Правильные многоугольники
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему

№

Этап урока

Название используемых ЭОР

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

Формируемые УУД

Познавательные

Регулятивные

Коммуникативные

Личностные

1

2

3

5

6

7

8

9

10

11

1

Организационный момент

презентация

приветствие учащихся; проверка учителем готовности класса            к уроку; организация внимания; инструктаж по работе с технологической картой.

Знакомство с технологической картой урока, уточнение критериев оценки

2

осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Прогнозирование своей деятельности

Умение слушать и вступать в диалог

умение выделять нравственный аспект поведения

2

Вводная беседа. Актуализация знаний.  Постановка целей урока, темы урока.

презентация

слайды 1,2,3

 Учитель рассказывает о пчелиных сотах

Задает учащимся наводящие вопросы

Вместе с учениками определяет цель урока, тему урока.

Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.

5

Поиск и выделение необходимой информации Структурирование знаний. Анализ объектов.

Выделение и осознание того, что уже пройдено.

Целеполагание, выдвижение гипотез Постановка цели учебной задачи, темы урока.

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои  мысли, слушать и вступать в диалог.

Осознание математической составляющей окружающего мира.

3

Решение задач

презентация

слайды 4,5,6,7,8,9

Постановка проблемы

Учащиеся выполняют в тетрадях Задачи №1 и №2, составляют план решения в технологических картах. Рассматривают решение задач разными способами. Делают выводы.

15

Самостоятельное формулирование познавательной цели; формулирование проблемы, решение проблемы, построение логической цепи рассуждений; доказательство. Анализ объектов и синтез

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата

Умение слушать и вступать в диалог.

Коллективное обсуждение проблем , при необходимости

Ориентация в межличностных отношениях

4

Пауза

музыка

Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.

Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу

2

5

Практическая работа

Шаблоны многоугольников

Комментирует,   направляет работу учащихся

Учащиеся работают в парах.

5

Рефлексия способов и условий действия.

Анализ и синтез объектов

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи,  контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция

Умение слушать и вступать в диалог.

Поддержание здорового духа соперничества для поддержания мотивации учебной деятельности

Развитие логического мышления.

6

Выступления с подготовленными сообщениями

презентация

слайд 10

Сообщает интересные факты по теме урока

Учащиеся выступают с сообщениями, слушают товарищей.

8

Рефлексия.

Планирование своей деятельности, умение структурировать знания, саморегуляция

Навыки публичного выступления,

Умение слушать и вступать в диалог.

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

7

Подведение итогов  урока, оценивание знаний

Проставляют в лист контроля баллы, набранные на 1 уроке

2

Рефлексия.

Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности

Управление поведением партнёра- контроль, коррекция, оценка

Нравственно-этическая ориентация

смыслообразование

8

Домашнее задание

презентация

слайд 11,12

Задает дозированное домашнее задание

Учащиеся записывают домашнее задание.

1

Деятельность учителя

Деятельность учеников

I. Организационный этап

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.(Слайд 1).

Проводит инструктаж по работе с технологической картой: На столах у вас лежат листочки. Они называются технологическими картами. Сегодня вы будете работать на этих листах. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. Если задание вы выполнили вместе с классом, то ставите + в 3-ю колонку, если вы выполнили задание быстрее класса, то ставите + в 4-ю колонку, а если по ходу задания возник вопрос, который не удалось выяснить на уроке, то вы коротко записываете его в 5-й колонке. Те из вас, кто будет  решать задания быстрее класса, могут заработать дополнительную оценку.

Учащиеся готовы к началу работы, имеют представление о работе с технологической картой.

II Вводная беседа. Сообщение учителя.

1. Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелинные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый ( т. е. составленный без просветов и перекрытий) правильными многоугольниками (Какими?) (Слайд 2).

На этих шестиугольниках пчёлы наращивают их воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчёлы и откладывают мёд, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

Чарльз Дарвин отмечает: «Далее этой  ступени совершенства в архитектуре естественный отбор не мог вести, потому что соты пчёл абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска».(Слайд 3).

Учащиеся осмысливают связь математики и окружающего мира. Отвечают на вопросы.

2.Мотивация.

Итак, мы с вами изучили раздел правильные многоугольники. Как вы могли бы сформулировать цели урока, тему урока?

Это и будут наши цели на урок. А как бы вы сформулировали тему урока?

Тема урока «Правильные многоугольники в природе»

Использовать  формулы зависимости между стороной правильного многоугольника и его площадью и периметром для решения задач.

Пытаются сформулировать тему урока, дополняют и уточняют друг друга.

III.  Решение задач.

Задача1.(Презентация Слайд 4)

Пчелинные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками ( рис.1 на слайде 2). Найти, какими ещё правильными многоугольниками можно покрыть плоскость.

 Каким способом можно решить данную задачу?

1. Решение задачи методом уравнений. В процессе решения на слайдах показывается (Слайд 5).

Сформулируйте вывод.(слайд 6 ) А есть ли еще способы решения данной задачи?

