Муниципальное общеобразовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа №3

имени Л. Г. Венедиктовой города  Маркса Саратовской области

Билеты по геометрии

для промежуточной аттестации

обучающихся 7б класса

по УМК Л.С. Атанасян и др.

Составила: Абросимова Галина Евгеньевна,

учитель высшей категории

2016 -2017 учебный год

Г. Маркс

Пояснительная записка

В структуре контрольных измерительных материалов (КИМов) государственной итоговой аттестации (ГИА) выделено три модуля «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

В целях лучшей подготовки к ГИА в 9 классе проводится промежуточная аттестация в форме устного экзамена по геометрии.

Экзамен позволяет решить следующие задачи:

1. Оценивание знаний и умений, сформированных впри изучении геометрии.

2. Развитие познавательного интереса.

3. Более глубокое понимание и осмысление обучающимися изученного материала.

4. Формирование целостного восприятия изученного материала.

Экзамен по геометрии позволяет оценить следующие знания и умения учащихся:

1. Владение основными понятиями и свойствами геометрических фигур:

• знать основные геометрические понятия;
• знать условные обозначения;
• применять определения и свойства для решения различного рода задач;

2. Владение основными обще учебными умениями:

• обобщать, анализировать делать выводы;
• применять полученные знания для решения различных задач;
• использовать инструменты для построения;
• излагать решение последовательно, четко, связано, обоснованно;
• правильно применять систему условных обозначений при ведении записей.

Билеты по геометрии составлены на основе требований к результатам освоения основной общеобразовательной программы основного общего образования, представленных в Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования.

Для проведения экзамена по геометрии предлагаются 20 билетов, состоящих из трех вопросов.

Билеты по геометрии состоят из трех заданий:

- первое задание - теоретический вопрос, не требующий доказательств (формулировки определений и теорем, знание формул);

- второе задание - теоретический вопрос, предполагающий развернутый ответ (доказательство теорем, вывод формул, построений с обоснованием);

- третье задание - практический вопрос (задача базового уровня сложности  № 9, из открытого банка заданий для проведения ОГЭ).

Рекомендации по оцениванию. (в школе 10 бальная система оценивания)

Отметка «8 - 10» выставляется при условии верного ответа на теоретические вопросы и решении задачи или при ответе на теоретические вопросы и решении задачи, возможно с незначительными недочетами.

Отметка «5 - 7» выставляется при условии верного ответа на теоретические вопросы и решении задачи или при ответе на один теоретический вопрос и решении задачи.

Отметка «3 - 4» выставляется при условии верного ответа на 1- ый вопрос и решении задачи, возможно с некоторыми незначительными недочетами.

Отметка «2» выставляется при неполных ответах на теоретические вопросы, и если обучающимся не решена задача.

Отметка «1» выставляется во всех остальных случаях.

При ответе, обучающемуся могут быть заданы дополнительные вопросы членами экзаменационной комиссии, но они не должны выходить за рамки содержания билета, выбранного обучающимся.

Приложение

Требования к уровню подготовки учащихся 7 класса  (из рабочей программы педагога)

           Должны знать:

определение точки, прямой, отрезка, луча, угла; единицы измерения отрезка, угла; определение вертикальных и смежных углов, их свойства; определение перпендикулярных прямых; определение треугольника, виды треугольников, признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, определение медианы, биссектрисы, высоты; определение параллельных прямых, их свойства и признаки; соотношение между сторонами и углами треугольника, теорему о сумме углов треугольника; определение прямоугольного треугольника, его свойства и признаки.

Должны уметь: обозначать точки, отрезки и прямые на рисунке, сравнивать отрезки и углы, с помощью транспортира проводить биссектрисуугла; изображать прямой, острый, тупой и развернутый углы; изображать треугольники и находить их периметр; строить биссектрису, высоту и медиану треугольника; доказывать признаки равенства треугольников; показывать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, доказывать признаки параллельности двух прямых; доказывать теорему о сумме углов треугольника; знать, какой угол называется внешним углом треугольника; применять признаки прямоугольных треугольников к решению задач; строить треугольники по трем элементам.

        Должны владеть компетенциями:познавательной,коммуникативной, информационной и рефлексивной.

Способны решать следующие жизненно-практические задачи:самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях, работать в группах, аргументировать и отстаивать свою точку зрения, уметь слушать других, извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа объектов, пользоваться предметным указателем энциклопедий и справочником для нахождения информации, самостоятельно действовать в ситуации неопределенности при решении актуальных для них проблем.

Задачи из открытого банка ОГЭ включённые в билеты (задачи № 9)

Равнобедренные треугольники

1. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .

Решение.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому  =  =  Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому  Вертикальные углы равны, следовательно, 

Ответ: 120.

2. В равностороннем треугольнике  ABC  медианы  BK  и  AM  пересекаются в точке O. Найдите .

Решение.

Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому . Треугольник AOK — прямоугольный, поэтому .

