10-ГЕОМЕТРИЯ Перпендикулярность в пространстве
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

1. Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.

2. Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. .

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и  пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

3. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая  параллельна прямой а по построению. Значит, прямые  и b параллельны.

Имеем, прямые  и b параллельны, прямые с и  параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми  и, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

4. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. .

Рис. 3. 

5. Свойство

Если , то . (пересечение а и )

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.

Рис. 4.                                                           Рис. 5.

6. Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскости. Докажем, что и прямая а1 перепендикулярна плоскости.

Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит,  (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а1 параллельна прямой а. Значит, прямая а1 перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а1 перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

7. Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые  и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая  также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и  пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с. Тогда прямая  перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая  ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и  через точку М проходят два перпендикуляра b и   к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.

8. Задача 1

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 9). Докажите, что  и , если .

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .

Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В1С1.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A1D1. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что .

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В1С1 перпендикулярны.

9. Задача 2

В тетраэдре ABCD - . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.

Рис. 10.

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

10. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность к плоскости параллельных прямых. На следующем уроке мы рассмотрим признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Fizma.​net (Источник)

2. Хvatit.com (Источник)

3. Якласс (Источник)

4. 900igr.​net Источник

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 5, 6, 7 стр. 54

2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.

3. Равные стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.

4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой а. Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой а.