Спецкурс в 8 классе по теме "Теоремы бывают разные:истинные и ложные, обратные и противопложные"
план-конспект занятия по геометрии (8 класс) на тему

Теоремы

Теорема  - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Теорема состоит из разъяснительной части (описывает, какие фигуры и точки рассматриваются), а затем из двух утверждений, соединенных знаком следования.   Первое-условие, второе- заключение.  В алгебре примерами теорем служат различные тождества. Некоторым теоремам дают особые названия: лемма, следствие. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе  мало  интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называется утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного. Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы назвать гипотезой. Например, теорема Ферма утверждает, что уравнение

не имеет целых положительных решений при n > 2,пока не доказана. 

Учитесь доказывать теоремы

Усвоить содержание  теорем, которые изучаются в школе, не так уж трудно. Оперируя теоремами применяя их к решению задач, при доказательстве других теорем, вы непроизвольно усваиваете их содержание,  запоминаете их формулировки.

Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально  запоминать доказательство не нужно, нужно  научиться  самому  доказывать теоремы.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого  истинность  какой либо мысли обосновывается с помощью других положений. Поэтому,  когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос). В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то ,т.е. доказывать.

Доказательства математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно  отличается  от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности  чисто дедуктивным методом (от латинского слова дедукция-выведение), т.е. выведением   новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых  без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо  ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри»- и это может служить доказательством.

В математике такой способ доказательства недопустим,  ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые  чертежом, не разрешается. Математическое доказательство  должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Т.о.  при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс  сведения д.б. конечным, и поэтому всякое  доказательство  в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Самое трудное в доказательстве - это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам можно получить нужное следствие - доказываемое  положение.

Какими правилами  нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают  возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого эврика- нахожу , нашел ). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (Греция  3 век), Блез Паскаль(1623-1662),Рене Декарт(1596-1650),Жак Адамар (1865-1963), Дьердь  Пойа(1887-) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1.Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме, их определениями или признаками.

Например, равнобедренный треугольник.

2.Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Например,  по частям доказать, что этот четырехугольник - параллелограмм.

3.В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условию, стараться сблизить условие и заключение теоремы.

Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательства, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались, додумались до этих доказательств.

С известным французским математиком Коши произошел забавный случай. Коши долго и безуспешно объяснял молодому благовоспитанному графу доказательство одной теоремы. Граф долго не мог ничего понять. Доведенный до отчаяния Коши воскликнул: «Теорема верна! Клянусь честью!»

«Ах, маэстро, - галантно ответил граф, - почему же вы не сказали так с самого начала? Ведь я никогда не позволил бы себе сомневаться в честном слове столь уважаемого человека .»

Математики придерживаются другой точки зрения: теорема может быть признана истинной только тогда, когда она доказана.

Общие приемы дедуктивного доказательства теорем.

Прямое доказательство: последовательно выводить следствия из условия теоремы до тех пор, пока не получится ее заключение.

Косвенное доказательство от противного:1)предположить ,что заключение теоремы ложно;2)сформулировать предложение ,противоположное заключению теоремы;3)выводить следствия из сформулированного предложения до тех пор, пока не получится противоречие с условием теоремы или с известным предложением;4) сделать вывод о ложности сформулированного предложения;5) сделать следующий из него вывод об истинности заключения теоремы.

Косвенное доказательство с помощью  контрпримера:  привести пример, не подходящий под заключение теоремы.

Доказательство теоремы существования: указать способ конструирования искомого объекта или перейти к применению приемов косвенного доказательства.

1.Вспомним все теоремы, которые мы изучили.

2. Докажем теоремы, которые не доказывали в ходе уроков:

а) признак ромба,

б) признак прямоугольника,

в) о высоте равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

3.Метод от противного:

а) свойство двух прямых, параллельных  третьей;

б) в треугольнике против равных углов лежат равные стороны;

в) в одном отряде большинство составляли бреющиеся мужчины; остальные солдаты этого отряда были женщинами. Однажды солдат – парикмахер получил приказ командира: побрить всех тех и только тех солдат- мужчин, кто не бреет себя сам. Парикмахер в точности выполнил приказ командира. Докажите способом от противного, что парикмахер- женщина.

г)50 лошадей разместили в 7 конюшнях; докажите, что хотя бы в одной конюшне больше 7 лошадей.

4.Косвенное доказательство с помощью контрпримера:

а) во всяком равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30 градусов;

б) четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом;

в) если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны и равны, то у него имеются  равные стороны.

5. Теоремы о существовании:

а) о существовании перпендикуляра, проходящего через данную точку к  данной  прямой;

б) о существовании  прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

6.Обратные теоремы.

Сформулируйте  для  каждой из приведенных ниже теорем обратную. Верна ли она? Докажите или опровергните ее.

а) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то соответственные углы у этих треугольников равны.

В) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Г) Всякий равносторонний треугольник равнобедренный.

Д) Всякий равносторонний треугольник равноугольный.

Е) Если в треугольнике один угол тупой, то два остальных острые.
ж) углы при основании равнобедренного треугольника равны.

7.Для данных теорем сформулируйте обратную теорему, противоположную и противоположную обратной. Какие из них верны?

а) Прямые углы равны.

Б) Вертикальные углы равны.

В ) Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Г) Если число делится на 9,то сумма его цифр делится на 9.

Д) Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5.

Вывод: теорема, обратная данной, и теорема, противоположная данной, всегда одновременно либо обе верны, либо обе неверны.

Смешение прямого утверждения с противоположным  или обратным встречается нередко и в нематематических рассуждениях. Иногда такую логическую ошибку обнаружить довольно трудно.

«Один профессор, герой сказки Андерсена ,собрался  поехать в страну, где живут людоеды. Правда, он знал, что людоеды едят добрых христиан. Но профессор считал, что для него путешествие безопасно - ведь он был плохим христианином.»

В чем логическая ошибка такого вывода?

8.Софизмы.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок (или запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, правил , формул или использование ошибочного чертежа).Разбор софизмов развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления.

А) Все числа равны между собой.

Б) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

В ) Площади прямоугольника и квадрата равны, значит 64=65.

Заключение.

Закончите предложение: «Если я буду хорошо учить геометрию, то…»