Методическая разработка по теме: "Применение аналитической геометрии к решению стереометрических задач".
методическая разработка (алгебра, 11 класс) по теме

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ

 

 

     Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве (эти задачи предлагались на вступительных экзаменах в вузы). Задачи такого типа удобно решать с помощью скалярного произведения векторов. Основной метод решения заключается в том, что  в пространстве выбирается подходящий базис и составляется таблица умножения – таблица скалярных произведений векторов этого базиса. Имея такую таблицу и зная разложения векторов в выбранном базисе, вычислить длины этих векторов и углы между ними уже легко. Мы начнем с простой задачи, где этот метод напрашивается сам собой, а затем перейдем к более сложным задачам, продемонстрировав на них все основные случаи.

 

Задача 1.В треугольной пирамиде ABCDвсе ребра имеют одинаковую длину.  Точка M– середина ребра AD, точка О – центр треугольника ABC, точка N– середина ребра ABи точка K– середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MOи KN.

 

     Решение.

 Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы imageimage, imageimage, imageimage. Составим таблицу умножения для этого базиса (табл. 1). Разложим векторы imageimage и imageimage по векторам imageimage, imageimage и imageimage:                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                          

              imageimage                                                      

                                                                                                 Таблица1

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

1

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

 

1

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

1

 

 

imageimage.

Угол φ между прямыми MOи KNвычисляется по формуле

imageimage.

Найдем imageimage, imageimageи imageimage, пользуясь таблицей 1:

imageimage;

imageimage=imageimage imageimage

Отсюда cosφ=imageimage, φ=imageimage.

     Однако условие задачи не всегда позволяет выбрать базис с полностью определенной таблицей умножения. В этом случае нужно попытаться составить уравнение относительно недостающего элемента.

 

     Задача 2. Сторона основания правильной треугольной призмы imageimage равна а, точки imageimage и imageimage являются центрами оснований imageimage и imageimage соответственно. Длина ортогональной проекции отрезка imageimage на прямую imageimage равна 5а/6. Определите высоту призмы.

 

     Решение.

Выберем в качестве базиса векторы imageimage, imageimage, imageimage (рис. 1). Пусть imageimage. Таблица 2 – это таблица умножения для базиса (imageimage, imageimage, imageimage).

imageimage                                                           Таблица 2

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

 

0

 

0

 

imageimage

0

imageimage

imageimage

imageimage

0

imageimage

imageimage

 

 

     Ортогональная проекция отрезка imageimage на прямую imageimage равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла φ между прямыми imageimage и imageimage. Чтобы вычислить imageimage и imageimage, разложим векторы imageimage и imageimage в базисе (imageimage imageimage, imageimage):

imageimage

imageimage.

Используя таблицу 2, находим:

imageimage, imageimage

imageimage

Поскольку imageimage мы получаем уравнение

imageimage.

Отсюда imageimage.  

 

 

     Можно выделить четыре основных типа задач на вычисление расстояний и углов.

1. Расстояние от точки до прямой.

     Дано:точкаimageimage; прямая lс направляющим вектором imageimage, точка А, принадлежащая прямой l; imageimage.

     Найти:расстояние от  очки Mдо прямой l.

imageimage

 

     (Векторы imageimage и imageimage в условии задачи даны в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.)

     Приведем схему решения этой задачи.

     Пусть N– ортогональная проекция точки Mна прямую l(рис. 2). Тогда imageimage Неизвестный коэффициент х находится из условия перпендикулярности векторов imageimage и imageimage: imageimage Искомое расстояние imageimage.

     Задача 3. В правильной треугольной пирамиде SABC(S– вершина, SA= 4) точка Dлежит на ребре SC, а расстояние от точки Aдо прямой BDравно 2. Найдите объем пирамиды.

     Решение. Выберем базис из векторов imageimage, imageimage, imageimage.

