Урок по геометрии на тему: "Площадь треугольника (9 класс)"
план-конспект урока по геометрии (9 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Школа п.Харп

Площадь треугольника

Урок по геометрии в 9 классе

Подготовила и провела

учитель математики

Новокрещенская Людмила Витальевна

Открытый урок по геометрии в 9 классе

«Площадь треугольника»

Цели урока: организация продуктивной деятельности учащихся, направленная на достижение ими следующих результатов:

предметные результаты:

• усвоение и закрепление навыков вычисления площади треугольника различными способами;
• понимание формулы Пика, как одного из методов вычисления площади треугольника, построенного на «решетке»;
• знание и применение свойств  площадей многоугольников при решении задач;
• осмысление и осознанное использование  математических средств наглядности (чертежи, эскизы) для иллюстрации и аргументации собственных рассуждений и действий при решении задач;
• овладение математической грамотностью на всех этапах обучения;
• понимание возможностей использования в перспективе полученных формул при решении различного вида задач, доказательстве теорем;

метапредметные  результаты: освоение способов деятельности:

            познавательной:

• комбинирование известных алгоритмов деятельности в ситуациях, не предполагающих стандартное применение одного из них;
• изложение информации, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории;
• исследование несложных практических ситуаций, выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;
• осуществление переноса знаний в измененную ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

информационно-коммуникативной:

• умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
• умение перефразировать мысль иными словами;
• отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;
• проведение информационно-смыслового анализа задачи;
• приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов;

рефлексивной:

• фиксация затруднений, поиск и устранение причин возникших трудностей;
• оценивание собственных учебных достижений;
• постановка личностных целей и умение оценивать степень их достижения;

личностные результаты:

• проявление готовности к самостоятельной творческой деятельности;
• умение легко выполнять математические операции;
• умение точно и грамотно излагать свои мысли;
• умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
• заинтересованность в приобретении и расширении математических знаний и способов действий.

   Цели урока:

•  отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ;

•  развитие  внимания,  памяти,  логического мышления, интереса к предмету,  

   математически грамотной речи;    

•  воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,

   познавательной активности.

   Тип урока:  

   Оборудование:  компьютер, мультимедийный проектор, сборник «Математика.

                              9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2018» под редакцией Ф.Ф.Лысенко,    

                              С.Ю.Кулабухова.  

Ход урока

I. Организационный момент.

    Сегодня у нас с вами урок по решению геометрических задач из ОГЭ, поскольку на экзамене по математике есть модуль «Геометрия». Занятие будет проходить в виде тренинга.  Но сначала давайте еще раз скажем, почему важно изучать геометрию?

                             Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических

                             фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с

                             самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе

                             относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного

                             взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко

                             открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть

                             красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать

                             выводы.

В качестве эпиграфа нашего урока мы возьмем слова известного математика Пойа:

«Лучше решить одну задачу несколькими способами,

чем несколько задач – одним»

II.  Актуализация знаний учащихся.

      Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы с вами не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы уверенно решать предложенные задачи, надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем. Кроме того, в экзаменационной работе есть задание № 13, проверяющее, как ученик ориентируется в теоретическом материале. В  каждом варианте в задании №13 предлагается по три вопроса, и надо из них выбрать либо верные утверждения, либо неверные. Иногда из-за одного пропущенного слова меняется смысл сказанного. Поэтому мы начнём наш тренинг с проверки знания теории.

     На слайдах вы увидите задания, предлагавшиеся на экзамене в прошлом году, а также задания из сборника для подготовки к экзамену в 2015 году.

                        Какие из следующих утверждений верны?

1.  Через любые три точки на плоскости можно провести окружность.

Неверно.

2

3.  Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Верно.

4.  В любой четырехугольник можно вписать окружность.

Неверно.

5.  Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Неверно.

6.  Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Неверно.

7.  Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно

     диаметру описанной окружности.

Верно.

8.  Одна из высот прямоугольного треугольника всегда делит его на два

     подобных треугольника.

Верно.

9.  Биссектрисы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении

     2 : 1, считая от вершины.

Неверно.

10.  Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,

       опирающемуся на ту же дугу.

Неверно.

11.  Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

Верно.

12.  Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него

       окружности.

Верно.

III.  Тренинг по решению задач.  

      Начнем мы с вами с решения задач из первой части экзамена, т.е. с задач, оцениваемых в 1 балл. Вы знаете, что на экзамене при решении этих задач надо только дать правильный ответ, записав его в бланк ответов.    

              Задача на 1 балл

В треугольнике АВС  точка К – середина стороны  ВС, точка  Р  лежит на отрезке АК,  АР = 10,  РК = 5, ВР = 9. Найдите  ВМ.

         Решение.

Т. к. точка  К – середина стороны  ВС, то  АК – медиана. Точка  Р  делит  АК  в отношении  . Значит, точка  Р – точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, ВМ тоже медиана и         РМ = 4,5.

ВМ = ВР + РМ = 9 + 4,5 = 13,5.

      Ответ: 13,5.

