Векторно-координатный метод решения задач из материалов ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10, 11 класс) на тему

 Решение задач  из материалов ЕГЭ векторно-координатным методом 

Задание С2 Единого государственного экзамена по математике с 2010 года представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником.  За этот период по итогам ЕГЭ -  только около 5% представленных решений были оценены в два балла.

Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике?  Существует три основных метода решения задач C2.  Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.                      

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Чтобы решать задачи этим методом необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна.  Второй случай, когда не всегда целесообразно использовать «метод построений», связан с нахождением расстояний от точки до прямой  или от точки до плоскости. Тогда  на помощь приходят два оставшихся метода.

Векторно-координатный метод позволяет избежать вышеуказанные  трудности. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная  нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

           Векторно-координатные приемы изучаются в школе в весьма ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается. И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».

Как правило учитель выбирает  одну из трех стратегий подготовки к задаче С2 на ЕГЭ:

 1) Полный отказ от векторно- координатных приемов

 2) Изучение отдельных алгоритмов

 3) Демонстрация всех приемов (без доказательств) для самых сильных учеников.

           Преимущество методов аналитической геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества тем.

     Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то можно построить работу по С2 на векторах и координатах. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку к ЕГЭ отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный комплексный подход, то лучше всего сразу обратиться к координатам.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Какую подготовку к восприятию векторно-координатных приемов должен провести учитель?

Необходимо повторить следующие темы:

1) Координаты точки и координаты вектора.

 2) Длина вектора.

 3) Скалярное произведение векторов.

 4) Координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Первая группа подготовительных задач.

Изобразите многогранник, указанную прямоугольную систему координат и определите координаты вершин многогранника.

1. Куб A… с ребром a. Начало координат — в точке A; прямая AD — ось x; прямая AB — ось y; прямая — ось z.

2. Правильная треугольная призма, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, — ось y; прямая — ось z. 

3. Правильная шестиугольная призма A…, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая  — ось z, где  — центр шестиугольника.  

  4. Правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, — ось y; прямая, проходящая через точку A перпендикулярно плоскости ABC, — ось z. 

5. Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку O параллельно AD, — ось x; прямая OM — ось z. 

6. Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая OM — ось z.

Векторно-координатный метод позволяет рассматривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости».  

Расстояние от точки до плоскости

Решение данной задачи позволяет решать задачи о нахождении расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. Поэтому необходимо подробнее остановиться на отработке учащимися навыков решения задач о нахождении расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана точка M(; ; ) и плоскость α, заданная уравнением

Ax + By + Cz + D = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

,   (1)

где  координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости α).

Подготовительные упражнения для отработки навыков применения формулы  для данных точки и плоскости.

1. Найдите расстояние от точки M(–3; 1; 2) до плоскости, заданной уравнением 3x + 4y – 12z + 2 = 0.

2. Вычислите расстояние от начала координат до плоскости, заданной уравнением 2x + 3y – 6z + 14 = 0.

3. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями 3x + 2y + 4z + 11 = 0 и 9x + 6y + 12z – 5 = 0.

Указание. Для этого достаточно выбрать точку первой плоскости,

например,  

4. Докажите, что в общем случае расстояние между параллельными плоскостями α и β:

:   :

вычисляется по формуле:      

Указание. Используйте алгоритм решения задачи 3.

Следующая система упражнений направлена на составление уравнения плоскости, проходящей через три точки. Один из способов получения уравнения плоскости, если известны координаты трех ее точек не лежащих на одной прямой: M(; ; ), N(; ; ), P(; ; ). Для этого нужно в общий вид  уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, подставить координаты точек M, N, P, получим систему уравнений

Решив ее, найдем A = pD, B = qD, C = rD  (если окажется, что D = 0, то            A = pC, B = qC; если D = C = 0, то A = pB).  Подставив в исходное уравнение и  разделив на D ≠ 0, получим уравнение  px + qy + rz + 1 = 0.

Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках:

,  если известны координаты точек (A; 0; 0), (0; B; 0), (0; 0; C) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно.

Пример 1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки, M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).

Решение.  В общий вид уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0  подставим  координаты этих точек, получим:

Отсюда B = –D, A = –D и C = D. Уравнение плоскости MNP имеет вид

–Dx – Dy + Dz + D = 0, или x + y – z – 1 = 0, после деления на – D ≠ 0.