Составим таблицу умножения для этого базиса, обозначив через φ плоский угол при вершине пирамиды (табл. 3). По условию расстояние от точки А до прямой BDравно 2. Вычислив это расстояние с помощью таблицы 3, мы получим уравнение, позволяющее найти imageimage.

imageimage

Таблица 3

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

16

16 imageimage

4imageimage

imageimage

16 imageimage

16

4imageimage

imageimage

4imageimage

4imageimage

1

 

 

 

     Пусть N– проекция точки Aна прямую BD(рис. 3). Тогда imageimage Так как векторы imageimage и imageimage перпендикулярны, получаем (imageimage Используя таблицу 3, после упрощений находим:

                                    imageimage                                                     (1)

Вычислим теперь длину вектора imageimage:

imageimage.

Так как imageimage             

                               imageimage                                                (2)

Из равенств (1) и (2) получаем imageimage/9. Поэтому imageimage = 55/64.

     Найдем теперь длину отрезка imageimage - высоту пирамиды. Так как O– центр треугольника ABC,

imageimage

откуда

imageimage

Чтобы найти площадь основания пирамиды, вычислим imageimage:

imageimageimageimage

Теперь искомый объем

imageimage

 

 

     2. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

     Дано: плоскость α с базисом (imageimage), точка А, принадлежащая плоскости α, точка M, не лежащая в плоскости α, imageimage.

     Найти:расстояние от точки до плоскости α и угол между прямой и плоскостью α.

     Схема решения этой задачи такова.

     Пусть N  - ортогональная проекция точки Mна плоскость α (рис. 4). Тогда imageimage Неизвестные коэффициенты x, yнаходятся из условия перпендикулярности вектора imageimage векторам imageimage и imageimage:

imageimage

imageimage

     Зная xи y, находим расстояние от точки Mдо плоскости α, равноеimageimage

     Если imageimage то угол между прямой AMи плоскостью α равен углу между векторами imageimage и imageimage, а если imageimage, то прямая AMперпендикулярна плоскости α.

     Задача 4. В основании прямой призмы imageimage лежит ромб ABCDс острым углом А = imageimage. Все ребра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки imageimage на плоскость imageimage, а точка L– ортогональной проекцией точки К на плоскость imageimage Найдите объем пирамиды DCLK.

     Решение.Примем за основание пирамиды DCLKтреугольник CDL, лежащий в плоскости imageimage. Тогда отрезок KL– высота пирамиды (рис. 5). Следовательно,

imageimage

где Mортогональная проекция точки Lна прямую DC.

 

imageimage                                                           Таблица 4

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

0

imageimage

imageimage

imageimage

0

imageimage

0

0

imageimage

 

 

     Выберем в качестве базиса векторы imageimage, imageimage, imageimage и заполним таблицу 4 – таблицу умножения для этого базиса.

     Далее,

imageimage

     Так как вектор imageimageперпендикулярен векторам imageimage и imageimage, получаем систему

imageimage imageimage

      Заменив вектор imageimage его разложением в базисе (imageimage imageimage, imageimage) и воспользовавшись таблицей 4, придем после упрощений к системе уравнений 2x+ y= 1, 3x+ 4y= 1, откуда x= 3/5, y= -1/5.

     Следовательно, imageimage.

Аналогично

imageimageТак как imageimage и imageimageто imageimage откуда imageimage, и 5t+ 1 = 0, откуда t= -1/5. Следовательно,

imageimage

     Теперь можно найти высоту пирамиды imageimage:

imageimage

      Осталось найти imageimage:

imageimage

Так как imageimage то imageimage, откуда imageimage, imageimage.

Таким образом,

imageimage

 

     3. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.

     Дано: прямая imageimage с направляющим вектором imageimage, точка imageimage, принадлежащая прямой imageimage; прямая imageimage с направляющим вектором imageimage, точка imageimage, принадлежащая прямой imageimage; imageimage 

    imageimage Найти:расстояние и угол между прямыми limageimage и limageimage.

     Задачи этого типа решаются по следующей схеме.

