Уравнение прямой
презентация к уроку по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Урок № 21 Уравнение прямой (различные способы задания) 20.11.22

Слайд 3

Уравнения прямых Прямые на координатной плоскости могут располагаться только тремя способами: горизонтально вертикально под наклоном к осям

Слайд 4

Уравнение вертикальных прямых Уравнение вида x = a на координатной плоскости задает множество точек, имеющих одну и ту же абсциссу . Рассмотрим, например, уравнение: x = 1 Отметим на координатной плоскости некоторые точки, имеющие абсциссу, равную 1.

Слайд 5

( 1 ; - 2). Например: ( 1 ; 0), Эти точки лежат на вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 1 на оси ОХ . Это значит, что уравнение x = a задает на плоскости вертикальную прямую. ( 1 ;2), Уравнение вертикальных прямых х = 1

Слайд 6

Задание 1 x = 3 Постройте на координатной плоскости множества точек, соответствующих уравнениям: x = -2 x = 0

Слайд 7

Уравнение горизонтальных прямых Уравнение вида y = b на координатной плоскости задает множество точек, имеющих одну и ту же ординату. Рассмотрим, например, уравнение: y = 1 Отметим на координатной плоскости некоторые точки, имеющие ординату, равную 1.

Слайд 8

( -2 ; 1 ). Например: ( 0 ; 1 ), Эти точки лежат на вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 1 на оси ОХ . Это значит, что уравнение y = b задает на плоскости горизонтальную прямую. ( 2 ; 1 ), Уравнение горизонтальных прямых y = 1

Слайд 9

Задание 2 y = 3 Постройте на координатной плоскости множества точек, соответствующих уравнениям: y = -2 y = 0

Слайд 10

20.11.22 Условие перпендикулярности векторов х у А (х 1 ;у 1 ) В (х 2 ;у 2 )

Слайд 11

20.11.22

Слайд 12

Виды уравнений прямой Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей вектор нормали Общее уравнение прямой Уравнение прямой «в отрезках» Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой, проходящей через две точки Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х 1 ;у 1 ) и имеющей угловой коэффициент к Уравнение прямой с угловым коэффициентом к 20.11.22

Слайд 13

20.11.22 Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей вектор нормали n х у l M ( х 0 ;у 0 ) n К ( х ;у )

Слайд 14

20.11.22 Задание 3 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку Р(- 2;3) и перпендикулярной вектору

Слайд 15

Общее уравнение прямой Уравнение вида: с коэффициентами А; В; С такими , что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Вектор ортогонален этой прямой и называется нормальным.

Слайд 16

Уравнение прямой(как в учебнике). у 0 20.11.22 х l A(x 1 ;y 1 ) B(x 2 ;y 2 ) M(x; y) 1) АМ=МВ ( х-х 1 ) 2 + ( у-у 1 ) 2 = ( х-х 2 ) 2 + ( у-у 2 ) 2 3 ) а х+ b y+ c =0 х( 2 х 2 - 2 х 1 )+у( 2 у 2 - 2 у 1 )+( х 1 2 + у 1 2 +х 2 2 +у 2 2 )=0

Слайд 17

Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 2) и В(2; -3). Решение: Уравнение прямой имеет вид ах+ b у+с=0. тогда А и В лежат на прямой, т. е. их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставим координаты точек А и В в уравнение: 20.11.22

Слайд 18

Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой называется полным , если все коэффициенты А , В , и С отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным . 1) Виды неполных уравнений : y 0 х 2) 3) 4) 5)

Слайд 19

Уравнение прямой в отрезках Рассмотрим полное уравнение прямой: Обозначим: Получим: Уравнение в отрезках y 0 х b a Уравнение в отрезках используется для построения прямой, при этом a и b – отрезки, которые отсекает прямая от осей координат.

