1. Использование оригами при изучении геометрии

2.  в средней школе

Рассмотрим связь между явлением в японской культуре оригами, евклидовой геометрией и школьным образованием.

Образную, наглядную модель евклидовой геометрии позволяет создать оригами. Изучение превращений квадратного листа бумаги, возможно, - один из наиболее интересных путей создания образов плоских и пространственных геометрических фигур и накопления практического опыта работы с ними, изучения серьезных вопросов евклидовой геометрии.

При изучении геометрии, у учащихся возникают различные трудности при решении задач, при построении и чтении чертежей, они плохо усваивают понятия фигур и их свойства. Справиться с этими трудностями может использование оригами при изучении геометрии. В процессе преобразования плоских и объемных фигур с применением методов оригами учащиеся оперируют геометрическими объектами, непроизвольно усваивают геометрические понятия, изучают свойства фигур.

В  деятельности по усвоению геометрических понятий важное место должно отводиться созданию моделей, соответствующих геометрическим объектам. Опираясь на эти модели, школьники получают возможность выявлять такие особенности усваиваемых понятий, которые не отражены в словесных определениях. Только самостоятельно изготавливая предмет, можно построить теоретическое представление об объекте, и тогда данный объект может служить моделью — как особый вид учебно–познавательной и развивающей деятельности.

Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба.

Оригами – математическая теория, так как в ней работает аксиоматический метод.

Аксиомы оригаметрии предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом с его точки зрения шесть.

О1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

О2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

О3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.

О4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

О5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

О6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам      аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной [9].

Все остальные следствия оригаметрии можно вывести из данных аксиом.

Система аксиом О1 – О5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома О6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Таким образом, возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Любая оригамская задача состоит:

1. Из постановки задачи.

2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Задача. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла. 

1. Оригамское решение

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.
2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.
3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.
4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

2. Математическое обоснование

Используя чертеж рис. 5, можно записать:

              ВАС – равносторонний, значит  АВС=600.

 ОВА=900-600=300,  ABN=300,   ОВА= ABN= NBC=300.

3. Система задач решаемых с помощью оригами

Наглядность и относительная простота освоения оригами могут помочь школьникам в изучении курса геометрии. Применение наглядной модели геометрической фигуры способствует сознательному усвоению полученных знаний, созданию прочной базы навыков и умений, так как запоминается лучше тот материал, который является объектом деятельности, тот, что вызывает интерес. С помощью перегибаний листа бумаги можно изучать фигуры и их свойства, решать геометрические задачи, изучать теоремы.

С целью изучения геометрии с помощью оригами была разработана система задач. Система включает в себя четыре блока задач, решаемых с помощью оригами. В каждом блоке, кроме первого и четвертого, задачи скомпонованы в виде серий.

Задачи первого блока, представленные одной серией задач (серия 1), это задачи, которые знакомят учащихся с основными приемами складывания. Эти задачи носят «подготовительный» характер и знакомят учащихся с техникой оригами.

Во второй блок «Четырехугольники и их свойства» входят четыре серии задач (серии 2,3,4,5). Целью решения задач этого блока является изучение понятия «Четырехугольники» и их свойств.

Третий блок «Изучение теорем» состоит из двух серий (серии 6 и 7). В серии 6 рассматриваются некоторые теоремы школьного курса геометрии, которые можно изучать (сформулировать и доказать теорему) методами оригами. Серия 7 посвящена замечательным точкам треугольника.

Задачи четвертого блока (серия 8) – задачи на построение и доказательство. Решение некоторых из них представлено двумя способами.

Подготовительные задачи

Серия I

1. Разделить отрезок на две равные части.

    Указание: для того, чтобы разделить отрезок на две равные части, необходимо совместить две противоположные стороны квадрата.

2. Разделить отрезок на четыре равные части.

Указание: для того, чтобы разделить отрезок на четыре равные части, необходимо совместить линию сгиба с каждой из противоположных сторон.

3. Разделить отрезок на три равные части.

     4)  На листе бумаги нарисован угол. Как провести его биссектрису?

Указание: достаточно провести сгиб, через вершину угла, совместив стороны угла, получим  два равных угла, совмещенных наложением.

5. Как «разделить» прямоугольник на:

1. два прямоугольника (2 способа)

2. четыре прямоугольника (2 способа)

3. две части такие, что из них можно сложить равнобедренный треугольник.

       6) Как разделить ромб на:

         1. два равных треугольника;             2. четыре равных треугольника.

или  

7. С помощью перегибаний листа вписать в прямоугольник ромб.

1.                                                              2.  

                                                  Согните еще раз пополам

      Согните лист пополам

3.               4.    

Согните по диагонали

При построении ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3,∆ 4 совпали( совместились наложением) → отрезки, являющиеся сторонами ромба равны.

8. С помощью перегибаний квадрата «изобразите» на нем равнобедренный треугольник.

   1.           2.  

  Согните по диагонали                                       Согните 2 смежные стороны

                                                                                квадрата к диагонали. Разогните

 3.              4.  