2. На слайдах в ходе решения задачи вторым способом показываются рисунки.

     Метод перебора можно продолжать и дальше; итогом решения будет вывод, что плоскость без просветов можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками (если многоугольники одного вида). (Слайд 7,8)

Задача 2.

 Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник?

Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр? (Слайд 9)

Сравнив степени периметров, приходим к выводу, что наименьший периметр при одинаковой площади у шестиугольника!

Учащиеся выполняют в технологических картах Задание №1.

Ученики вспоминают формулу

1 ученик решает задание с обратной стороны доски.

План решения задания №1

1. Предположим, что плоскость покрыта правильными п-угольниками, причём каждая вершина является общей для х таких  многоугольников, α- внутренний угол правильного многоугольника, равный  

             Тогда        

Из этого равенства находим    

Учитывая, что х – целое, получаем  п = 3, 4, 6.

Итак, плоскость можно покрыть правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

2. Задачу можно решить методом перебора

п = 3   Три угла, плотно составленные, составляют 1800, шесть углов – 3600. Плоскость покрыта без просветов

п = 4     Четыре угла вместе дают 3600, т. е. 900 ⋅ 4 = 3600, плоскость покрыта без                       просветов

Внутренний угол правильного пятиугольника равен 1080, п = 5      1080 ⋅ 3 = 3240. остаётся просвет в 360  плоскость без просветов не покрывается.

п = 6   внутренний угол правильного шестиугольника равен 1200, три шестиугольника, составленные вместе, образуют 1200 ⋅3 = 3600. плоскость покрывается без просветов

Учащиеся выполняют в технологических картах задание №2.

Решение:

Способ I. Пусть площадь правильного п-угольника равна Sп,  А1А2 = ап  (рис. 2, б):

;            Итак,;          ∠А1ОН = ,   ап- сторона п- угольника,        ∠А1ОА2 = ,                        

Отсюда  ,  S4 = а42,      ;

Так как все площади равны, обозначим их S. Тогда:

         а32= ,   а42= S ,     а62 = ;        

Для удобства сравнения возведём Рп в степень. Имеем Рп = пап, где Рп – периметр             п-угольника,

т. е. Р3 = 3 а3,     Р32 = 9 а32 ,         Р34 = 81 а34 = 432 S2.

Аналогично получим Р44 = 256 S2,        Р64 = 192 S2.

Например, S = 16см2, при а3 = 6 см,  а4= 4 см , а6 = 2, 5 см.

Способ II.

Пусть имеем АВСDEF – правильный шестиугольник, А/ В/С/D/– квадрат, А/В/С/ – правильный треугольник

Обозначим Sп – площадь, Рп периметр п- угольника,  АВ = а.

Тогда ≈2,55а2 ,    Р6 = 6а

Все площади равны, а значит, имеем:    S4 = 2,44а2, А1В1 ≈1,6а.  Отсюда      Р4 ≈ 6,4а .

Пусть А2В2 = b. Выразим b через а , тогда

Но,    b2 = 6а2 ,   b = а√6 ≈2,4а ,   Р3 ≈ 7,2а.

 Итак, периметры многоугольников, имеющих одну и ту же площадь, относятся как

Р6  : Р4 : Р3 = 6 : 6,4 : 7,2   или  3 : 3,2 : 3,6.

Вывод: при условии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имееет правильный шестиугольник.

Проверяется решение, проводится актуализация знаний.

Проверяется решение в тетрадях, задаются вопросы по решению.

ΙV. Пауза

Учитель. При выполнении любого серьезного дела всегда можно найти минутку для отдыха, как в известной пословице: делу время – потехе час. (Учитель показывает упражнения гимнастики для глаз)

Учащиеся, повторяют действия за учителем

V.   Практическая работа

Можно ли без просветов покрыть плоскость многоугольниками, если этими многоугольниками являются правильный шестиугольник и квадрат, имеющие одинаковые стороны?

Вопрос. Где человек может использовать умение покрывать плоскость правильными  многоугольниками?    

Работа в парах

Учащиеся выполняют работу, используя готовые шаблоны: покрывают плоскость многоугольниками, получают при этом просвет в 600.

Ответ. При составлении различных орнаментов, паркета и т. д. можно использовать покрытие плоскости правильными многоугольниками.

VΙ.  

Сообщение учителя (Слайд 10)

На примере пчёл мы убеждаемся, насколько гармонично устроен наш мир, как умна природа. Задача человека -  беречь этот мир и разумно пользоваться  его дарами. Жизнь и деятельность пчёл вызывает восхищение людей, пчёлами интересуются не только естествоиспытатели. Выдающийся мыслитель и критик XIX века Д. И. Писарев написал в 1862 году статью «Пчёлы», в которой он сравнивает пчелиный улей с государством, проводит аналогию с человеческим обществом . Итак, по Писареву, в улье есть  царица – матка, трутни  и рабочие пчёлы. Вот рабочие-то  пчёлы и строят соты, носят мёд, заполняют ячейки мёдом и закупоривают их. Они кормят весь улей, да и людей – тоже, если человек умело с ними обращается.