     Косинус угла imageimage между прямыми imageimage и imageimage находятся по формуле

imageimage

Чтобы определить расстояние между прямыми imageimage и imageimage, т.е. длину их общего перпендикуляра imageimage (imageimageimageimage, imageimageimageimage, рисунок 6), представим  вектор  imageimage в виде imageimage Неизвестные коэффициенты x, yнаходятся из условий перпендикулярности вектора imageimage векторам imageimage и imageimage:

imageimage

 

Искомое расстояние – длина вектора imageimage, т.е. imageimage

 

     Задача 5. Основанием пирамиды SABC  является треугольник ABC, длина стороны которого равна 4imageimage Боковое ребро SCперпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку Sи середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB.

imageimage

                                                                     Таблица 5

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

32

16

0

imageimage

16

32

0

imageimage

0

0

4

 

  

 

 

  Решение. Пусть Mи N– середины ребер и (рис. 7). Выберем в качестве базиса векторы imageimage, imageimage imageimage Таблица умножения для этого базиса – это таблица 5. Найдем угол φ между прямыми SMиCN:

imageimage; imageimage

     Вычислим imageimage, imageimage, imageimage:

imageimage = 12, imageimage = imageimage, imageimage = imageimage.

     Следовательно, imageimage, φ = imageimage.

     Вычислим теперь расстояние между прямыми SMи CN, т.е. длину их общего перпендикуляра PQ(PimageimageSM, QimageimageCN):

imageimage

     Из условия перпендикулярности вектора imageimage векторам imageimage и imageimage получаем систему уравнений

3x + 3y = -1, x+ 2y= 0,

откуда x= -2/3, y = 1/3.

     Следовательно,

imageimage imageimage

 

 

     4. Угол между плоскостями.

  imageimage

  Угол между двумя плоскостями  равен углу между перпендикулярными им прямыми. Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис.8). Через какую-нибудь точку, не лежащую на прямой с, проведем прямые aи b, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно. Тогда плоскость, проходящая через прямые aи b, пересекает плоскости α и β по прямым imageimage и imageimage, перпендикулярным прямой с (см. рис. 8). Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми imageimage и imageimage, который, в свою очередь, равен углу между прямыми aи b(так как прямые  ab, imageimage, imageimage лежат в одной плоскости и aimageimageimageimage,  bimageimageimageimage).

 

     Таким образом, задача нахождения угла между плоскостями сводится к вычислению угла между прямыми.

      Задача 6.В основании треугольной пирамиды SABCлежит правильный треугольник ABCсо стороной 1, ребро SAпирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA= imageimage. Плоскость α параллельна прямым SBи AC, плоскость β параллельна прямым SCи AB. Определите величину угла между плоскостями α и β.

 

    Таблица 6

 

imageimage

imageimage

imageimage

imageimage

3

0

0

imageimage

0

1

imageimage

imageimage

0

imageimage

1

Решение.Выберем в качестве базиса векторы imageimage, imageimage, imageimage. Таблица 6 – это таблица умножения для векторов этого базиса. Если imageimage и imageimage - ненулевые векторы, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно , а φ – угол между этими плоскостями, то

imageimage

     В качестве вектора imageimage можно взять любой ненулевой вектор, удовлетворяющим условиям  imageimage

     Запишем вектор imageimage в виде imageimageimageimage Так как imageimage, imageimage, мы получаем систему уравнений

imageimage

     С помощью таблицы 6 приводим эту систему к виду

6x– 2yz= 0,  y+ 2z= 0.

     Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных. Это объясняется тем, что вектор imageimage условием imageimageimageimageα не определен однозначно. Решение такой системы сводится к выражению двух неизвестных через третье. Выразим xи yчерез z: y= -2z, x= -1/2z.

     Положив теперь, например, z= -2, найдем xи y: x= 1, y=4. Вектор imageimageimageimage - один из ненулевых векторов, перпендикулярных плоскости α.

     Аналогично будем искать ненулевой вектор imageimage, перпендикулярный плоскости β: imageimage, imageimage;

imageimage

так что

imageimage, imageimage.