4. Четырехугольники и их свойства

Серия II:  Квадрат 

 1) Задание: Выполните сгибы и сделайте выводы о сторонах и углах квадрата.

 Ответ:  квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и все    

                углы прямые.

Свойства квадрата:

Задание: Выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях   квадрата

2)

Ответ: диагонали квадрата равны;

3)

Ответ: диагональ квадрата делит углы пополам;

4)

Ответ: диагонали квадрата пересекаются под прямым углом;

5)

Ответ: диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам;

6. Задание: выполните сгибы и сделайте вывод об осях симметрии  

                                квадрата.

Ответ: квадрат имеет четыре оси симметрии.

Серия III:  Параллелограмм 

Свойства параллелограмма:

1) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях квадрата

      Ответ: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой          

                   пересечения делятся пополам;

2) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о сторонах и углах  

                     параллелограмма.

    Ответ: у параллелограмма противолежащие стороны равны и

                 противолежащие углы равны.

Серия IV: Ромб 

1) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о сторонах ромба.

   Ответ: ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

2) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях ромба.

Ответ: диагонали квадрата взаимноперпендикулярны и делят его углы  пополам;

3) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод об углах ромба.

Ответ: противолежащие углы ромба равны между собой;

4) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод об осях симметрии ромба.

Ответ: ромб имеет две оси симметрии.

Серия V: Трапеция 

1. Задание: выполните сгибы и сформулируйте определение  

                           равнобедренной  трапеции.

          Ответ: трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны  равны.

       2) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях трапеции.

           Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны:

Использование оригами при доказательстве теорем

Серия VI

1) Теорема о сумме углов треугольника

1. Согните шаблон треугольника как показано на рисунке, по пунктирным линиям.

 2. В точку пересечения высоты и основания треугольника, перегните острые углы основания <1 и <2. Покажите на шаблоне, соответственно равные им углы.

3. Аналогично найдите  с помощью перегибания угол, равный третьему углу.

4. В сумме, какой угол образовали соответственно равные углы?

5. Сделайте вывод о сумме углов треугольника.

6. Проверь себя по учебнику.

7. Сформулируй теорему о сумме углов треугольника.

2)  Формула для вычисления угла правильного n-угольника

Учащимся  предлагается заготовить две фигуры, 5-угольник и 6-угольник.

1.Перегните шаблоны n-угольников по диагоналям, исходящим из одной  произвольно выбранной точки.

2. Определите, сколько треугольников получилось.

3. Обратите внимание, что число треугольников совпадает с числом сторон без двух.

4. Зная, что сумма углов треугольника 180 , определите сумму углов n- угольников.

5. Запишите формулу, если число сторон будет n.

6. Найдите сумму углов правильного треугольника.

7. Найдите сумму углов правильного четырехугольника.

8.Сравните свой вывод с формулой в учебнике.

3) Теорема об углах равнобедренного треугольника

Учащимся предлагается изготовить из бумаги равнобедренный треугольник.

1. Разделите исходный треугольник на два треугольника.

2. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

3. Сделайте вывод о соответствующих элементах треугольников.

4. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.

4. Теорема о медиане равнобедренного треугольника

1. Постройте медиану равнобедренного треугольника.

2. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

3. Сделайте вывод о соответствующих элементах получившихся треугольников.

4. Отметьте равные элементы на модели.

5. Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

Серия VII «Замечательные точки треугольника»

Учащимся предлагается взять полоску бумаги (полоска шириной не менее 6 – 7 см) и с помощью сгибов получить треугольник (остроугольный, тупоугольный и прямоугольный). Затем учащимся предлагается задание – с помощью сгибов построить медианы, высоты, биссектрисы и серединные перпендикуляры в каждом из трех треугольников и сделать вывод о том, что они пересекаются в одной точке.

1) Обозначьте АВС, с помощью сгибов постройте медианы  треугольника.

2)  С помощью сгибов постройте медианы в тупоугольном треугольнике.

3) С помощью сгибов постройте  медианы в прямоугольном треугольнике.  

4) С помощью сгибов постройте биссектрисы в остроугольном треугольнике.

Все биссектрисы пересеклись в одной точке О.

6) С помощью сгибов постройте биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

7) С помощью сгибов постройте высоты в остроугольном треугольнике.

10) С помощью сгибов постройте серединные перпендикуляры в  остроугольном треугольнике.

11) Прямоугольный треугольник

12) Тупоугольный треугольник (обратите внимание, как лучше расположить этот треугольник).

5. Разные задачи

6. Серия VIII

1. Дана прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью сгибов через точку А постройте прямую, параллельную прямой а.

Способ 1:

     Способ 2:

2. Как с помощью перегибания листа бумаги, провести прямую,    

     перпендикулярную   данной прямой и проходящей через данную  

    точку?

Способ 1:

Способ 2:

3) Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в  точках М и N. Докажите, что AMN -равнобедренный.

4) На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС - биссектриса угла О.