Маленькие исследования окружности
статья по геометрии (7 класс)

Статья: «Маленькие исследования окружности».

Гах Елена Викторовна

учитель математики

ГБОУ СОШ №136

 г. Санкт-Петербург

Учебное исследование — это не только познавательная деятельность учащихся под руководством учителя, но и метод обучения самой исследовательской деятельности. Приобщение к ней делает учебу производительным трудом, повышает развивающий эффект обучения, который состоит и в приобретении новых знаний, и в овладении новыми способами деятельности.

В школьных учебниках, как правило, излагаются соответствующие программе фрагменты математических теорий ( алгебры, геометрии, математического анализа), то есть готовые системы знаний. Проблема состоит в том, чтобы в процессе обучения смоделировать потенциальную исследовательскую деятельность, результатом которой являются эти знания. Разумеется, к одним и тем же знаниям можно прийти в ходе различных исследований, причем неэквивалентных как с логической, так и с дидактической точки зрения.

Целями обучения геометрии является не только усвоение школьниками содержания знаний, геометрического материала, но и способов их получения, формирование представление о методах работы с геометрическими объектами. Освоение учениками общих приемов работы с геометрическим материалом дает возможность ученикам самостоятельно включаться в познавательную деятельность, дает независимость от учителя в поиске новых знаний, способность самостоятельно осуществлять учебные исследования.

В. В. Давыдов считает, что обучение в школе нужно строить так, чтобы оно повторяло процесс рождения и становления новых знаний. В процессе организованной таким образом учебно-познавательной деятельности "школьники осуществляют мыслительные действия, адекватные тем, посредством которых исторически вырабатывались эти продукты духовной культуры", то есть становятся "учениками - исследователям".

Ученику более интересно и более естественно проводить исследование (квазиисследования), открывая для себя новые факты, чем выучивать готовый фактический материал Ученик, способный проводить учебное исследование, может самостоятельно, или частично самостоятельно, выбрать объект для исследования и изучит его свойства в рамках своих учебных возможностей. Для этого мотивы освоения учениками приемов математического исследования должны стать ведущими и послужить целям формирования интереса не только к учебно-познавательной, но и к учебно-поисковой и учебно-исследовательской деятельности.

Поэтому приведенные дальше примеры маленьких исследований не единственно возможные для выбранного материала. Кроме того, эти примеры представляют собой лишь наброски, этюды учебных исследований, которые могут быть по-разному детализированы.

Я бы хотела остановиться на примерах взаимного расположения окружности и точек, окружности и прямых.

Давайте совершим небольшой экскурс в историю.

Свое название окружность получила еще в Древней Греции. Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде колес, которые катились уже легче.
В Древней Греции круг и окружность считали венцом совершенства. В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса, так как ось и втулка колеса должны всё время быть в соприкосновении. К сожалению, неизвестен изобретатель колеса. Колесо – это чудо! Что же в нём особенного? – подумаете вы. Но это только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилась беда: на Земле исчезли все колёса!
Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы. Не произойдет движения вперед. Самые первые колеса были сделаны в Месопотамии и представляли собой гончарный круг и тележное колесо. Окружность – единственная кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра. Это свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль, и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными.
Не только в процессе работы люди знакомились с различными фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие, созданные давным-давно украшения, имели ту или иную форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе, золоту, серебру, драгоценным камням. Художники, расписывавшие дворцы, тоже использовали окружность. Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать посуду – горшки, вазы. У посуды есть окружность (верхний край)
Такое изобретение, как очки сделало людей с ослабленным зрением полноценными членами общества. Сегодня трудно себе представить очки без заушников, а, между тем, от изобретения очков до массового распространения очков с заушниками прошло 450 лет. И первые монокли, пенсне, лорнеты имели форму, близкую к окружности.

1.Окружность и точки.

1. Окружность и одна точка.

Есть три возможные взаимные расположения окружности и точки. Пусть дана окружность с центром О и радиусом r. ( окр.(О, r)), возьмем произвольную точку А. Расстояние ОА обозначим d. Тогда:

• если d
• если d=r, то точка А принадлежит окружности
• если d>r, то точка А лежит вне окружности

Вопросы на которые хочется ответить рассматривая взаимное расположение окружности и одной точки могут быть следующие:

• Сколько окружностей можно провести через одну данную точку?
• Где лежат их центры?
• Сколько окружностей данного радиуса можно провести через одну данную точку?
• Где лежат их центры?
• 1.2.        Окружность и две точки.

Пусть даны две точки — А и В. Из предыдущего пункта 1.1. мы знаем, что через каждую из этих точек можно провести сколько угодно окружностей и что их центры лежат где угодно. Возникает вопрос: есть ли среди этих окружностей такие, которые проходят через обе точки А и В,  если есть, то сколько их и где лежат их центры?