     Можно взять u= -2. Тогда v= 4, t=1, так что imageimage (Выражение для вектор imageimage можно было получить из выражения для вектора imageimage, заметив, что условие, задающее плоскость β, получается из условия, задающего плоскость α, перестановкой точек Bи C.)

     Теперь вычисляем imageimage :

imageimage

imageimage imageimage imageimage.

Таким образом, imageimage.

 

 

     Упражнения

 

     1. В параллелограмме ABCDточка K– середина стороны BC, а точка M– середина стороны AD. Найдите AD, если AK= 6, AM= 3, imageimage = imageimage.

Ответ:4

     2. В правильном тетраэдре ABCDотрезок MNсоединяет середину ребра ACс центром грани BDC, а точка E– середина ребра AB. Найдите угол между прямыми MNи DE.

Ответ:imageimage.

     3. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, длины катетов ABи ACкоторого равны α. Боковые ребра imageimage, imageimage, imageimage образуют с плоскостью основания углы в imageimage, а диагональ imageimage боковой грани imageimage перпендикулярна ребру AC. Найдите объем призмы, если длина диагонали imageimageimageimage равна imageimage.

Ответ:imageimage.

     4. В правильной треугольной призме imageimage длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а/2. Точка Dявляется ортогональной проекцией середины ребра imageimage на плоскость imageimage, а точка E– ортогональной проекцией точки Dна плоскость imageimage. Найдите объем пирамиды imageimage

Ответ:imageimage.

     5. Сторона основания ABCDправильной пирамиды SABCDимеет длину a, боковое ребро – длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BDоснования и боковом ребре SC, параллельные плоскости SAD.

     a) Один из этих отрезков проведен через точку Mдиагонали BDтакую, что DM: DB= 1 : 3. Найдите его длину.

     б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Ответ: а)imageimage, б)imageimage.

 

 

 

 

МЕТОД КООРДИНАТ.

 

Задача 1.В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами СА=4, СВ=3. Вершина пирамиды Sпроектируется в точку С, причем SC=1. На ребрах пирамиды взяты точки М – на СА, N– на СВ, Р – на SA, причем MC= 1, NC= NB, SP= PA. Найти величину угла, образуемого плоскостью сечения пирамиды, проходящей через точки M, N, P, с плоскостью основания.

 

Решение.

 

 

                   z

                   S

   

 

 

              P   

 

                  C            N                   B    y

               M

        A

 

x

       

imageВзаимно перпендикулярные ребра пирамиды CS, СА и СВ позволяют связать с ними прямоугольную систему отсчета, поместив начало в вершине С. Тогда плоскость сечения проходит через три точки, координаты которых нам известны, а именно М(1, 0, 0), N(0,imageimageimageimage, 0), P(2, 0, imageimage).

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

imageimageimageimage. Это так называемое «уравнение плоскости в отрезках». Числа а, bи с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0,b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек М, N, P, получим три уравнения для определения чисел а, bи с :

imageimage

Отсюда находим а=1, b=imageimage и с=imageimage , т.е. секущая плоскость имеет уравнение imageimage или imageimage.

Известно далее, что коэффициенты (3, 2, -6), стоящие при x, y, zв уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора imageimage, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора imageimage, перпендикулярного плоскости imageimage основания пирамиды, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: imageimage, т.е. imageimage.

 

Задача 2.Через три точки O, E, F, лежащие на поверхности куба imageimage(imageimage - боковые ребра), проведена плоскость сечения. Найти величину угла, образуемого его плоскостью с плоскостью основания куба, если известно, что О – центр грани imageimage куба, Е и Fпринадлежат ребрам imageimage и ВС, соответственно, причем imageimage и imageimage.

Решение.

 

              z

 

            B1                       C1

                                    E

  A1                           D1

 

           O

           

           B           F            C     y

 

   A                          D

x

 

imageПриняв за начало координат вершину В куба, направим ее оси x, y, zсоответственно по векторам imageimage. Тогда точки Е, О и F, через которые проводится сечение, имеют координаты, imageimage imageimage, imageimage.

