Промежуточная аттестация по геометрии 9 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Вариант 1

1.  Тип 15 

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

2.  Тип 16 

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

5.  Тип 19

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2)  Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3)  Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

6.  Тип 23 

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ  =  86, SQ  =  43.

7.  Тип 24

В параллелограмме KLMN точка A  — середина стороны KN. Известно, что AL  =  AM. Докажите, что данный параллелограмм  — прямоугольник.

Ключ Вариант 1

Вариант 2

1.  Тип 15

Радиус окружности с центром в точке O равен 75, длина хорды AB равна 42 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

2.  Тип 16 

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 69° и ∠OAB = 48°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

В треугольнике ABC DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.

4.  Тип 18 № 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

5.  Тип 19 № 

Какое из следующих утверждений верно?

1.  Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

2.  Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

3.  Диагонали ромба равны.

6.  Тип 23 

Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

7.  Тип 24 

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Ключ Вариант 2

Вариант 3

1.  Тип 15 

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 11° и 63° соответственно. Ответ дайте в градусах.

2.  Тип 16 

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

3.  Тип 17

Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Точка E  — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

4.  Тип 18 

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

5.  Тип 19  

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2)  Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3)  Через любую точку проходит более одной прямой.

4)  Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

6.  Тип 23

Найдите величину угла AOE, если OE  — биссектриса угла AOC, OD  — биссектриса угла COB.

7.  Тип 24 

В параллелограмме ABCD  точка   — середина стороны AB. Известно, что  . Докажите, что данный параллелограмм  — прямоугольник.

Ключ Вариант 3

Вариант 4

1.  Тип 15 

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 8, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна  Найдите 

2.  Тип 16 

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB  =  40 , AO  =  50 .

3.  Тип 17 

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания BC.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

5.  Тип 19 

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.

2)  Вписанные углы окружности равны.

3)  Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

4)  Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

6.  Тип 23 

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD  =  32.

7.  Тип 24 

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что  Докажите, что если  то  .

Ключ Вариант 4

Вариант 5

1.  Тип 15 

В треугольнике ABC известно, что  AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

2.  Тип 16 

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 25.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

5.  Тип 19 

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2)  В параллелограмме есть два равных угла.

3)  Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

6.  Тип 23 

На сторонах угла BAC, равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Определите величину угла BDC.

7.  Тип 24

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD  =  15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ключ Вариант 5

Вариант 6

1.  Тип 15

Площадь ромба равна 63, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

2.  Тип 16 

В угол C величиной 71° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

В треугольнике ABC известно, что DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 96. Найдите площадь треугольника ABC.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

5.  Тип 19 

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Все диаметры окружности равны между собой.

2)  Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3)  Любые два равносторонних треугольника подобны.

6.  Тип 23 

Высота AH ромба ABCD делит его сторону CD на отрезки  и  Найдите высоту ромба.

7.  Тип 24 

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Ключ Вариант 6

Вариант 7

1.  Тип 15 

В треугольнике ABC угол C равен 90°,   Найдите AC.

2.  Тип 16 

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором  и  Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

В трапеции ABCD известно, что AD  =  7, BC  =  5, а её площадь равна 72. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

5.  Тип 19 

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)  Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3)  Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

 6.  Тип 23

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

7.  Тип 24 

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.

Ключ Вариант 7

Вариант 8

1.  Тип 15 

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC  =  73 и BC  =  BM. Найдите AH.

2.  Тип 16 

В угол C величиной 84° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

3.  Тип 17 

В трапеции ABCD известно, что AD  =  9, BC  =  1, а её площадь равна 70. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

4.  Тип 18 

Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

5.  Тип 19 

Какие из следующих утверждений верны?

1.  Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

2.  Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.

3.  Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

6.  Тип 23

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF  =  20, BF  =  15.

7.  Тип 24

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD.

Ключ Вариант 8

Вариант 9

1.  Тип 15 

В треугольнике ABC AB  =  BC  =  80, AC  =  128. Найдите длину медианы BM.

2.  Тип 16 

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

3.  Тип 17 

Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

4.  Тип 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь.

5.  Тип 19

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2)  Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3)  Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4)  Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

6.  Тип 23 

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов  и  этой трапеции пересекаются в точке  биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.

7.  Тип 24

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Ключ Вариант 9