Любопытно, что у пчёл пять глаз, чего лишён человек. Два глаза (больших) расположены по бокам головы и играют роль микроскопов, а другие три крошечных глаза расположены в верхней части головы, ими  пчёлы пользуются при полёте. Благодаря этим глазкам пчела видит очень далеко.

Перелетая от цветка к цветку, эти насекомые опыляют растения, одновременно собирая цветочный нектар и перенося его в соты. Масса одной пчелиной ноши нектара около 6 мг. Чтобы накопить в улье 50 г мёда, пчела должна сделать примерно 8333 вылета. А для получения 100 г мёда пчела должна облететь почти миллион цветков, зато при хорошей «лётной» погоде за лето можно получить до 25 кг мёда.

 Сообщения учащихся (примерно)

Учащийся А.    Натуральный пчелиный мёд – ценнейший продукт, он содержит необходимые для жизни человека вещества: сахара, главным образом глюкозу, ферменты, белки, соли кальция, калия, натрия, магния, железа  хлора, , фосфора, серы, йода, органическое кислоты (яблочную, лимонную, молочную и др.), эфирное масло, витамины С, В2, В6, Н, К и каротин, пантотеновую и фолиевую кислоты, гормоны, антибиотики – всего более 60 различных веществ, а в некоторых сортах мёда содержится даже радий.  Обилие ценных веществ и витаминов делает мёд незаменимым продуктом питания, он широко используется человеком в народной медицине, в косметике. Как лекарственное средство благотворно влияет на желудочную деятельность и сердечную мышцу.

Учащийся Б.  Пчелиное маточное молочко – вещество, которым пчёлы вскармливают личинку будущей матки. Установлено, что маточное молоко содержит все незаменимые аминокислоты, оказывает на кожу благоприятное действие, восстанавливает её эластичность, улучшает обмен веществ, обладает бактерицидным действием. Маточное молочко влияет на кожу как «омолаживающее» средство.

Учащийся В. Пчёлы строят соты из воска. Воск выделяется особыми железами рабочей пчелы. Воск выделяют только молодые пчёлы от 10-12 дней до 18-20 дней. Чистый воск легче воды, плавится при температуре 60-650. за сезон пчелиная семья может дать 0,8-1,2 кг воска. Из воска готовят свечи, краски. Применяется в косметике.

Учащийся Г. Кроме мёда, воска, маточного молочка пчёлы дают ещё прополис. Прополис – смолистое вещество, темно-зелёного цвета, горький на вкус, с приятным запахом берёзы. Источником прополиса являются смолистые вещества, собираемые пчёлами с растений. В нём 55% смол, 10% эфирных масел, 30% воска и 5% пыльцы. Хорошо  растворяется в спирте и плохо в воде. Температура плавления – 800. Широко используется в медицине.

VIΙ. Этап оценивания знаний учащихся  

Учитель: Наш урок подходит к концу. В течение урока вы работали в картах. Оцените себя. Сосчитайте количество правильных ответов («+»). Поставьте себе оценку в соответствие с критериями.

Учитель: Поднимите руку, кто получил «5», «4», «3».

Учитель выставляет оценки за работу на уроке самым активным учащимся, комментирует отметки.

Учащиеся самостоятельно выставляют себе  отметки с учетом предоставленных критериев.

Учащиеся поднимают руки с учетом полученных оценок.

Подведение итогов урока 

   Итак, не восхищаться пчёлами нельзя. Недаром у нас развито пчеловодство, в том числе и любительское. Но чтобы управлять этими маленькими тружениками, человек должен любить своё дело, обучаться ему, должен быть аккуратным, терпеливым и трудолюбивым. И тогда природа ответит благодарностью.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя.

VIΙI.  Информирования учащихся о домашнем задании  (презентация Слайд 11)

Можно ли без просветов в перекрытий покрыть плоскость правильными  многоугольниками, если этими многоугольниками являются:

                а) шестиугольник, квадрат и треугольник;

                 б) восьмиугольник и квадрат;

                 в) двенадцати угольник и треугольник?

Почему?

2. Соберите рецепты народной медицины. В которых использованы продукты, даваемые пчёлами.

Задания, которые нужно выполнить на уроке письменно.

Рекомендации учителя

Ученик ставит в эту колонку знак «+» напротив того задания, которое он выполнял вместе с классом или вместе с соседом по парте.

Ученик ставит в эту колонку «+» напротив того задания, которое он выполнял самостоятельно (быстрее, чем на доске).

Вопросы, которые возникли при выполнении задания или после выполнения задания и которые не удалось выяснить на уроке.

1. Пчелинные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Найти, какими ещё правильными многоугольниками можно покрыть плоскость.

Применить теоремы и формулы из п.108

2. Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник?

Сравнить многоугольники

3. Покрыть плоскость многоугольниками

Использовать шаблоны

4. Подготовить сообщение

Темы сообщений:

Мед; маточное молочко; прополис; воск.