогда что и требовалось доказать.

Слайд 23

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей: P=4a=4 R=8r. ! Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий: Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.