Решение стереометрических задач 11 класс
план-конспект занятия по геометрии (11 класс)

Урок  по геометрии  в 11 классе  «Различные способы решения стереометрических задач».

Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.

Задачи урока:

• способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;
• развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;
• воспитывать умение  планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.

ТСО: компьютер,  мультимедийный проектор, презентация к уроку

Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа «С2», можно использовать данный материал для организации итогового повторения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание.  Рассмотрим  разные методы решения этих задач.

II. Актуализация знаний.

1. Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми?
2. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

III. Тренировочные упражнения.

Задача1. (решим тремя разными способами)

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости PCD.

1 способ. Поэтапно-вычислительный метод.

AB || DC (стороны квадрата) , AВ || (PCD)(параллельность прямой и плоскости) , р (A, (PCD)) =  р (АB, (PCD)) = р (М,(РСD)) = МН ( МН - высота Δ МКР ) РО=4,   ОК=6:2=3 РК = √(РО ²+ОК²) =5 ( по Теореме Пифагора) Из ∆МРК: МН∙РК=РО ∙МК , МН ∙ 5 =4 ∙ 6,  

  МН=4,8

2 способ. Метод объемов.

Пусть AН – искомое расстояние от A до (PCD).

Рассмотрим пирамиду  PАCD,

PO - ее высота:V=(1 ̸3)S (Δ ADC)∙PO.

Рассмотрим пирамиду АPCD,

AН - ее высота:V=(1 ̸3)S (Δ PDC )∙ AН.

Приравниваем объёмы: S (Δ ADC) ∙ PO = S (Δ PDC) ∙ AН 

AН= S (Δ ADC) ∙ PO ̸ S (Δ PDC)  

AН= (0,5 ∙ 6  ∙ 6  ∙ 4) ̸ (0,5 ∙ 6  ∙ 5) ,  AН = 4,8

3 способ. Координатный метод.

1.Найти координаты точек A,P,C,D. Координаты необходимых точек: А(3;−3;0); P(0;0;4); C(-3;3;0); D(3; 3;0).  

2. Составить уравнение плоскости (PCD) :    Aх+Bу+Cz+D=0.

Коэффициенты уравнения плоскости (PCD) находим из системы

1 уравнение Для точки Р,

2 уравнение для точки С,

3 уравнение для точки D

Пусть D =- 4, тогда A = 0, B = 4/3, C = 1; получим  уравнение плоскости 4у+3z-12=0, теперь берем A = 0, B = 4, C =3, D = - 12.

3. Найти расстояние от точки А до плоскости (PCD) по формуле

Вычисляем расстояние от точки А(x0; y0; z0)  = А(3;-3;0)

до  плоскости по формуле:  d = 4,8

Ответ: 4,8

Задача 2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

Решение: Введем систему координат: начало координат а точке А, ось х направляем по ребру АС, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, она будет параллельна ВН, высоте основания АВС.т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°.

Расстояние между прямыми АА1 и ВС1найдем, как расстояние от точки А до параллельной АА1 плоскости ВСС1.

Найдем координаты точек А(0;0;0), В(√3\2;1\2;0), С(0;1;0), С1(0;1;1).

Общий вид уравнения плоскости Ах +Ву +Сz+Д=0. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, С1.

Уравнение плоскости ВСС1 : х+ √ 3у - √ 3=0

По формуле расстояние от точки А до данной плоскости равно d= √3\2.

Ответ: √3\2 .

Задача 3. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1 Е1 F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ1 и ВЕ1.

Решение: Введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось х — через середины отрезков AB и DE, ось у пойдет вдоль FC, ось z проведем перпендикулярно плоскости OXY.

Задача 4. Пусть 𝑆 𝐴 𝐵 𝐶 – правильная треугольная пирамида с вершиной 𝑆 . Найдите угол между 𝐴 𝑆 и 𝐵 𝐶 . Ответ дайте в градусах.
Решение:

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды 𝑆 𝑂 падает в точку пересечения медиан основания. Пусть 𝐴 𝐴1 – медиана основания. Тогда 𝐴 𝑂 – проекция наклонной 𝐴 𝑆 на плоскость основания. Так как 𝐴 𝑂 – часть 𝐴 𝐴1 , а 𝐴 𝐴1 ⊥ 𝐵 𝐶 (медианы правильного треугольника являются также и высотами), то по теореме о трех перпендикулярах ( 𝑆 𝑂 ⊥ ( 𝐴 𝐵 𝐶 ) , 𝐴 𝑂 ⊥ 𝐵 𝐶 ) наклонная 𝐴 𝑆 перпендикулярна 𝐵 𝐶 . Следовательно, ∠ ( 𝐴 𝑆 , 𝐵 𝐶 ) = 90 ∘ . Ответ: 90∘.
Задача 5. В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30. Найти объём призмы.

Решение: V призмы = Sосн H;      ОСС1 - прямоугольный треугольник, так как

С1О плоскости АВС;    С1СО = 30; С1О = С1С sin 30= 6= 3

Н=ОС1 = 3

По формуле Герона Sосн = ; р=;

р =; Sосн =

V призмы =

Ответ.  21

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание.

1. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD.
2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания  которой  равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF.
3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребра которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P  расположена на ребре CD  так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF.
4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD  с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.