"Теорема Пифагора - теорема невесты"
творческая работа учащихся по геометрии (8 класс)

Муниципальный тур окружного конкурса творческих работ учащихся

«Интеллект. Творчество. Фантазия».

Секция: математика

Тема: «Теорема Пифагора – теорема невесты»

Выполнил: Файзутдинов Никита

Хамитович

Класс 9 н

ГБОУ СОШ № 2 им. В.Маскина

ж.- д.  ст. Клявлино м. р. Клявлинский

Научный руководитель:  Сафиуллина

Лилия Булатовна, учитель математики

Клявлино

2019 г.

Оглавление

1. Введение.
2. Основная часть:

1. Биография Пифагора
2. История открытия теоремы
3. Способы доказательства теоремы Пифагора
4. Практическое применение

3. Заключение
4. Список использованных источников и литературы

1. Введение.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет.

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него бесспорна, безупречна…

(О теореме Пифагора отрывок из

стихотворения А. Шамиссо)

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Имеет широкое применение в жизни, к тому же очень интересна и познавательна.

Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Актуальность: Зная теорему Пифагора можно находить её новые применения и способы доказательств (около 500 различных доказательств). Теорема Пифагора была известна задолго до его рождения. Всё это меня заинтересовало и я решил провести собственное расследование.

Проблема: недостаточность школьного материала о доказательствах теоремы не позволяет показать практическую значимость теоремы в деятельности человека.  

Цель: изучить историю, как применяется теорема Пифагора в жизни и всё это систематизировать в одной работе.

Гипотеза: с помощью теоремы  Пифагора можно решать не только математические задачи, но и использовать её на практике.

Поставлены следующие задачи:

- изучить источники  и литературу по данной теме;

- познакомиться более подробно с биографией Пифагора;

- изучить историю открытия теоремы;

- познакомиться с разными способами доказательства теоремы;

- практическое применение теоремы;

- оформить свои исследования в виде научной работы и составить презентацию.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: история открытия теоремы Пифагора и многочисленные способы его доказательства.

2. Основная часть.

1. Биография Пифагора.

О жизни Пифагора известно много. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находился в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

  Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый ученый посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед ним открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Обратно по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. На острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодежи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее тали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

•  теорема о сумме углов треугольника;
•  построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
•  Геометрические способы решения квадратных уравнений;
• Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• Доказательство того, что не является рациональным числом;
• Создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

2. История открытия теоремы

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

Многое сделал Пифагор в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая её принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел.»

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически – как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка».

Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “…когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

Михаил Ломоносов по этому поводу писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до н.э.), и в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» («Математический  трактат о гномоне»), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до н. э. – и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом тракте VII – V веках до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»), - несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадается. То же относится и к легенде о заклинании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти оказывается кратчайшим и всегда красивым».

3. Способы доказательства теоремы Пифагора

Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него началась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Во II веке до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IХ книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний – квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной С вырезать и оставшиеся 4 треугольника уложить в два прямоугольника, то образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой- А+В, т.е. С=А+В.                              

Доказательство:

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами a и b  и гипотенузой с и достроим его до    квадрата со стороной  (a + b). У этого квадрата сторона a + b, а его площадь равна Sкв = (a + b)2.

Четырехугольник KMNP – квадрат, так как 1= и  5= 

1+ 3+  900. Найдем площадь квадрата АВСД:

Sкв= 4Sтр + S1кв= 4 ∙ ab +c2 = 2ab + c2.  Тогда (a + b)2 = 2ab + c2,   а2 +2ab + b2 = 2ab + c2,  

а2 + b2 =  c2. Теорема доказана

Другой способ:                   

 Пусть дан  треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами а и b, такими что b > а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD =  ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и  М соединим отрезком АМ.  Имеем MD +CD и AC+ CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как  =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180°-90°=90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей имеем   , или   Умножив обе части равенства на 2 , получим

аb + с2 + аb = (а + b) , 2ab + с2 = а2 + 2аb + b2, откуда   с2 = а2 + b2.     Теорема доказана

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сид-дханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика ХII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII – V веках до н.э.)

Среди пифагорейцев был распространен способ доказательства теоремы “без слов“. Слушателям представляли чертеж, на котором изображены два равных квадрата со стороной (а + b), после чего писали одно слово «Смотри"

Из каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получаются равные. Эти остатки на рисунке выделены. На чертеже слева выделены два квадрата построенных на катетах прямоугольного треугольника, а на чертеже справа – это квадрат, построенный на гипотенузе, то есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Теорему в старину еще называли «теоремой невесты», потому что чертеж к ней несколько напоминает пчелу. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимание на чертеж, перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты». У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теоремы невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но  словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых, женщин и невест. Почему теорему Пифагора в древности называли мостом ослов и теоремой невесты?

