Использование мотивирующих способов организации подготовки обучающихся к ЕГЭ по математике при решении геометрических задач.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 10, 11 класс)

Использование мотивирующих  способов организации подготовки обучающихся    к  ЕГЭ по математике                                                         (при  решении геометрических задач)

В математике нет царских путей. Математика - высокая винтовая лестница. Чтобы взобраться по ней к вершинам знаний, надо пройти каждую ступеньку, от первой до последней. Прежде чем достичь вершины, нам вместе с учениками нужно пройти долгий путь познания. Главной задачей, которая стоит перед каждым учителем, становится качественная подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ, поэтому каждый педагог апробирует в своей работе наиболее эффективные методы, формы и технологии обучения. Не являюсь исключением и я.

Подготовка учащихся к ЕГЭ осуществляется на моих уроках математики по следующим направлениям:

– информационная работа;

– содержательная подготовка;

– психологическая подготовка.

Сегодня мы поговорим с вами о содержательном направлении подготовки.

Считаю, что  намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению задач из материалов ЕГЭ, чем прорешивать варианты прошлых лет.

Принципы построения методической подготовки к ЕГЭ.

Первый принцип – тематический. Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая правило – от простых типовых заданий до заданий второй части. Система развития логического мышления учащихся осуществляется с помощью системы различных типов задач с нарастающей трудностью. Расположение однотипных задач группами особенно полезно, поскольку дает возможность научиться логическим рассуждениям при решении задач и освоить основные приемы их решения.

Второй принцип: переход к комплексным тестам разумен, начиная со 2 полугодия, когда у школьника накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.

Третий принцип: все тренировочные тесты следует проводить с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться всегда проводить в форсированном режиме с подчеркнутым акцентированием контроля времени. Этот режим очень тяжел школьникам на первых порах, но, привыкнув к этому, они затем чувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и собраннее.

Четвертый принцип в шутливой форме звучит так: «Умный в гору не пойдёт, умный гору обойдёт!». Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым, понятным способом  и с наименьшей затратой времени. Особенно при решении задач по геометрии, решение которых у детей отнимает много времени. На этом пункте я остановлюсь поподробнее.

Группу задач с кратким ответом на ЕГЭ безошибочно решают не более 30 процентов сдающих. Только малая часть выпускников за 40-60 минут верно осуществляют решение и спокойно приступают к сложным заданиям. Учитывая тот факт, что выполнение заданий первой части дает ученику наибольшее количество баллов, целесообразнее было бы уделить внимание на подготовку именно по этому разделу.

 Многие на этих простеньких задачках теряют неоправданно много времени, а далее на решение и грамотное оформление задач с развёрнутым ответом его просто не хватает. Что самое обидное — не хватает времени именно на оформление когда задача уже решена. 

I) Например: одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание Египетского треугольника (со сторонами 3, 4, 5), треугольников ему подобных (со сторонами 6, 8, 10;   9, 12, 15 и т.д.) и, так называемых, Пифагоровых треугольников (со сторонами 5, 12, 13 и 7, 24, 25). Значения сторон таких треугольников, быстро запоминаются детьми при неоднократном решении нескольких задач на такие треугольники.

Задача № 6 (1).  В треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Вспомним, что Пифагоров треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .

Задача № 6 (2).  В  треугольнике ∆АВС . Найти ВС.

В Египетском  треугольнике стороны равны 3, 4, 5, , если напротив угла  лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к. гипотенуза равна  а не , значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4. Умножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Задача № 6 (3). В  треугольнике ∆АВС .  Найти АС.

Решим данный пример вторым способом.

Предположим, что катеты треугольника равны  и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:

Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами  и  и гипотенузой , искомый катет .

Задача № 6 (4).   В треугольнике  ABC  угол  C  равен  , , . Найдите .

Это Пифагоров треугольник с гипотенузой 25, значит, =0,28.

II) Диагональ квадрата в    раз больше его стороны, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника больше его катета в  раз, диагональ куба больше его ребра в   раз. Знание таких выводов их теоремы Пифагора, так же позволяет сократить время на промежуточных преобразованиях при решении более сложных задач.

III) Применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге быстро и легко.  Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике.

Формула Пика: S = в + -1, где S – площадь многоугольника, с вершинами в узлах квадратной сетки; Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (на сторонах и в вершинах), В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника

Узлы сетки – точки, в которых пересекаются линии сетки.

IV) Для того чтобы детям легко запомнить формулы для вычисления объёмов геометрических тел, применяю следующую «хитрость». Все геометрические тела по виду формулы объёма можно условно разделить на три группы:

                            1) призма, цилиндр – V = Sоснh;

                           2) пирамида, конус - V = Sоснh;

                           3) шар - V = R2h.

При этом руками и эмоционально словами показываю конфигурации каждой группы геометрических тел.