                Задача на 1 балл

Найдите длину отрезка  АN,  если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3,  АК = 2.

            Решение.

1 способ.

АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если из точки  А  к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки  А до точки касания равен произведению отрезков секущей от точки  А до точек пересечения секущей с окружностью.  АN2 = АК ∙ АМ = 2 ∙ 8 = 16  АN = 4.

2 способ

Проведем радиус ОN.  Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Значит, ∆АNО – прямоугольный. АО = 5,  NО = 3. По теореме Пифагора .

3 способ

.   По основному тригонометрическому тождеству  .

.  .

        Ответ:  4.

      Во  второй части экзаменационной работы есть задачи на 2, 3 и 4 балла.

                 Задача на 2 балла

В параллелограмме  АВСD  биссектриса острого угла  С пересекает сторону АВ в точке  М. Найдите расстояние от В  до прямой  СМ, если  СМ = 30,  СВ = 17.

          Решение.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем из точки  В  к прямой  СМ  перпендикуляр  ВН.

Значит, ρ(В; СМ) = ВН.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Значит, ∆СВМ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, ВН – медиана, т.е.

СН = НМ = 15. По теореме Пифагора  ВН = .

      Ответ:  8.

                     Задача на 3 балла

В трапеции  АВСD  точка  К – середина основания  АВ. Известно, что  СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.

            Решение.

1 способ

Т. к. СК = КD, то  ∆СКD – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны   .   как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ  секущей DК,   как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых  DС и АВ  секущей СК.

Т. к. , то  .

Рассмотрим  ∆АКD  и  ∆ВКС.  АК = КВ,   DК = СК  – по условию,   − по доказанному,  то  ∆АКD  =  ∆ВКС  по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что  АD= СВ    трапеция  АВСD – равнобедренная.

2 способ

Проведем высоты  DН  и  СМ.  ∆DКН = ∆СКМ  по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми,  DК = СК  – по условию)   

.  (Дальше как в первом способе).

3 способ

Из равенства  ∆DКН и  ∆СКМ   следует, что  НК = КМ.  

.

Значит, прямоугольные треугольники  АDН  и  ВСМ  равны по двум катетам

(DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, АН = МВ по доказанному).   Из равенства треугольников следует, что  АD= СВ    трапеция  АВСD – равнобедренная.

                      Задача на 4 балла

В равнобедренном треугольнике  АВС  стороны  АВ = ВС = 10,  соsАВС = . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

         Решение.

По теореме косинусов  

1 способ

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы .  Площадь данного треугольника можно найти следующими способами:

1.  ;     2.  ;    3.  .

р =  .   . Значит,  .

2 способ.

Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН.  Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию,  совпадают, то биссектриса ВН  будет и медианой, и высотой.

.

Из ∆АВН  по теореме Пифагора  .

Проведем  радиус  ОD  в точку  касания.  Касательная  к  окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники  АВН  и  ОВD  подобны по двум углам  (угол АВН – общий,  углы Н и  D  равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.

           х = 3. Значит, радиус  ВО = 3.

3 способ

Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник  ОВD.  

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6.  ВD = 10 – 6 = 4.

Пусть ОН = ОD = х,  тогда ВО = 8 – х.  По теореме Пифагора имеем уравнение:  

Значит, радиус  ВО = 3.

4 способ

Проведем  ВН  (не будем проводить ОD, но точку касания  D  обозначим).  

Из второго способа  .

Из ∆АВН  по теореме Пифагора  .

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6.  ВD = 10 – 6 = 4.

По теореме о касательной и секущей   ВD2 = ВМ ∙ ВН 

16 = ВМ ∙ 8

ВМ = 2

МН = 2r = 8 – 2 = 6    r = 3.

Значит, радиус  ВО = 3.

5 способ

Проведем  ВН  и  АО. Т.к. центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис, то АО – биссектриса угла А, а значит, и биссектриса треугольника  АВН. Биссектриса  треугольника  делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.  

.  Пусть  ОН = х, тогда  ВО = 8 – х.       16х = 48    х = 3.

Значит, радиус  ВО = 3.

6 способ

Из ∆АВН:      ВD = 4.

Из ∆ОВD:           ОD = 3.

Значит, радиус  ВО = 3.

               Ответ:  3.

          Домашнее задание.     

                   Задача на 2 балла

Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5. В ответе укажите больший из них в градусах.

                    Задача на 4 балла

В равнобедренную трапецию с верхним основанием, равным 2, вписана окружность радиуса 2. Найдите нижнее основание трапеции.

                              Пожелания и советы учащимся

•   Помни и понимай, что подготовка к ОГЭ – это тяжелый труд, где

     результат будет прямо пропорционален времени, потраченному на

     активную подготовку к экзамену.

•   Выполняй как можно больше различных тестов по предмету.

•   Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов.

•   Готовясь к экзаменам, мысленно рисуй себе картину успеха.

Рефлексия

Подведение итогов

Выставление оценок

Литература

1.  Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. − М. : Просвещение, 2009.

2.  Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015. Учебно-тренировочные тесты по новой демоверсии / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2015.