Пример 2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости  DE.

Решение. Введем систему координат, как показано на рисунке, и найдем координаты точек:                                      

   Пусть Ax + By + Cz + D = 0  — уравнение плоскости DE. Подставляя в него координаты точек D, E, , получим:

Отсюда имеем: A = 0, B = -   C=-D

Уравнение плоскости DE примет вид  Вычислим расстояние от точки A до плоскости DE по формуле (1):

                                                                                                 Ответ:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задачу данного вида можно свести к задаче о вычислении расстояния от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от точки до плоскости, применяя координатный метод.

Пример 3. В единичном кубе A… найдите расстояние между прямыми  и BD.

Решение. Так как     Поэтому расстояние

ρ(; ) = ρ(; )=  ρ(; ).

Введем систему координат, как показано на рисунке, и определим координаты точек:                                       (0; 0; 0),  (0; 1; 0),  (1; 0; 0), (1; 1; 1).

Плоскость, проходящая через точки , имеет вид x + y – z – 1 = 0 (см. пример 1). Расстояние между прямыми  и  равно расстоянию от точки   до плоскости

                                                                                                          Ответ:

Угол между двумя прямыми

         На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются  координаты их направляющих векторов. Пусть  

 - искомый угол между двумя прямыми AB и CD.

                Формула:.     (2)

Пример 4. В правильной шестиугольной призме, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми и .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

 Тогда  

           ,

       Отсюда

            где  — искомый угол.

                                      Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

         Пусть даны вектор , перпендикулярный к некоторой плоскости  (ее нормаль) и направляющий вектор  прямой.  - искомый угол между прямой  и плоскость  

Уравнение плоскости имеет вид:                                    ,

Синус угла  между прямой  и вектором  равен модулю косинуса угла между нормалью  и направляющим вектором  прямой , так  как углом между двумя прямыми называется меньший из углов.           Формула: .    (3)

В задачах на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла между пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости находить не требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты трех точек плоскости M, N, P, не лежащих на одной прямой. Для этого находим координаты двух векторов плоскости:

Предположим, что вектор с координатами = {p; q; r} (здесь p, q, r — неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости α, в том числе векторам  

Его координаты можно найти из условий равенства нулю скалярных произведений с векторами   из следующей системы уравнений:

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости α, бесконечно много. Выразив, например, из системы координаты  p и q через r,  выберем ненулевой вектор                        = {p(r); q(r); r}, взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно берут такое число, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).

Пример 5. В единичном кубе  найти угол между прямой  и плоскостью α, проходящей через точки , E и F, где точка E — середина ребра , а точка F лежит на ребре так, что  .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как на рисунке.  Тогда

 (0; 0; 0),   (0; 0; 1),   (1; 0; 1),  

Пусть   {x; y; z} — вектор, перпендикулярный плоскости α. Найдем его координаты из условий перпендикулярности этого вектора векторам  и  то есть из условийПусть x = 2, тогда y = –4, z = 3 и  {2; − 4; 3},   .

Так как  то

=   Отсюда

                                                                                                    Ответ:

Угол между плоскостями

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями

  и   соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их    нормалей    и , используя формулу

 α и β

Прежде чем перейти к содержательным задачам, с учащимися необходимо рассмотреть простейшие задачи следующего вида: найти угол между плоскостями, заданными уравнениями  2x + 3y + 6z – 5 = 0 и                4x + 4y + 2z – 7 = 0.

Пример 6. (ЕГЭ 2012) В правильной четырёхугольной призме A…стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечены точка Е так, что . Найдите угол между плоскостями   .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как на рисунке.  Тогда

B (0; 0; 0),   (1; 1; 3),         В общий вид уравнения плоскости           Ax + By + Cz + D = 0  подставим  координаты этих точек, получим:

Отсюда D = 0, A = –2C, B = – C.  Уравнение плоскости  имеет вид

–2C x – C y + Cz  = 0, или –2 x –  y + z  = 0, после деления на   C ≠ 0.

Вектор нормали  плоскости

Уравнение плоскости :   z = 0, её вектор нормали

                                                                      Ответ:

 Источники:

1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.

2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010, № 20.

3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия.    Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.

4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: БИНОМ, 2003.

5. http://ege-ok.ru/ 

6. http://nsportal.ru/