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

imageimageimageimage.

Числа а, bи с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0,b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек Е, О, F, получим три уравнения для определения чисел а, bи с :

imageimage

Отсюда находим а=imageimage, b=imageimage и с=imageimage. После этого уравнение плоскости можно записать следующим образом: imageimage.

Известно далее, что коэффициенты (9, 4, -5), стоящие при x, y, zв уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора imageimage, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора imageimage, перпендикулярного плоскости imageimage основания куба, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: imageimage, т.е. imageimage.

 

 

Задача 3. Доказать, что расстояние imageimage от точки imageimageдо плоскости imageimage вычисляется по формуле: imageimage.

 

Решение.

 

         A           z

 

                           image

image                 B

 

 

 

                 image

                              image       y

                 image

        x

image

Проведем imageimage, где imageimage. Координаты точки В обозначим через imageimage.Векторы imageimageи imageimage коллинеарны, поэтому угол между ними равен imageimageили imageimage. Пользуясь скалярным произведением, получим: imageimage. Но imageimage, тогда imageimage,

отсюда imageimage. В последнем равенстве перейдем к координатам: imageimage. Раскроем скобки в числителе и заменим выражение imageimageчислом imageimage, так как imageimage. Получим: imageimage.

 

 

 

Задача 4. Длина ребра куба imageimageравна 1. На ребре KLвзята точка А так, что длина отрезка КА равна imageimage. На ребре ММ1 взята точка В так, что длина отрезка М1В равна imageimage. Через центр куба О и точки А и В проведена плоскость imageimage. Точка Р – проекция вершины К1 на плоскость imageimage. Найти длину отрезка АР.

 

 

Решение.

              z

 

            L1                       M1

                                   

  K1                           N1

                                                        

                                       B              

             L                        M

          A                                  y

       

       К                     N

x

 

image

Треугольник АК1Р – прямоугольный, так как imageimageпо условию. Поэтому imageimageimageimage.

Найдем координаты точек А, В, О, К1:

imageimage imageimage;imageimage;

Из imageimage находим imageimage. Длину отрезка К1Р найдем, как расстояние от точки К1 до плоскости imageimage, воспользовавшись формулой imageimage, где (imageimage) – координаты точки К1, а числа a, b, c, d - координаты уравнения imageimage, определяющего плоскость imageimage.

Чтобы найти значения a, b, c, d , подставим в уравнение плоскости координаты точек А, В, и О. Получим систему:

 imageimage. Решая эту систему, находим: imageimage imageimage и imageimage. Подставив найденные значения a, b  и  c, получаем уравнение плоскости imageimage: imageimage.

Теперь определим К1Р=imageimage. И, наконец, находим АР: imageimage.

 

 

Задача 5. Дан куб imageimage с ребром 1. Найти радиус сферы, проходящей через вершину А, середины ребер DCи ВВ1 и центр грани imageimage.

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины В, Dи А1 имели координаты В(1, 0, 0), D(0, 1, 0), А1(0, 0, 1), координаты середин ребер DCи ВВ1 соответственно imageimage, imageimage, центра грани А1В1С1D1- imageimage.

 

              z

 

            A1                       D1

                                    

  B1                           C1

 

          

            А                         D

                                            y

    В                         С

                           

x

 

imageНапомним, что уравнение сферы с центром imageimage и радиусом rимеет вид imageimage. Последнее уравнение можно преобразовать к виду imageimage. Поскольку сфера содержит начало координат, то d= 0. Для а, в, и  с легко получить систему уравнений: imageimage

Решив эту систему, найдем imageimage. Таким образом, уравнение сферы примет вид: imageimage, или imageimage. Искомый радиус равен imageimage.

 

 

Задача 6. Дан куб imageimage с ребром 1.Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причем центр первой сферы совпадает с вершиной D1, а центр второй расположен внутри куба, и она касается ребер трехгранного угла с вершиной А. Определить радиус сфер.