Ответ: 60.

3.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы ACB и BAC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.

Ответ: 66.

4.

В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма смежных углов равна 180°, откуда  Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому  Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, 

Ответ: 112.

5.

 Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Треугольник  — равнобедренный, поэтому  Найдём угол  

Ответ: 9.

6.

 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма смежных углов равна 180°, поэтому  В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, 

Ответ: 57.

7.

 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите периметр этого треугольника.

8.

В треугольнике  известно, что , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Треугольник  - равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 36

9.

Треугольники общего вида

 В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол  равен  угол  равен  Сумма углов в треугольнике  равна 180°, откуда  Аналогично, из треугольника   Получаем систему уравнений:

Таким образом, угол  равен 62°.

Ответ: 62.

10.

 В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение.

Поскольку  — медиана,  Рассмотрим треугольник   следовательно, треугольник  — равнобедренный,  — высота, следовательно,  — медиана, откуда  Найдём  

Ответ: 63.

11.

В треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку  — медиана,  Найдём   Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные,  равно   — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда  то есть треугольник  — равнобедренный, значит,  Углы  и  — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, поэтому 

Ответ: 140.

12.

В треугольнике  известно, что ,  - медиана, . Найдите .

Решение.

Так как  - медиана, следовательно 

Ответ: 27

13. В треугольнике два угла равны 38° и 89°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, 

Ответ: 53

Углы

14. Биссектрисы углов N и M треугольника  MNP  пересекаются в точке  A. Найдите  , если  , а  

Решение.

По определению биссектрисы  и . В треугольнике NAM:

.

Ответ: 117.

15. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 67

16. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому 

Ответ: 40.

17. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что  ,  ,  . Найдите  . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как  и , односторонние и их сумма равна 180°, прямые, которые заключают эти углы, — параллельны. Найдем угол, смежный с углом 3:  Этот угол и угол 4 соответственные и равны так как прямые параллельны.

Таким образом, угол 4 = 125°.

Ответ: 125.

18. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение как показано на рисунке. Углы 1 и 4 соответственные, поэтому ∠4 = ∠1 =  22°. Углы 2, 3 и 4 — это углы одного треугольника, сумма углов треугольника равна 180°, откуда ∠3 = 180° − 22° − 72° = 86°.

Ответ: 86.

19. Найдите величину угла AOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 52°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы AOD и DOB — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 52° = 128°. Поскольку OK — биссектриса угла AOD, ∠AOK = ∠DOK = ∠AOD/2 = 128°/2 = 64°.

Ответ: 64.

20. В треугольнике  известно, что ,  - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку  - биссектриса, .

Ответ: 24

Дополнительные задачи при подготовке к экзамену

Треугольники общего вида

1. В треугольнике два угла равны 31° и 94°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, 

Ответ: 55

Углы

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 21°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 69

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 63°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 27

4. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 57°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 33

5. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому 

Ответ: 40.

.

6. Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы AOD и DOB — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 108° = 72°. Поскольку OK — биссектриса угла AOD, ∠AOK = ∠KOD = ∠AOD/2 = 72°/2 = 36°.

Ответ: 36.

7. Найдите величину угла AOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 64°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы AOD и DOB — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 64° = 116°. Поскольку OK — биссектриса угла AOD, ∠AOK = ∠DOK = ∠AOD/2 = 116°/2 = 58°.

Ответ: 58.

8. На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC = 60°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку MD — биссектриса, ∠DMB = ∠DMC = 60°. Углы AMС, CMD и DMB вместе составляют развёрнутый угол, откуда

∠AM С = 180° − ∠DMB − ∠DMC = 180° − 60° − 60° = 60°.

Ответ: 60.

9. В треугольнике  известно, что ,  - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку  - биссектриса, .

Ответ: 23

10. В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, 

Ответ: 68

11. В треугольнике  известно, что ,  - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку  - биссектриса, то . Таким образом, 

Ответ: 31

12. В треугольнике  известно, что ,  - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку  - биссектриса, то . Таким образом, 

Ответ: 13

Дополнительные задачи на экзамене:

1. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK отрезок EF – биссектриса, DK=16 см, угол DEF равен 43º. Найти KF, угол DEK  и угол EFD.
2. Треугольник МРК равнобедренный с основанием МК. Прямая n пересекает сторону РК в точке А и сторону МК – в точке В. Найти углы треугольника АВК, если угол Р равен 72º, угол М равен 54º и параллельна МР.
3. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 40º, а угол ВСЕ смежный с углом АСВ, равен 80º. Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.
4. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию.
5. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найти углы этого треугольника, если угол ADB равен 120º.
7. В прямоугольном  треугольнике АВС угол В равен 600, гипотенуза равна 12 см. Найдите катет АВ.
8. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, угол В равен 450, АС=6. Найдите ВС.
9. Найдите угол АВС, изображённый на рисунке