V) Вычислительные навыки. Пользоваться калькулятором не рекомендую, объясняя его вред. Показываю ребятам некоторые способы быстрого умножения чисел, возведения в степень, возведение в квадрат чисел, в  записи которых последняя цифра  5,  извлечения корней, перевода из обыкновенной дроби в десятичную и  др..

Хочу еще несколько слов сказать о дистанционном обучении, которое в современном образовании вызывает большой интерес, а также создает прекрасные условия для дополнительного образования школьников.

Задача учителя в дистанционном учебном процессе состоит в том, чтобы помочь каждому отдельному обучающемуся превратить содержание курса, разработанное для широкой аудитории, в его личное, персональное знание. Обучающиеся действительно получают возможность самостоятельно выбирать вид деятельности, определять свой собственный образовательный путь, а учитель помогает им обеспечить ситуацию успеха.

В нашей школе выпускники обучаются очно в традиционной форме и вместе со своим учителем взаимодействуют, работая с удаленной от них информацией, различными образовательными объектами. Для этого используется доступ в Интернет, его информационные и телекоммуникационные возможности. Основной учебный процесс происходит в очной форме. Коммуникации с удаленными учениками носят эпизодический характер. Дистанционное обучение является дополнительным средством решения традиционных общеобразовательных задач.

Например, онлайн-тесты на сайте ФИПИ или  индивидуальные домашние задания – от портала А2Б2, который призван помочь родителям и учителям упростить контроль за выполнением домашних заданий. Этот сервис позволяет дать каждому ученику в классе собственное домашнее задание, максимально приближенное к примеру из учебника. Благодаря этому школьник не сможет списать ни из готовых домашних заданий, ни у одноклассников, и будет вынужден решать самостоятельно.

Решение задач по стереометрии из второй части  ЕГЭ векторно-координатным методом 

Задание № 13  Единого государственного экзамена по математике  представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником.  

Как научить выпускников решать задачу № 13 из ЕГЭ по математике?  Существует три основных метода решения этих задач.  Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.                      

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Чтобы решать задачи этим методом необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи № 13, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна.  

Векторно-координатный метод позволяет избежать вышеуказанные  трудности. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная  нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

           Векторно-координатные приемы изучаются в школе в весьма ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается. И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».

Как правило учитель выбирает  одну из трех стратегий подготовки к решению задач № 13 на ЕГЭ:

 1) Полный отказ от векторно- координатных приемов

 2) Изучение отдельных алгоритмов

 3) Демонстрация всех приемов (с доказательством) для самых сильных учеников.

           Преимущество методов аналитической геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества тем.

     Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то можно построить работу  на векторах и координатах. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку к ЕГЭ отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный комплексный подход, то лучше всего сразу обратиться к координатам.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Какую подготовку к восприятию векторно-координатных приемов должен провести учитель?

Необходимо повторить следующие темы:  координаты точки и координаты вектора, длина вектора, скалярное произведение векторов, координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Первая группа подготовительных задач.

Изобразите многогранник, указанную прямоугольную систему координат и определите координаты вершин многогранника.

1. Куб A… с ребром a. Начало координат — в точке A; прямая AD — ось x; прямая AB — ось y; прямая — ось z.

2. Правильная треугольная призма, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, — ось y; прямая — ось z. 

3. Правильная шестиугольная призма A…, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая  — ось z, где  — центр шестиугольника.  

  4. Правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, — ось y; прямая, проходящая через точку A перпендикулярно плоскости ABC, — ось z. 

5. Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку O параллельно AD, — ось x; прямая OM — ось z. 

6. Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая OM — ось z.

Векторно-координатный метод позволяет рассматривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости».  

Расстояние от точки до плоскости

Решение данной задачи позволяет решать задачи о нахождении расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. Поэтому необходимо подробнее остановиться на отработке учащимися навыков решения задач о нахождении расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана точка M(; ; ) и плоскость α, заданная уравнением

Ax + By + Cz + D = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

,   (1)

где  координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости α).

Подготовительные упражнения для отработки навыков применения формулы  (1) для данных точки и плоскости.

1. Найдите расстояние от точки M(–3; 1; 2) до плоскости, заданной уравнением 3x + 4y – 12z + 2 = 0.

2. Вычислите расстояние от начала координат до плоскости, заданной уравнением 2x + 3y – 6z + 14 = 0.

3. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями 3x + 2y + 4z + 11 = 0 и 9x + 6y + 12z – 5 = 0.

Указание. Для этого достаточно выбрать точку первой плоскости,

например,  

4. Докажите, что в общем случае расстояние между параллельными плоскостями α и β:

:   :

вычисляется по формуле:      

Указание. Используйте алгоритм решения задачи 3.

Следующая система упражнений направлена на составление уравнения плоскости, проходящей через три точки.

Один из способов получения уравнения плоскости, если известны координаты трех ее точек не лежащих на одной прямой: M(; ; ), N(; ; ), P(; ; ). Для этого нужно в общий вид  уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, подставить координаты точек M, N, P, получим систему уравнений

Решив ее, найдем A = pD, B = qD, C = rD  (если окажется, что D = 0, то            A = pC, B = qC; если D = C = 0, то A = pB).  Подставив в исходное уравнение и  разделив на D ≠ 0, получим уравнение  px + qy + rz + 1 = 0.

Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках:

,  если известны координаты точек (A; 0; 0), (0; B; 0), (0; 0; C) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно.

Пример 1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки, M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).

Решение.  В общий вид уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0  подставим  координаты этих точек, получим:

Отсюда B = –D, A = –D и C = D. Уравнение плоскости MNP имеет вид

–Dx – Dy + Dz + D = 0, или x + y – z – 1 = 0, после деления на – D ≠ 0.

Пример 2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости  DE.

Решение. Введем систему координат, как показано на рисунке, и найдем координаты точек:                                      

   Пусть Ax + By + Cz + D = 0  — уравнение плоскости DE. Подставляя в него координаты точек D, E, , получим:

Отсюда имеем: A = 0, B = -   C=-D

Уравнение плоскости DE примет вид  Вычислим расстояние от точки A до плоскости DE по формуле (1):

                                                                                                 Ответ:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задачу данного вида можно свести к задаче о вычислении расстояния от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от точки до плоскости, применяя координатный метод.

Пример 3. В единичном кубе A… найдите расстояние между прямыми  и BD.

Решение. Так как     Поэтому расстояние

ρ(; ) = ρ(; )=  ρ(; ).

Введем систему координат, как показано на рисунке, и определим координаты точек:                                       (0; 0; 0),  (0; 1; 0),  (1; 0; 0), (1; 1; 1).

Плоскость, проходящая через точки , имеет вид x + y – z – 1 = 0 (см. пример 1). Расстояние между прямыми  и  равно расстоянию от точки   до плоскости

                                                                                                          Ответ:

Угол между двумя прямыми

         На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются  координаты их направляющих векторов. Пусть  

 - искомый угол между двумя прямыми AB и CD.

                Формула:.     (2)

Пример 4. В правильной шестиугольной призме, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми и .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

 Тогда  

           ,

       Отсюда

            где  — искомый угол.

                                      Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

         Пусть даны вектор , перпендикулярный к некоторой плоскости  (ее нормаль) и направляющий вектор  прямой.  - искомый угол между прямой  и плоскость  

Уравнение плоскости имеет вид:                                    ,

Синус угла  между прямой  и вектором  равен модулю косинуса угла между нормалью  и направляющим вектором  прямой , так  как углом между двумя прямыми называется меньший из углов.           Формула: .    (3)

В задачах на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла между пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости находить не требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты трех точек плоскости M, N, P, не лежащих на одной прямой. Для этого находим координаты двух векторов плоскости:

Предположим, что вектор с координатами = {p; q; r} (здесь p, q, r — неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости α, в том числе векторам  

Его координаты можно найти из условий равенства нулю скалярных произведений с векторами   из следующей системы уравнений:

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости α, бесконечно много. Выразив, например, из системы координаты  p и q через r,  выберем ненулевой вектор                        = {p(r); q(r); r}, взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно берут такое число, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).

Пример 5.   В единичном кубе  найти угол между прямой  и плоскостью α, проходящей через точки , E и F, где точка E — середина ребра , а точка F лежит на ребре так, что  .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как на рисунке.  Тогда

 (0; 0; 0),   (0; 0; 1),   (1; 0; 1),  

Пусть   {x; y; z} — вектор, перпендикулярный плоскости α. Найдем его координаты из условий перпендикулярности этого вектора векторам  и  то есть из условийПусть x = 2, тогда y = –4, z = 3 и  {2; − 4; 3},   .

Так как  то

=   Отсюда

                                                                                                    Ответ:

Угол между плоскостями

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями

  и   соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их    нормалей    и , используя формулу

 α и β

Прежде чем перейти к содержательным задачам, с учащимися необходимо рассмотреть простейшие задачи следующего вида: найти угол между плоскостями, заданными уравнениями  2x + 3y + 6z – 5 = 0 и                4x + 4y + 2z – 7 = 0.

Пример 6.  В правильной четырёхугольной призме A…стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечены точка Е так, что . Найдите угол между плоскостями   .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как на рисунке.  Тогда

B (0; 0; 0),   (1; 1; 3),         В общий вид уравнения плоскости           Ax + By + Cz + D = 0  подставим  координаты этих точек, получим:

Отсюда D = 0, A = –2C, B = – C.  Уравнение плоскости  имеет вид

–2C x – C y + Cz  = 0, или –2 x –  y + z  = 0, после деления на   C ≠ 0.

Вектор нормали  плоскости

Уравнение плоскости :   z = 0, её вектор нормали

                                                                      Ответ:                    

 Источники:

1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2018.

2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010, № 20.

3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2018. Математика. Задача  14. Геометрия.    Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: БИНОМ, 2013.

5. http://ege-ok.ru/ 

6. http://nsportal.ru/