Слайд 20

20.11.22 Задание 4 Прямая задана уравнением 3х – 5у + 15 = 0. Напишите уравнение этой прямой «в отрезках». Сделайте чертеж

Слайд 21

Каноническое уравнение прямой Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 (х 0 ; у 0 ) и параллельно заданному вектору М 0 (х 0 ; у 0 ) М (х; у ) Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на прямой, только в том случае, если векторы и коллинеарны. По условию коллинеарности получаем: Каноническое уравнение прямой

Слайд 22

20.11.22 Задание 5 Напишите уравнение прямой , проходящей через точку Р(- 2; - 5) в направлении вектора

Слайд 23

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ). М 1 (х 1 ; у 1 ) М 2 (х 2 ; у 2 ) Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Слайд 24

20.11.22 Задание 6 Напишите уравнение прямой , проходящей через точки А(- 2; - 3) и В(- 5; 4)

Слайд 25

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y 0 х Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий вектор , то угловой коэффициент k этой прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX . Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой с угловым коэффициентом = b

Слайд 26

20.11.22 Задание 7 Прямая задана уравнением 3 х – 4 у + 8 =0. Определите угловой коэффициент. Постройте прямую

Слайд 27

20.11.22 Задание 8 Прямая задана уравнением 13 х – 5 у – 65 =0 Напишите уравнение прямой С угловым коэффициентом «в отрезках» каноническое

Слайд 28

Пример Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий вектор: Написать : каноническое, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом. Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с осью OX . 1. Каноническое уравнение: 2. Общее уравнение:

Слайд 29

3. Уравнение в отрезках: 4. Уравнение с угловым коэффициентом: y 0 х М b a

Слайд 31

20.11.22

Слайд 32

20.11.22

Слайд 33

20.11.22

Слайд 34

Домашнее задание

Слайд 35

Урок № 22 Взаимное расположение двух прямых 20.11.22

Слайд 36

20.11.22 Как могут быть расположены две прямые на плоскости? l 1 l 2 l 1 l 2 l 1 l 2

Слайд 37

20.11.22 Пусть даны две прямые 1) Прямые пересекаются, значит векторы нормали Не коллинеарны

Слайд 38

20.11.22 Пусть даны две прямые 2) Прямые перпендикулярны

Слайд 39

20.11.22 Пусть даны две прямые 3) Прямые параллельны, значит векторы нормали коллинеарны , но не лежат на одной прямой

Слайд 40

20.11.22 Пусть даны две прямые 4) Прямые совпадают, значит векторы нормали коллинеарны , и лежат на одной прямой

Слайд 41

20.11.22 Определите взаимное расположение прямых 1) 3х + 4у - 1 = 0 и 2х + 3у – 1 = 0 2) 2х + 2у +1 = 0 и 4х + 4у + 3 = 0 3) х + у + 1 = 0 и 2х + 2у + 2 = 0 № 976

Слайд 42

20.11.22 № 1005

Слайд 43

20.11.22 Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + 6 у + 5 =0 и 3 х – 2 у + 1 =0 и точку А

Слайд 44

20.11.22 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2;-5), параллельно прямой 3 х + 4 у + 2 =0

Слайд 45

20.11.22 Найти проекцию точки М (-6;4) на прямую, заданную уравнением 4 х – 5 у + 3 =0

Слайд 46

Расстояние от точки до прямой 20.11.22 х у 0 l M ( х 0 ;у 0 ) М 1 (х 1 ;у 1 )

Слайд 47

20.11.22 или

Слайд 48

20.11.22

Слайд 49

Следствия Если М 0 = О(0;0) то Если у = кх + b , то 20.11.22

Слайд 50

20.11.22 Даны уравнения сторон треугольника АВ: х + 3 у – 7 =0 ВС: 4 х – у – 2 = 0 АС: 6 х + 8 у – 3,5 = 0 Найти длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС

Слайд 51

20.11.22 Найти расстояние от точки А(- 2; 3) до прямой у = 0,75х + 0,5

Слайд 52

20.11.22 Найти расстояние между прямыми 3х + 4у - 24 =0 и 3х – 4у + 6 = 0

Слайд 53

Домашняя контрольная работа Дано: А(8;-1), В(-8;11), С(-1;-13) Найти: Длины сторон АВ и ВС треугольника АВС Уравнения сторон АВ и ВС Уравнение медианы, проведенной из вершины А Уравнение высоты, проведенной из вершины А Длину высоты, проведенной из вершины А Уравнение биссектрисы внутреннего угла В.(используйте формулу для вычисления координат точки, делящей отрезок в данном отношении) Площадь треугольника АВС. Сделать чертеж (в натуральную величину) 20.11.22