ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ: «ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА»
проект по геометрии (8 класс)

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ:
«ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА»

Оглавление

Введение

Идея моего проекта возникла на уроке геометрии. Когда мы начали изучать теорему Пифагора мне показалось, что на уроке слишком мало времени было уделено ученому, который ее создал, истории создания, применению в обыкновенной жизни. Мне стало интересно, а много ли материала имеется на эту тему и оказалось, что очень много. Поэтому я решила изучить всю эту информацию и представить в виде презентации, которую можно будет использовать на уроках геометрии.

Цель работы

• Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
• Изучение исторических сведений по использованию теоремы Пифагора.
• Рассмотрение различных видов доказательств теоремы Пифагора.
• Создание учебной презентации на тему «Теорема Пифагора».

Задачи работы

• Собрать материал по истории появления и развития теоремы Пифагора.
• Собрать материал по использованию теоремы Пифагора в Древние века.
• Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.
• Проанализировать и обработать собранную информацию.
• Систематизировать изученную информацию в презентацию Microsoft Power Point.

Биография Пифагора

В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала Иония — группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. По преданию, в Дельфах, куда приехали Мнесарх с женой Парфенисой, — то ли по делам, то ли в свадебное путешествие — оракул предрек им рождение сына, который прославится в веках своей мудростью, делами и красотой. Бог Аполлон, устами оракула, советует им плыть в Сирию. Пророчество чудесным образом сбывается — в Сидоне Парфениса родила мальчика. И тогда по древней традиции Парфениса принимает имя Пифиада, в честь Аполлона Пифийского, а сына нарекает Пифагором, то есть предсказанным пифией.

В легенде ничего не говорится о годе рождения Пифагора. Исторические исследования датируют его появление на свет приблизительно 580 годом до нашей эры. Вернувшись из путешествия, счастливый отец воздвигает алтарь Аполлону и окружает юного Пифагора заботами, которые могли бы способствовать исполнению божественного пророчества. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у Мнесарха были. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам. «Есть еще другая Школа, — говорил Гермодамас, — твои чувствования происходят от Природы, да будет она первым и главным предметом твоего учения».

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте, у жрецов. Попасть в Египет в то время было трудно, потому что страну фактически закрыли для греков. Да и властитель Самоса тиран Поликрат тоже не поощрял подобные поездки. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом — другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет. Оттуда путь Пифагора лежит в Милет — к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. От него принято вести историю греческой философии. Пифагор внимательно слушает в Милете лекции Фалеса, тогда уже восьмидесятилетнего старца, и его более молодого коллегу и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе. Но Фалес тоже советует ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправляется в путь. Перед Египтом Пифагор на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Пока он живет в Финикии, его друзья добиваются того, что Поликрат — властитель Самоса, не только прощает беглеца, но даже посылает ему рекомендательное письмо для Амазиса — фараона Египта.

В Египте благодаря покровительству Амазиса Пифагор знакомится с мемфисскими жрецами. Ему удается проникнуть в «святая святых» — египетские храмы, куда чужестранцы не допускались. Чтобы приобщиться к тайнам египетских храмов, Пифагор, следуя традиции, принимает посвящение в сан жреца. Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. К этому периоду относится событие, изменившее его дальнейшую жизнь. Скончался фараон Амазис, а его преемник по трону не выплатил ежегодную дань Камбизу, персидскому Царю, что послужило достаточным поводом для войны. Персы не пощадили даже священные храмы. Подверглись гонениям и жрецы, их убивали или брали в плен. Так попал в персидский плен и Пифагор.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой. Эти науки у халдеев в значительной степени опирались на представления о магических и сверхъестественных силах, они придали определенное мистическое звучаний философии и математике Пифагора... Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке.

Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ. С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.

Школа Пифагора

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Энтузиазм населения так велик, что даже девушки и женщины нарушали закон, запрещавший им присутствовать на собраниях. Одна из таких нарушительниц, девушка по имени Теано, становится вскоре женой Пифагора. В это время в Кротоне и других городах Великой Греции растет общественное неравенство, вошедшая в легенды роскошь сибаритов (жителей города Сибариса) бок о бок соседствует с бедностью, усиливается социальная угнетенность, заметно падает нравственность. Вот в такой обстановке Пифагор выступает с развернутой проповедью нравственного совершенствования и познания.

Жители Кротона единодушно избирают мудрого старца цензором нравов, своеобразным духовным отцом города. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Он объединяет лучшее из разных религий и верований, создает свою собственную систему, определяющим тезисом которой стало убеждение в нерасторжимой взаимосвязи всего сущего (природы, человека, космоса) и в равенстве всех людей перед лицом вечности и природы. В совершенстве владея методами египетских жрецов, Пифагор «очищал души своих слушателей, изгонял пороки из сердца и наполнял умы светлой истиной».

В Золотых стихах Пифагор выразил те нравственные правила, строгое исполнение которых приводит души заблудших к совершенству. Вот некоторые из них: не делай никогда того, чего ты не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь; переноси кротко свой жребий, каков он есть, и не ропщи на него; приучайся жить без роскоши.

Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения была сложной, многолетней. Желающие приобщиться к знанию должны пройти испытательный срок от трех до пяти лет. Все это время ученики обязаны хранить молчание и только слушать Учителя, не задавая никаких вопросов. В этот период проверялись их терпение, скромность. Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики.

Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Доказанная Пифагором знаменитая теорема носит его имя. Достаточно глубоко исследовал Пифагор и математические отношения, закладывая тем самым основы теории пропорций. Особенное внимание он уделял числам и их свойствам, стремясь познать смысл и природу вещей. Посредством чисел он пытался даже осмыслить такие вечные категории бытия, как справедливость, смерть, постоянство, мужчина, женщина и прочее. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики — теории чисел.

Попытку Пифагора и его школы связать реальный мир с числовыми отношениями нельзя считать неудачной, поскольку в процессе изучения природы пифагорейцы наряду с робкими, наивными и порой фантастическими представлениями выдвинули и рациональные способы познания тайн Вселенной. Сведение астрономии и музыки к числу дало возможность более поздним поколениям ученых понять мир еще глубже.

После смерти ученого в Метапонте (Южная Италия), куда Пифагор бежал по окончании восстания в Кротоне, его ученики обосновались в разных городах Великой Греции и организовали там пифагорейские общества.

История открытия теоремы Пифагора

Теорема Пифагора имеет богатую историю. За 8 веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки», использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые использовали этот факт в определении прямых углов при строительстве зданий.

Теорема Пифагора- самая известная из всех геометрических теорем. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Ветрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III века Диаген, Лаэрций, математик V века Прокл и многие другие. Прокл в своих комментариях к "Началам" Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: "Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка". Другие говорят, 100 быков. Это послужило поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель А.Шамиссо написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает каждый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и поэтому её назвали «теоремой Пифагора». Доказательство теоремы самого Пифагора до нас не дошло. 

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

Некоторые способы доказательств теоремы Пифагора.

Доказательство Эпштейна.

Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.

Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах

Доказательство.

Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.

Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.

При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.

Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Гофмана.

Дополнительные построения:

1. Построим треугольник АВС с прямым углом С.
2. Построим ВF=CВ, ВF^ СВ.
3. Построим ВЕ=АВ, ВЕ^ АВ.
4. Построим АД=АС, АД^АС.
5. Точки F, С, Д принадлежат одной прямой

Доказательство: 1. Четырёхугольники АДВF и АВСЕ равновелики,

т.к. треугольники АВF и ЕСВ равны.

2.Треугольники АДF и АСЕ равновелики.

3. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников

общий для них треугольник АВС, получим:

0,5+0,5= .

Соответственно :
+=,

что и требовалось доказать.

Доказательство Мёльманна.

1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab,

с другой 0,5pr, где

p – полупериметр треугольника,

r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)).

2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)

0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)

аb=0,5(а2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ca + cb - с2)

аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2

2аb=а2 + b2- с2 +2ab

а2 + b2- с2 =0

3. Отсюда следует, что с2= а2+b2

Доказательство Перигаля.

В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Занимательные задачи по теме «Теорема Пифагора».

У египтян была известна задача о лотосе:

"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора.

Исторические задачи очень часто представляли в стихах.

Задача Бхаскари:

«На берегу реки рос тополь одинокий. 
Вдруг ветра порыв его ствол надломал. 
Бедный тополь упал. И угол прямой 
С теченьем реки его ствол составлял. 
Запомни теперь, что в этом месте река 
В четыре лишь фута была широка 
Верхушка склонилась у края реки. 
Осталось три фута всего от ствола, 
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: 
У тополя как велика высота?»

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача арабского математика XI века.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2

АВ2=302 +Х2

АВ2=900+Х2;

в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2

АС2=202+(50 – Х)2

АС2=400+2500 – 100Х+Х2

АС2=2900 – 100Х+Х2.

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ2 =АС2 ,

900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,

100Х=2000,

Х=20,

АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого:

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». 

Применение теоремы Пифагора.

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Строительство.

Окно: в зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон

расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если bпо-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p)=(b/4)+(b/4-p)
или 
b/16+b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p, 
откуда 
b*p/2=b/4-b*p. 
Разделив на b и приводя подобные члены, получим: 
(3/2)*p=b/4, p=b/6.

Крыша: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF. 
Решение: 
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 м. Если предположить, чтоFD=1,5 м, тогда: 
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м 
DC=
Б) Из треугольника ABF:

AF=

Молниеотвод: защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение: 
По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½. 
Ответ: h ≥ (a2+b2)½

Астрономия.

Пусть световой луч проходит путь от точки A к точке B. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, возникает вопрос: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок АВ символом /, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой с, то уравнение примет вид:

с X t = I . Это произведение затраченного времени на скорость.

Попробуем взглянуть на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С.

Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния АСбуквой d, то получим наше уравнение в виде: v* t' = d .Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравнение:c*t‘=s.

Здесь с — это скорость света, at' — это тоже время, которое было рассмотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которыхАВ и ВС должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, который был рассчитан только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s*s =l*l + d*d..

Мобильная связь.

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу:какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).

Решение:

Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х.

Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

Заключение.

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа…

Используемая литература

1. Балк М.Б, Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1971.

2. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия, 7-9кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений - 19-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

3. Г.И. Глейзер. История математики в школе. 7-8кл.: Пособие для учителей, - М.: Просвещение, 1982.

4. Гусев В. А. и др. Математ. словарь для школьников: Сдай экзамены на пять! - Ростов н/Д: Феникс, 2004

5. Ресурсы удаленного доступа [электронный ресурс; рисунки] - Режим доступа: http://festival.1september.ru