План-конспект Теорема о трех перпендикулярах
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

План-конспект урока математики

I курс НПО

Тема урока: «Теорема о трех перпендикулярах»

Урок подготовила: преподаватель математики  Бушева И.Н.

( Технологии, применяемые на уроке: проблемное обучение, технология разноуровневой дифференциации, технология обучения в сотрудничестве)

Тип урока: урок закрепления нового материала.

Цели урока:

• Закрепить изученный теоретический материал на практике, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;
• Учить умению читать чертеж;
• Учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.
• Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания;
• Развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов).
• Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);
• Способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

План урока

Ход урока

1. Организационный момент – 1 минута.

Учитель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план. Зачитывает эпиграф к уроку.

«Есть истины, как страны,

наиболее удобный путь к

которым становится известным

лишь после того, как мы

испробуем все пути.… На пути к

истине мы почти всегда

обречены  совершать ошибки»

                Дени  Дидро.

Учитель. Сегодня на уроке мы закрепим теорему о трех перпендикулярах, научимся применять теорему о трех перпендикулярах при решении разнообразных задач, вы убедитесь, насколько удобна теорема в использовании и насколько упрощается решение задачи с ее помощью. Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста атеиста Дени Дидро (1713 – 1784) – современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой

II-III  Проверка домашнего задания – 16 минут.

Начнем мы с проверки теоретических знаний, используемых при подготовке домашнего задания.

Учитель. Ответьте на вопросы и проведите самооценку своего устного ответа, сопоставив его  с выводимыми на экран элементами опорного конспекта.

Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы по теории на карточках-заданиях. Демонстрирует после ответов учащихся соответствующие элементы опорного конспекта.

Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации правильных ответов ими проводится самооценка своего устного ответа.

Вопросы:

1. Угол между прямыми  равен 90º. Как называются такие прямые?

/перпендикулярные/

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

/да/

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

/Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости./

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

/как длина перпендикуляра, поведенного из точки к данной прямой./

5. По рисунку 1 назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной, проекцию наклонной на плоскость α.

/ АО- перпендикуляр, точка О- основание перпендикуляра,АВ- наклонная, точка  В – основание наклонной, ОВ– проекция./

6. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Учащиеся с помощью кодоскопа демонстрируют решение домашних задач. Учащиеся заранее готовят кодопленки (выбор отвечающих  происходит заранее  по желанию ребят)

IV.Применение теории на практике.

Учитель: Задача 1. Дано: МВ ┴ АВСК, АВСК – прямоугольник.

Доказать: .

Задача 2. Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).

Доказать: CBD – прямоугольный.

5. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.

Учитель: А теперь посмотрим на чертеже, всем хорошо известного, куба АВСDA1B1C1D1, как применяется теорема о трех перпендикулярах при решении задач следующего типа:)

Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Ответ: Диагональ А1В – есть наклонная к плоскости АВСD, отрезок АВ – есть проекция этой наклонной, отрезок ВС перпендикулярен наклонной, значит, плоскость сечения А1ВСD1 является прямоугольником.

Задача 2. На изображении куба построить несколько прямых, перпендикулярных диагонали куба. (Слайд 16)

Учитель: Перейдем к решению более сложной задачи. Не надо бояться пойти по ложному пути, вспомните девиз нашего урока: «Наиболее удобный путь становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути».

1)Дано:  BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найти: а) расстояние от точки D до АС; б) S.

Решение:

а) 1. DB – перпендикуляр, АС и DA – наклонные, так как ВА = ВС – проекции, то DA=DC.

2. равнобедренный, DK – высота, медиана и биссектриса, DK – расстояние от точки D до АС.

3. , , ВК =, ВК =  =  = 12 (см).

4. DBK,, DK = , DK =  =  = 15 (см).

б) S = ·AC·DK, S =  ·10·15= 75 (см2).

Ответ: 15 см, 75 см2.

2)Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ перпендикулярно к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см;

< ВАD = 60º; ВМ = 12,5 см.

Решение:

Проведем ВК ┴ AD.  ВК – проекция наклонной МК на плоскость ромба; AD  ┴ ВК, то AD  ┴ МК (по теореме о трех перпендикулярах). Длина МК – расстояние от точки М до прямой AD . МЕ – расстояние от точки М до прямой DC.

Из треугольника АВК: ВК = АВsin60º =  .

МВК – прямоугольный ( = 90º), так как МВ ┴ (АВС); МК =  = 25 (см).

ВК = ВЕ (как высоты ромба);  (по двум катетам, как прямоугольные); МЕ = МК = 25 (см).

Расстояние от точки М до прямых АВ и ВС равны длине перпендикуляра МВ, то есть 12,5 см.

Ответ: 25 см; 25 см; 12,5 см; 12,5 см.

6. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.

1). Учитель демонстрирует тестовые задания, зачитывает условие. Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах.

Учитель: Ребята, сейчас отвечая на вопросы тестовых заданий, вы должны установить истинность или ложность утверждения, тем самым отметив на таблице соответственно знаками «+» и «-», после чего произведите взаимопроверку, сверяя ответы с образцом.

1. Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости параллельны)?
2. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
3. Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?
5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей, параллельны)?
6. Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой (прямая а и плоскость α, перпендикулярные к одной прямой с)?
7. Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Критерии оценок:

7 правильных ответов – «5»,

6 правильных ответов – «4»,

5 правильных ответов – «3».

7. Подведение итогов урока.

1). Учитель предлагает обобщить учащимся весь теоретический материал, используемый на уроке и решить задачу, которая продемонстрирует успех изучения теоремы о трех перпендикулярах. Выставляются оценки за урок.

Задача.

Дано: AD ┴ (ABC), < BAC = 62º, < ACB = 28º.

Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте.

VII. Домашняя самостоятельная работа.

 Каждому учащемуся раздается карточка с разноуровневыми задачами. Задача 3 уровня на оценку «5», 2уровня – на «4», 1 уровня – на «3». Каждый выбирает себе уровень сложности и решает задачу, по истечении времени работы сдаются на проверку.

I уровень.

Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС).

Решение:

1. Прямая SM, М – середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к плоскости (АВС) SM ┴ (АВС).
2. SM = = =  =5 (см).
3. Ответ: 5 (см).

II уровень

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см.

Найти:  расстояние от точки К до (АВС).

Решение:

1. Длина АК – расстояние от К до (АВС) по определению.
2. Так как DC ┴ AD, AD проекция KD, то по ТТП KD┴DC, значит, в KDC  . KC2 = KD2 + DC2, DC =  =  = 3 (см).
3. СВ┴КВ по ТТП; СВ = ; СВ = 4 (см).
4. Из ADC , AC =   (см).
5. ИЗ КСА < A = 90º, KA = , KA =2 (см).

Ответ: 2 см.

III уровень.

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС), <А – меньший,

 АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Решение:

1.В АВС против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем АЕ ┴ ВС, АЕ ┴ МЕ. По теореме о трех перпендикулярах МЕ ┴ ВС.

2. По формуле Герона:

S = ,  S =BC·AE.

P =  = 20, S = = 60.

AE = 15 (см).

По теореме Пифагора: МЕ = , МЕ = 25 (см).

Ответ: 25 см.