Устанавливается, что центр О такой окружности должен быть одинаково удален от точек А и В, то есть должно выполняться равенство ОА=ОВ. Как построить такую точку О? Выясняется способ построения: достаточно радиусом, большим половины отрезка АВ, провести окружности с центрами А и В. Их точки пересечения О и О1 обладают требуемым свойствам. Таким образом, мы уже получили две окружности, проходящие через точки А и В ( рис. 1)

рисунок 1.

Далее учащиеся проводят исследования, выясняя ответы на следующие вопросы:

• Как расположены точки О и О1 относительно отрезка АВ?
• Всякая ли точка Х серединного перпендикуляра ОО1 к отрезку АВ является центром окружности, проходящей через точки А и В?
• Центр  всякой ли окружности, проходящей через точки А и В, лежит на серединном перпендикуляре ОО1?
• Докажите, что если У не принадлежит ОО1 (рис.1), то УА#УВ

Целесообразно рассмотреть задачу построения окружности данного радиуса, проходящей через две данные точки А и В, выяснив, при каких условиях задача имеет решение и сколько.

1. Окружность и три точки.

Для ответа на вопрос, существует ли окружность, проходящая через три данные точки, и если существует, то сколько таких окружностей, воспользуемся результатом пункта 1.2. Через каждые две из трех точек А, В, С проходит бесконечное множество окружностей. Их центры расположены на соответствующем серединном перпендикуляре. Возьмем два серединных перпендикуляра, например, к отрезкам АВ и ВС. Эти перпендикуляры либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. В первом случае точка пересечения серединных перпендикуляров окажется равноотстоящей от точек А, В, С, то есть она лежит на третьем серединном перпендикуляре — к отрезку АС. Значит, существует единственная окружность. Проходящая через три точки А, В, С. Во втором случае, если серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС параллельны, то сами эти отрезки лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Рассматриваемые отрезки имеют общую точку В, значит они лежат на одной прямой. Итак, если три точки А, В, С лежат на одной прямой, то через них не проходит ни одна окружность.

1. Окружность и четыре точки

Если из четырех точек А, В, С, D какие-нибудь три лежат на одной прямой, то, по пункту 1.3., через эти три точки не проходит ни одна окружность. Пусть никакие три из данных четырех точек не лежат на одной прямой. Тогда, скажем, через точки А, В, С проходит единственная окружность ( см. п. 1.3) и четвертая точка D может оказаться внутри этой окружности, вне ее или на ней же самой. Естественно, нас интересует последний случай. Так возникает задача выявления условия, при котором около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Но если точка D принадлежит окружности, то угол АDС оказывается вписанным. Это обстоятельство облегчает поиск, поскольку наводит на мысль о том, что надо искать какое-то соотношение между углами. Нужное направление поиска быстро приводит к «открытию» важного факта: противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме составляют 180є.

2. Окружность и прямая.

Этот вопрос целесообразно изучать с помощью наглядного пособия, которое позволяет демонстрировать изменение расстояния d от центра О окружности до прямой, которая первоначально не имеет с окружностью ни одной общей точки. Затем передвигая модель прямой в направлении к центру окружности параллельно той прямой, вдоль которой модель располагалась первоначально, приходим к тому положению, когда прямая, по-видимому, касается окружности. Конечно, учащиеся не могут точно указать точку, принадлежащую и прямой, и окружности, но предположить, что в рассматриваемом случае такая точка только одна, учащиеся вполне смогут. Наконец, демонстрируется третий случай — прямая пересекает окружность в двух точках. Таким образом, интуитивно устанавливается возможность существования трех взаимных расположений окружности и прямой.

Затем исследуется зависимость этих расположений от соотношения между расстоянием d ( от центра окружности до прямой) и радиусом r окружности:

• если d
• если d=r, то прямая «касается» окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку ( это гипотеза, подлежащая доказательству)
• если d>r, то прямая не имеет общих точек с окружностью.

Аналогичное исследование может быть проведено по теме «Две окружности.

Для выполнения конкретного задания ставятся первоочередные задачи исследования: отбор, изучение и систематизация материала, как с помощью изучения дополнительной литературы, так и привлечение Интернет – ресурсов, электронных учебников. А затем анализ, сравнение, выводы, на основе наблюдений, сопоставлений, умение «составить» из частных сведений нечто целое, понять трудно запоминающиеся формулировки и определения, применить их на практике.

Литература:

1. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач. Основные понятия, изучение и преподавание М.: Наука, 1976. 448 с.
2. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 2001. 327
3.  Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учеб. пособие для студентов пед. вузов и системы повыше ния квалификации пед. кадров / Под ред. Е. С. Полат. М.: Издат. дом «Академия», 2002. 272 с.
4.  Селевко Г. К. Современные образовательные технологии: Учеб. пособие. М.: Нар. образование, 1998. 256 с.
5. Орлова, Л.Э. Маленькие исследования на геометрическом материале / Л.Э.Орлова // Математика в школе. 1990 №6. С.30-31.