 

            

             z

            A1                            B1

 

   D1                         C1

 

                          E

            A        

                        M           B     y

    D                        

                               C

x

image

 

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины D, Bи А1 имели координаты D(1, 0, 0), B(0, 1, 0),

А1(0, 0, 1), тогда координаты центра первой сферы (точки D1)  - (1, 0, 1). Пусть R– радиус сфер. Поскольку вторая сфера касается ребер трехгранного угла с вершиной А, то расстояние от ее центра (точки Е) до каждого из ребер этого угла также равно R. В силу симметрии точка Е лежит на диагонали АС1 куба и ее координаты равны между собой. Поэтому достаточно ограничиться поиском одной из координат точки Е. Пусть М – ортогональная проекция точки Е на ось Oy. Тогда длина АМ и есть ордината точки Е, ЕМ=R. Прямая СВ – проекция прямой С1В на плоскость АВС и imageimage. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, С1ВimageimageАВ. Но тогда треугольники  АЕМ и АСВ подобны по двум углам. Поэтому imageimage или imageimage. Таким образом, ордината точки Е равна imageimage. Тогда координаты точки Еimageimage.

Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно 2R. Но imageimage. Следовательно, imageimage. Откуда imageimage (второй корень уравнения отрицателен).

 

 

 

     Упражнения.

 

1. Дан куб imageimage с ребром 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна imageimage. На ребре ВС взята точка Fтак, что длина BFравна imageimage. Через центр куба и точки Е и Fпроведена плоскость imageimage. Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости imageimage.

Ответ:imageimage.

2. Основанием пирамиды SABCявляется равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ которого imageimage. Боковое ребро пирамиды SCперпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку Sи середину ребра АС, а другая проходит через точку С и середину ребра АВ.

Ответ:imageimage; imageimage.

3. Дан куб imageimage с ребром 1. На ребре АDкак на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая внутри куба, касается первой сферы  и граней трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус второй сферы.

Ответ:imageimage.

4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна imageimage, а высота – 3. Вершина А куба imageimage находится в центре основания пирамиды, а вершина С1 – на высоте пирамиды, а ребро СDлежит в плоскости одной из боковых граней. Найти длину ребра куба.

Ответ:imageimage.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

  1. В.М. Клопский, З.А.Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. 9 – 10 классы.  – М.:, «Просвещение», 1982.

 

  1. М.В. Лурье. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 240 с. – (Серия «В помощь абитуриенту»).

 

 

  1. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2003. – 910 с.

 

  1. В.В.Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: «Наука», 1989.

 

  1. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка «Квант». – М.: «Наука», 1984.

 

  1. Н.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф. Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, Н.М. Федорова – под общей редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы.  Минск, изд-во «Вышейшая школа», 1990.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока - практикума по технологии МТО.Тема: «Решение экспериментальных задач» (9 класс).

В курсе по неорганической химии (9класс) изучается тема   «Электролитическая диссоциация».Урок - практикум направлен   на формирование умения у обучающихся использовать   качественные р...

Методическая разработка по теме: "Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач"

    Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. ...

Методическая разработка по теме: "Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач"

    Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. ...

Методическая разработка на тему: "Применения в условиях ФГОС технологии проблемного обучения на уроках геометрии".

Данный материал содержит основные положения технологии проблемного обучения, цели, задачи и функции проблемного обучения, а также преимущества такого обучения перед традиционными формами урока. В каче...

Методическая разработка на тему "Применение информационных технологий при решении задач с помощью определенного интеграла"

Для проведения преподавателями бинарного практического занятия по математике и информатике со студентами 2 курса медицинского колледжа...

Применение элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач

В данной работе рассмотрены возможности применения элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач....

Технологическая карта урока-исследования в 7 классе на тему: Применение признаков равенства треугольников к решению практических задач.

Тип урока: урок-исследование.Форма работы учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.Виды деятельности: работа с текстом, решение практических задач на производстве, в технике, в науке.Использов...