Презентация "Уравнение прямой"
презентация к уроку по геометрии (9 класс) по теме

Слайд 1

Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a , b , c - некоторые числа, причем a , b одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой прямой и называемого вектором нормали .

Слайд 2

Угловой коэффициент Если число b в уравнении прямой не равно нулю , то, разделив на b , это уравнение можно привести к виду y = kx + l . Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла , который образует прямая с осью абсцисс .

Слайд 3

Взаимное расположение прямых Д ве прямы е , заданны е уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, параллельны, если векторы их нормалей одинаково или противоположно направлены, т.е. для их координат ( a 1 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ) для некоторого числа t выполняются равенства a 2 = ta 1 , b 2 = tb 1 . При этом, если с 2 = t с 1 , то уравнения определяют одну и ту же прямую. Если же с 2 tc 1 , то эти уравнения определяют параллельные прямые. Е сли две прямые пересекаются, то угол между ними равен углу между их нормалями ( a 1 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ). Этот угол можно вычислить через формулу скалярного произведения

Слайд 4

Пример 1 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x + 2 y – 1 = 0, 2 x – y + 3 = 0. Решение: Векторы нормалей к данным прямым имеют координаты (1, 2) и (2, -1) соответственно. Их скалярное произведение равно нулю и, следовательно, эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между данными прямыми равен 90 о .

Слайд 5

Пример 2 Найдите уравнение прямой, проходящей через заданные точки A 1 ( x 1 , y 1 ) и A 2 ( x 2 , y 2 ). Решение: Найдем вектор нормали к данной прямой. Он перпендикулярен вектору ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ). Следовательно, в качестве такого вектора можно взять вектор с координатами ( y 2 – y 1 , x 1 – x 2 ). Искомым уравнением прямой будет уравнение ( y 2 – y 1 )( x – x 1 ) + ( x 1 – x 2 )( y – y 1 ) = 0, которое можно также переписать в виде ( y 2 – y 1 ) x + ( x 1 – x 2 ) y + x 2 y 1 – y 2 x 1 = 0.

Слайд 6

Упражнение 1 Какие уравнения имеют координатные прямые: а) Ox ; б) Oy ? Ответ: а) y = 0; б) x = 0.

Слайд 7

Упражнение 2 Прямая задана уравнением x - 2 y + 1 = 0. Чему равны координаты вектора нормали? Нарисуйте эту прямую и вектор нормали. Ответ: (1, -2).

Слайд 8

Упражнение 3 Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом: а) k = 1; б) k = 2; в) k = ; г) k = -1; д) k = -2; е) k = - . Нарисуйте эти прямые. Ответ: а) y = x ; б) y = 2 x ; в) y = x ; г) y = - x ; д) y = -2 x ; е) y = - x .

Слайд 9

Упражнение 4 Найдите угловой коэффициент прямой: а) 2 x - 3 y + 4 = 0; б) x + 2 y - 1 = 0. Ответ: а) б)

Слайд 10

Упражнение 5 Ответ: x - y + 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 0 (1, 2) с вектором нормали (-1, 1).

Слайд 11

Упражнение 6 Ответ: x + y - 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A (1, 0), B (0, 1).

Слайд 12

Упражнение 7 Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M (3, -1), N (4, 1). Найдите координаты вектора нормали этой прямой. Ответ: 2 x - y - 7 = 0; (2, -1).

Слайд 13

Упражнение 8 Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M (1, -2) и параллельна: а) координатной прямой Ox ; б) координатной прямой Oy ; в) прямой y = x . Ответ: а) y = -2; б) x = 1; в) y = x – 3.

Слайд 14

Упражнение 9 Точка H (-2, 4) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Напишите уравнение этой прямой. Ответ: x - 2 y + 10 = 0.

Слайд 15

Упражнение 10 Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых параллельны между собой: а) x + y - 1 = 0, x + y + 1 = 0; б) x + y - 1 = 0, x - y - 1 = 0; в) -7 x + y = 0, 7 x - y - 5 = 0; г) 2 x + 4 y - 8 = 0, - x - 2 y + 4 = 0. Ответ: а), в).

Слайд 16

Упражнение 11 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x + y + 1 = 0, x - y - 1 = 0. Нарисуйте эти прямые. Ответ: 90 о .

Слайд 17

Упражнение 12 Найдите координаты точки пересечения прямых: а) x + y - 1 = 0, x - y + 3 = 0; б) 3 x - y + 2 = 0, 5 x - 2 y + 1 = 0. Ответ: а) (-1, 2); б) (-3, -7).

Слайд 18

Упражнение 13 Треугольник задан своими вершинами A (1, 3), B (3, 0), C (4, 2). Найдите уравнения высот этого треугольника и координаты их точки пересечения. Ответ: h a : x + 2 y – 7 = 0; h b : 3 x – y – 9 = 0; h c : 2 x – 3 y – 2 = 0;