Муниципальное Общеобразовательное учреждение Лицей города Истры

СТАТЬЯ

на тему: «Математическое содержание понятия «преобразование подобия»»

Майорова Анастасия Игоревна

Истра

2024

Математическое содержание понятия «преобразование подобия»

Для задания геометрического (точечного) отображения  надо указать: некоторую фигуру (точечное множество) , называемую областью определения, некоторую фигуру , называемую областью значений отображения , и некоторое правило, сопоставляющее с каждой точкой  области  определенную точку  области . Если данное отображение  переводит точку  в точку  ( то есть ), то точку  называют образом точки  при отображении  [1].

Отображение  с областью определения  и областью значений называется взаимно однозначным, если, во-первых, ни для каких двух различных точек  и  области  их образы  и  не совпадают и, во-вторых, каждая точка области  является образом некоторой точки при отображении  [1].

Взаимно однозначные отображения, для которых область определения  совпадает с областью значений, называют преобразованиями множества  [1].

Преобразования, изменяющие все расстояния между точками в одном и том же отношении  (иначе говоря, сохраняющие отношения расстояний между точками), называются преобразованиями подобия (с коэффициентом подобия ) [1].

Рис. 1. Преобразование подобия

То есть, если любые точки  и  фигуры  при помощи преобразования подобия перейдут в точки  и  фигуры , то , при чем число  общее для всех точек фигур и называется коэффициентом подобия (рис. 1). При  преобразование подобия является движением, так как сохраняются расстояния [2].

Преобразование фигуры, при котором каждой её точке  ставится в соответствие точка , лежащая на луче, соединяющем  с некоторой выбранной фиксированной точкой , и такая, что  и находятся в заданном постоянном отношении  (то есть ), называется гомотетией (рис. 2) с центром  и коэффициентом подобия  [3].

При  точки фигуры приближаются к центру, при  точки удаляются от него, а при  фигура не изменяется, так как её точки остаются на месте (это называют тождественным преобразованием). При  преобразование происходит не на лучах, а на их продолжениях.

Рис. 2. Гомотетия

Теорема. Гомотетия есть подобие [2].

Доказательство. Пусть  - центр гомотетии, а  - коэффициент гомотетии, а ,  - произвольные точки фигуры.

При гомотетии точка  переходит в точку  на луче , а точка  в  на луче , при чем , . Из этого следуют векторные равенства: , . При почленном вычитание получаем: . По свойству векторов  и  , то , следовательно , то есть , значит гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Свойства преобразования подобия:

1. Преобразование подобия устанавливает между точками фигур взаимно однозначное соответствие [3].

Доказательство. То, что любой точке  исходной фигуры соответствует определенная точка  преобразованной фигуры, следует из указанного в условии преобразования подобия. Легко доказать и обратное, что любая преобразованная точка  определяет однозначно исходную точку . Для этого обе точки должны лежать либо на одной прямой при коэффициенте подобия , либо на противоположных при , а отношение их расстояний до центра  известно: . Следовательно, точка  лежит на известном расстоянии от начала  и определяется однозначно.

2. Если некоторая фигура получена из другой фигуры преобразованием подобия с центом  и коэффициентом подобия , то и обратно, исходная фигура может быть получена преобразованием подобия из второй фигуры с тем же центром подобия и коэффициентом подобия  [3].

Доказательство. Аналогично свойству 1. Остается проверить верность соотношения (сразу для случаев  и ). По определению для исходной фигуры  или после преобразования . Для преобразованной получим . Подставив вместо  значение коэффициента (то есть  и выполнив преобразования, получаем .

3.  Любые точки, лежащие на одной прямой, преобразуются при гомотетии в точки, лежащие на одной прямой, параллельной исходной (совпадающей с ней, если она проходит через ) [3].

Доказательство. В случаи, если прямая проходит через центр  очевиден, так как любые точки этой прямой переходят в точки этой же прямой. В общем случаи: пусть даны три точки основной фигуры, лежащие на одной прямой - ,  и  и пусть точка  - образ при преобразовании подобия точки .

Проведем . Покажем, что образы точек  и  тоже лежат на . Прямые  и  на прямых ,  и  отсекают пропорциональные части, то есть  (рис.3). Таким образом, очевидно, что  и , лежащие на лучах  и  и на прямой  являются соответственными для точек  и . Из доказанного можно сделать вывод: при преобразовании подобия прямая не проходящая через центр подобия (гомотетии), преобразуется в параллельную прямую. Также, всякий отрезок преобразуется в отрезок.

Рис. 3. Свойство 3

4. При преобразовании подобия отношение любой пары соответствующих отрезков равно одному и тому же числу - коэффициенту подобия [3].

Доказательство. Первый случая, когда дан отрезок не лежащий на луче, проходящий через центр  (рис.3). Исходный отрезок  и подобно соответствующий ему  заключены между сторонами угла . Применив свойство пропорциональных отрезков, находим . Это и требовалось доказать.

Во втором случаи данный отрезок лежит на прямой, проходящей через центр, а значит ему соответствующий находится на этой же прямой (рис.4). По определению преобразования подобия имеем , откуда, образуя произвольную пропорцию, получаем , что и требовалось доказать.

Рис. 4. Свойство 4

5. Углы между соответствующими прямыми (отрезками) подобно расположенных фигур равны [3].

Доказательство. Пусть  преобразованием подобия с коэффициентом подобия  переходит в угол . В любом случаи и при  и при  по свойству 3 стороны углов попарно параллельны, только в одном случаи обе пары сторон одинаково направлены, а в другом - обе противоположно направлены. И так, по свойству углов с параллельными сторонами данный  и преобразованный  равны.

6. Композиция подобий с коэффициентами  и  есть подобие с коэффициентом  [4].

Доказательство. Пусть фигура  подобием  с коэффициентом  переводит фигуру в , а затем фигура  подобием  с коэффициентом  переводит фигуру в . Точкам  и  фигуры  соответствуют точки  и  фигуры . Тогда =. Затем пусть точкам  и  фигуры  соответствуют точки  и  фигуры  и =. В силу того, что были взяты произвольные точки  и  фигуры , получаем, что преобразование  является преобразованием подобия с коэффициентом .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яглом, И. М. Понятия преобразования. Примеры / И. М. Яглом, Л. С. Атанасян // Энциклопедия по элементарной математике том 4. Геометрия. - М.: ГИФМЛ, 1963. - С. 50-63.
2. Гусев, В. А. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988. - 416 с.
3. Сканави, М. И. Элементарная математика. / М. И. Сканави. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: 1974г. - 592с.
4. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. / Л. С. Атанасян [и др.]. - М.: Просвещение, 2016 - 383 с.