Тема 26. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.Теория. Ключевые методы решения задач.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

Тема 26.  Метод координат на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , и каждой точке плоскости поставлена в соответствие пара чисел - так называемые координаты точки.

Расстояние между точками и  определяется по формуле

По этой же формуле находится длина отрезка

Координаты  середины отрезка  определяются по формулам

Аналогичные формулы имеют место и в пространстве, если в нем задана прямоугольная система координат . Тогда каждой точке пространства поставлена в соответствие тройка чисел - координаты точки.

Расстояние между точками и  определяется по формуле  

Координаты   середины отрезка  определяются по формулам

Пример 1. Если точки  являются  вершинами четырехугольника , то этот четырехугольник 1) трапеция, 2) параллелограмм, 3) прямоугольник, 4) ромб, 5) квадрат.

Решение. Найдем координаты векторов   

Очевидно, что векторы попарно параллельны ║ (т.к.) и  ║ (т.к. ). Кроме того,   Получилось, что все стороны четырехугольника равны по длине и попарно параллельны. Вычислим скалярное произведение векторов  и :  следовательно угол между этими векторами отличен от прямого. Таким образом, данный четырехугольник является ромбом.

Ответ: 4.

Пример 2. В треугольнике  с вершинами  и  уравнение прямой, содержащей медиану , имеет вид 1) 2)  3)  4)  5)

Решение. Найдем координаты точки  - середины отрезка  . Составим уравнение прямой, проходящей через точки  и  Возьмем уравнение искомой прямой в виде и подставим в него координаты точек  и : . Решая эту систему, получим  Тогда уравнение искомой прямой имеет вид

Ответ: 1.

Пример 3. Если точки  и  являются концами диаметра окружности, то ее уравнение имеет вид 1)  2) 3)  4)  5)

Решение. Найдем координаты  центра окружности  Тогда радиус окружности  находится по формуле расстояния между двумя точками  Используя уравнение окружности с центром в точке  радиуса   получим уравнение окружности

Ответ: 4.

Пример 4. Если точка, равноудаленная от точек  и  находится на оси  то сумма ее координат равна 1) -2; 2) 2;   3)-1; 4) 1; 5) 0.

Решение. Пусть - координаты искомой точки. Приравнивая расстояния от нее до данных точек, получим  Отсюда  Итак, сумма координат равна

Ответ: 4.