урок по теме "Теорема Пифагора"
материал по геометрии (8 класс) на тему

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Цель урока:

1. Образовательная цель: изучить теорему Пифагора; рассмотреть решение задач с использованием этой теоремы;
2. Развивающая цель: развитие у учащихся исследовательских способностей; познавательного интереса, логического мышления; развитие умений применять теоретические знания на практике; развитие памяти, внимания, наблюдательности, осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.
3. Воспитательная цель: воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора; воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний.

Задачи урока:

• Познакомить учащихся с древнегреческим математиком Пифагором.

• Сформулировать и доказать теорему  Пифагора.

• Научить применять теорему для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника.

Прогнозируемый результат:

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
2. Уметь доказывать теорему Пифагора.
3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач

Ход урока

1. Организационный момент. (СЛАЙД 1)

  Сегодня у нас с вами необычный день и необычный урок. Какие дни для себя вы считаете необычными? (ответы – дни рождения, семейные праздники, дни, когда, происходят события, значимые для вас)

  А какие уроки вы считаете необычными? (ответы – нестандартные уроки, когда узнаём что-то очень интересное и т.д.).

  А что необычное вы заметили сегодня в классе? (на стенах висят плакаты с высказываниями  Пифагора)

• Берегите слёзы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.
• Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.
• Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.
• Молчание прекрасно. Молчи, если не можешь изречь то, что было бы прекрасней молчания.
• Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я  должен сделать?», а, засыпая вечером, спроси: «Что я сделал?»

Эти высказывания называют акусмами Пифагора. Как вы думаете, почему?

(Слово созвучно со словом «аксиома» - предложение, не требующее доказательства.

Эти нравственные правила также не требуют доказательства.)

Предположите, что же за человек такой  - Пифагор? Где вы раньше слышали это имя?

(называют таблицу Пифагора, портрет висит в кабинете математики).

Значит, Пифагор имеет отношение к математике, и наш урок необычен тем, что мы сегодня не только изучим одну из самых известных геометрических теорем древности, называемую теоремой Пифагора, но и познакомимся с древнегреческим учёным Пифагором Самосским. (СЛАЙД 2)

Какие задачи поставите вы для себя на сегодняшний урок?

- узнать о жизни Пифагора;

-познакомиться с его математическими открытиями;

-доказать теорему и научиться применять её для решения задач.

2. Актуализация знаний. Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним

1)Найти в каждой цепочке лишнее звено (задания на экране компьютера) (СЛАЙД 3)

2)Ответы на вопросы учителя

• Какой треугольник  называют прямоугольным? (СЛАЙД 4)
• Как называют его стороны?
• Что такое гипотенуза?
• Каковы свойства прямоугольного треугольника знаете?
• Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского. (СЛАЙД 5)

Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа

Пифагор родился в 580 г. до н. э. Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных. С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Пифагор – один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк.

В молодости он много путешествовал, собирая по крупицам знания древнейших народов по математике, астрономии, технике. Вернувшись на родину, на остров Самос, он собирает вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы. Так образовался “ пифагорейский союз”. В союзе царит дисциплина, послушание. Вскоре союз становится политическим союзом единомышленников, мечтающих похитить власть у народа.

Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма, называемая также пифагорейской звездой. Пифагорейцы пользовались этой фигурой, вычерчивая ее на песке, чтобы приветствовать и узнавать друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья.

Для нас Пифагор – математик. В древности было иначе. Геродот называет его "выдающимся софистом", то есть учителем мудрости. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был четыре раза подряд олимпийским чемпионом.

Судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец, однако пифагоризм с его метафизикой, научными знаниями, взглядами на воспитание продолжал влиять на дальнейшее развитие науки и философии. Несомненно, школа Пифагора сыграла большую роль в усовершенствовании научных методов разрешения математических проблем: в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.

Предание гласит, что когда Пифагор пришёл к теореме, носящей его имя, он принёс богам 100 быков. В пятисотых годах до нашей эры Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В настоящее время известно около 200 доказательств теоремы Пифагора.

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма  – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов. (СЛАЙД 6)

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни , груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды  и панциря морского ежа. (СЛАЙД 7)

5. Историческая справка о теореме Пифагора.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. (СЛАЙД 8)

Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".

— Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)

В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". (СЛАЙД 9)

— Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)?

(СЛАЙД 10)Во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах  

(СЛАЙД 11,12,13)

"Пифагоровы штаны во все стороны равны"   это шуточная формулировка теоремы.

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время их насчитывается более ста.Примеры (СЛАЙД 14-26)

6. Работа над теоремой.

 Теорему Пифагора в современной формулировке вы докажите дома.

Мы рассмотрим с вами доказательство этой теоремы  Вальдхейма

На рисунке  три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором 

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Итак,

Гимнастика (СЛАЙД 29-35)

7. Решение задач с применением теоремы.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении
с2 = а2 + b2. (СЛАЙД 36)

Решим устно несколько задач по готовым чертежам.

З а д а ч а №1(СЛАЙД 37) работа с классом

Р е ш е н и е 

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,

по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,

АВ2 = 82 + 62,

АВ2 = 64 + 36,

АВ2 = 100,

АВ = 10.

О т в е т:
АВ = 10

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.

З а д а ч а №2 (СЛАЙД 38) работа в парах

Р е ш е н и е 

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16),

по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,

DC2 = DE2 – CE2,

DC2 = 52 – 32,

DC2 = 25 – 9,

DC2 = 16,

DC = 4.

О т в е т:
DC = 4

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. (СЛАЙД 39)

ЗАДАЧА: Найти неизвестные элементы треугольника работа в группах

Задача древних индусов   предложенная в стихах:

Над озером тихим,

С полфута размером высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

8. Домашнее задание. (СЛАЙД 43)

§ 3, п 54, вопрос 8 стр134

№ 483 (а,б), 484 (а,б). или  №487

На оценку: №497

Творческое задание: теорему Пифагора называют теоремой пчёлки или теоремой

       невесты. Почему?

9. Подведение итога урока.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Анализируем, все ли задачи, поставленные на урок, выполнены.

Чем необычным был для вас сегодняшний урок?

Спасибо за урок все свободны.