Решение задачи 14 из пробного теста ЕГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) по теме
Задача по стереометрии, в которой необходимо построить сечение прямоугольного параллелепипеда, доказать, что секущая плоскость делит ребро на два равных отрезка и найти угол между плоскостями.
На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 взята точка Е так, что А1Е : ЕА = 6 : 1, а на ребре ВВ1 – точка F так, что В1F : FB = 3 : 4. Известно, что АВ = 2 , AD = 12, АА1 = 14.
А) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка.
Б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью АА1В1 .
Нахождение угла между плоскостями представлено тремя способами:
1) использование векторов нормалей пересекающихся плоскостей,
2) использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника,
3) применение "теоремы косинусов для трёхгранного угла".
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 ЕГЭ математика №14 | 49.41 КБ |
Предварительный просмотр:
Задача С2
На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 взята точка Е так, что А1Е : ЕА = 6 : 1, а на ребре ВВ1 – точка F так, что В1F : FB = 3 : 4. Известно, что АВ = 2, AD = 12, АА1 = 14.
А) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка.
Б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью АА1В1 .
Решение:
A) Построим сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью (EFD1).
А1В1∩EF=Q, QD1∩B1C1=O, EFOD1 – искомое сечение, трапеция т. к. ED1||FO.
Т. к. AA1=14, то A1E = AA1= 12 и EA =
AA1, B1F =
AA1 =6 и FB =
AA1= 8.
Треугольники EA1Q и FB1Q подобны по двум углам. k = .
Тогда . Рассмотрим треугольники A1D1Q и OB1Q. Они подобны по двум углам и k = 2.
Тогда , A1D1 = 12, B1O = 6. Следовательно точка О середина отрезка B1C1.
Б_1) Найдём косинус угла между плоскостями (EFD1) и (АА1В1). Для этого найдём косинус угла между нормалями к этим плоскостям. Введём декартову систему координат с центром в точке В. Тогда вектор ВС является нормалью к плоскости (АА1В1). Его координаты {0; 12; 0}. Чтобы найти координаты вектора-нормали к плоскости (EFD1), составим уравнение плоскости.
ax + by + cz + d = 0 (1)
F(0; 0; 8), E(2; 0; 2), O(0; 6; 14). Подставим данные координаты в уравнение (1) и объединим три уравнения в систему. Упростим систему и выразим коэффициенты a, b, c через d.
Координаты вектора-нормали к плоскости (EFD1) {}
Воспользуемся формулой:
Б_2) Найдём косинус угла между плоскостями по формуле
Найдём площадь равнобедренной трапеции FOD1E. Рассмотрим треугольник EQD1. Он равнобедренный т. к.
EQ = D1Q = 4. ED1 = 12
. Найдём высоту треугольника QT =
.
Тогда высота равнобедренной трапеции FOD1E в два раза меньше высоты QT, т. е. .
Б_3) Найдём косинус угла между плоскостями (EFD1) и (АА1В1). Для этого найдём косинус двугранного угла (A1EQD1). Будем применять «Теорему косинусов для трёхгранного угла». Рассмотрим пирамиду QEA1D1.
Ответ: ϕ = arccos(.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение задач С2 (расстояния) на ЕГЭ по математике.
Материал для консультации. Может быть полезен учителям и учащимся 10 - 11 классов при подготовке к экзаменам....
Интегрированные уроки развивающего обучения «Понятия «целое» и «часть» в решении задач на уроках русского языка и математики"
Интегрированные уроки простроены в логике развивающего обучения. Используемые методы и приёмы позволяют расширить возможности учебной деятельности, раскрыть потенциал учащегося, увлечь предметным соде...
Интегрированные уроки развивающего обучения «Понятия «целое» и «часть» в решении задач на уроках русского языка и математики"
Интегригрированные уроки простроены в логике развивающего обучения. Используемые методы и приёмы позволяют расширить возможности учебной деятельности, раскрыть потенциал учащихся, увлечь предметным со...
Решение задач из Единого государственного экзамена по математике. Часть С4. Задачи о касающихся окружностях.
Данная работа может быть ценным методическим пособием, которое учителя математики смогут использовать в дальнейшем как на уроках планиметрии, так и при подготовке учащихся 10-11 классов к сдаче ...
Решение задач из Единого государственного экзамена по математике. Часть С4. Задачи о касательной к окружности.
Данная работа может быть ценным методическим пособием, которое учителя математики смогут использовать в дальнейшем как на уроках планиметрии, так и при подготовке учащихся 10-11 классов к сдаче ...
Применение активных методов обучения и инфо-коммуникационных технологий для формирования умений и навыков решения задач с практическим содержанием на уроках математики
В работе представлен опыт разработки электронных образовательных ресурсов и их применения для формирования умений и навыков решения задач с практическим содержанием на занятиях по математике. Показана...
"Решение задач на составление уравнений" - разработка урока математики в 6 классе.
Материал представляет собой разработку урока математики в 6 классе, предназначен для методической помощи молодым специалистам при подготовке к урокам....