Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.
план-конспект занятия по геометрии (10 класс)

Тема: Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Цель:

рассмотреть симметрию в кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде

План:

1. Симметрия: определение и основные понятия.
2. Симметрия в кубе.
3. Симметрия в параллелепипеде.
4. Симметрия в призме.
5. Симметрия  в пирамиде.
6. Представление о правильных многогранниках.

Теоретический материал

Однажды Л.Н. Толстой сказал: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?».

Как вы понимаете, что такое симметрия? Где мы можем встретиться с симметрией? Приведите примеры симметрии в природе, технике, архитектуре, быту.

Совершенно верно. С симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Мы часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные) или творения человека (здания, техника) - все то, что  окружает нас каждый день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в пространстве (лицо).

В школьном курсе геометрии вы изучали симметрию на плоскости. А сегодня мы рассмотрим с вами симметрию в пространстве. Ни одно геометрическое тело не обладают таким совершенством и красотой, как многогранник. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". 

«Симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

Симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). 

Понятие симметрии включает в себя такие понятия, как: ось симметрии, центр симметрии и плоскость симметрии.

1) Ось симметрии - воображаемая ось,  при повороте вокруг которой на некоторый угол, фигура совмещается сама с собой в пространстве (

2) Центр симметрии - это точка внутри многогранника,  в которой пересекаются и делятся пополам прямые, соединяющие одинаковые элементы многогранника (грани, рёбра, углы)  (С).

3) Плоскость симметрии делит многогранник на 2 зеркально равные части (Р).

4) Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный многогранник. Например, куб обладает высокой степенью симметрии, т.к. в нём присутствуют 3 оси симметрии четвёртого порядка (3, четыре оси симметрии 3 - го порядка (4, шесть осей второго порядка (6 В точке пресечения осей симметрии располагается центр симметрии куба. Кроме того в кубе можно провести 9 плоскостей симметрии (9Р).

Симметрия в кубе.

Кубу свойственны все виды симметрии.

а) Центр симметрии (центр куба) - точка пресечения диагоналей куба.

б) Плоскости симметрии (9): 1) 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; 2) 6 плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.

в) Оси симметрии (13): 1) 3 оси, проходящие через центры противолежащих граней; 2) 4 оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; 3) 6 осей, проходящие через середины противолежащих рёбер.

Симметрия в параллелепипеде.

а) Центр симметрии - точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

б) Плоскость симметрии.  3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных рёбер.

в) Оси симметрии. 3 оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней

Симметрия в призме.

1) Симметрия прямой призмы. Одна плоскость симметрии, проходящая через середины боковых рёбер.

Симметрия правильной призмы.

а) Центр симметрии. При чётном числе сторон основания центр симметрии - это точка пересечения диагоналей правильной призмы.

б) Плоскости симметрии: 1) плоскость, проходящая через середины боковых рёбер; 2) при чётном числе сторон основания - плоскости,  проходящие через противолежащие рёбра.

1)        2)

 в) Ось симметрии: а) при чётном числе сторон основания - ось симметрии проходит через центры оснований; б) оси симметрии, проходящие через точки пресечения диагоналей противолежащих боковых граней.

Симметрия в пирамиде.

а)  Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — а) плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра,  и б) плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней.

б) Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии проходит через вершину правильной пирамиды и центр основания.

Самостоятельная работа студентов по теме " Представление о правильных многогранниках".

Задание: заполнить таблицу "Правильные многогранники".