Чертеж к ней несколько напоминает крылатого муравья, а по древнегреческому «нимфа» - молодая пчелка, крылатый муравей. Древние греки называли этим термином (нимфа) также молодых невест. Арабы сделали соответствующий перевод и теорему Пифагора стали называть теоремой невесты. Теоремой ослов ее называли в средние века из-за учеников, заучивавших теорему наизусть, но не способных понять (таких учеников называли ослами).

Можно проследить связь слов: пчела-нимфа-невеста; так появилось очень красивое название теорема невесты. В древности доказательство теоремы было очень сложным, и нерадивые ученики подбирали ей всякие не лестные клички: «ослиный мост», «бегство убогих», «пифагоровы штаны» и т.д. мы представим вам еще одно доказательство, основанное на разрешении квадратов, построенных на катетах, и укладывание полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.

Доказательство IX века н.э. «Стул невесты»

        На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 2 и 4 получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 2 и 4 равными им треугольниками 1 и 3, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка  видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Ученические шаржи

         В средневековье для легкого запоминания теоремы Пифагора было придумано много стихов, рисовались шаржи. Например:

• Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.

• Если дан нам треугольник    

                И притом с прямым углом,

                То квадрат гипотенузы

                 Мы всегда легко найдем:

                 Катеты в квадрат возводим,

                 Сумму степеней находим

                 И таким простым путем

                  К результату мы придем

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи.

Значение теоремы

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на равнобедренный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении c2=a2+b2.

В древности она была необходима при построении пирамид, при землемерии.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времен. Состоит он в следующем. Пусть через точку А по направлению АМ четыре раза какое-нибудь расстояние а. затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как 32+42+52.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют «египетским».

Кроме чисел 3, 4, 5, существуют как известно множество других чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a2+b2=c2.

Эти числа называют пифагоровыми числами.

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:

1. Один из «катетов» должен быть кратен трем;
2. Один из «катетов» должен быть кратен четырем;
3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Популярность теоремы столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи.

4. Практическое применение

В ДРЕВНЕЙ Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Вот одна из таких задач.

Выполним чертеж к задаче и обозначим глубину озера АС=х+0,5.

Из треугольника АСВ по теореме Пифагора имеем АВ2-АС2=ВС2,

(х+0,5)2 – х 2 =22,

х2 + х + 0,25 - х2 = 4,  х=3,75

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Задача индийского математика

ХII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»                      

АВ=ВD=5; CD=CB+BD=3+5=8 футов

Задача из китайской

«Математики в девяти книгах»

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его.  Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Решение:

х2+52=(х+1)2; х2+25=х2+2х+1; 2х=24; х=12 чи – глубина водоема, 13 чи – длина камыша

Задача из учебника «Арифметика»

Леонтия Магницкого

«Случится некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

1252  - 1172  = 15625 – 13689 = 1936; от стены до стоп равно  44 стоп

Задача. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?                                                                       122 + 52 = 144 + 25 = 169

Гипотенуза равна 13 метров; 13 ∙ 4 = 52 метра; 50-метровой веревки не хватит.

3. Заключение

Я считаю, что такие интересные, красочные работы нужны. Потому что я узнал много нового об этапах жизни и деятельности Пифагора Самосского. Его жизнь окутана легендами, что придает еще большую привлекательность. Я наглядно увидел решения задач, в том числе необычных, древних, в стихах, с изображениями, при этом еще раз вспомнил доказательство «теоремы невест» и не одно, а несколько. Такие исследования осуществляют межпредметную связь геометрии с алгеброй, историей, географией, биологией, литературой.

Теорема Пифагора не просто теорема. С ней за многие века связались красивые и шутливые легенды и истории. Эта теорема необходима и в жизни современного ученика, а если она представлена в таком виде, то изучать становится гораздо интереснее и запоминается легче.

5.  Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка  или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

«Требует вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теореме Пифагора

Верна и как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор».

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, мы научимся решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.  

Цель исследовательской работы выполнена полностью. Изученный материал систематизирован и его можно использовать для более эффективного изучения и запоминания на уроках геометрии.

4. Список использованных источников и литературы:

         Ссылки на ресурсы Интернет:

http://ru/Wikipedia.org/wik

http://movpifagor.narod.ru

http:// festivai.iseptember.ru/articles

1. Учебник: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и другие «Геометрия 7-9» , М.: «Просвещение» 2013г.

2. Пособие: Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»: пособие для учащихся, М.: «Просвещение»1984г.

3.Книга: С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи», М.: «Наука» 1988г.

4. Словарь:  Составитель: А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика», М.: «Педагогика» 1985г.